高中数学典型例题解析第四章数列

第四章 数列§4.1等差数列的通项与求和一、知识导学1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….3.通项公式：一般地，如果数列｛an｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．

8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2ba．我们把Ａ＝2ba叫做ａ和ｂ的等差中项．

二、疑难知识导析1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n｝)的函数.2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.3.数列｛an｝的前n项的和Sn与an之间的关系：).2(),1(11nSSnSannn若a1适合an(n>2),则na不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an.4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,na）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为ndandSn)2(212，若令A＝2d，B＝a1－2d，则nS＝An2+Bn.6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，nS，n中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和.错解：（1）an=3n+7;(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n项之和.错因：误把最后一项（含n的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a1=101,显然3n+7不是它的通项.正解：（1）an=3n－2;(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n－1项的和. [例2] 已知数列na的前n项之和为① nnSn22 ② 12nnSn

求数列na的通项公式。错解： ① 34)1()1(2222nnnnnan ② nnnnnan21)1()1(122错因：在对数列概念的理解上，仅注意了an＝Sn－Sn-1与的关系，没注意a1=S1.正解：

①当1n时，111Sa

当2n时，34)1()1(2222nnnnnan 经检验 1n时 11a 也适合，34nan ②当1n时，311Sa 当2n时，nnnnnan21)1()1(122 ∴

nan23 )2()1(nn[例3] 已知等差数列na的前n项之和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于 。错解：S30= S10·2d.  d＝30，  S40= S30+d =100.错因：将等差数列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等差数列误解为Sm, S2m, S3m成等差数列.正解：由题意：7022930301029101011dada得152,521da代入得S40 ＝1204023940401da。[例4]等差数列na、nb的前n项和为Sn、Tn.若),(27417NnnnTSnn求77ba；错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令an=7n+1;bn=4n+27.1110277417777ba错因：误认为nnTSnnba正解：79922713411371313777777TSbbaaba[例5]已知一个等差数列na的通项公式an=25－5n，求数列||na的前n项和；错解：由an0得n5 na前5项为非负，从第6项起为负， Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5)当n6时，Sn=｜a6｜+｜a7｜+｜a8｜+…+｜an｜＝2)5)(520(nn Sn=6,2)5)(520(5,50nnnn错因：一、把n5理解为n=5，二、把“前n项和”误认为“从n6起”的和.正解：

6,502)5)(520(5,2)545(nnnnnn

[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？解：理由如下：由题设： 31010S 122020S得：

122019020310451011dada

641da ∴ nnnnnSn2362)1(4[例7]已知：nna12lg1024 （3010.02lg）Nn （1） 问前多少项之和为最 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？ 解：（1）

02lg102402lg)1(10241nanann3403340112lg10242lg1024nn ∴3402n （2） 0)2lg(2)1(1024nnnSn 当nnSS或0近于0时其和绝对值最小 令：0nS 即 1024+0)2lg(2)1(nn 得：99.680412lg2048n ∵ Nn ∴6805n[例8]项数是n2的等差数列，中间两项为1nnaa和是方程02qpxx的两根，求证此数列的和nS2是方程

0)lg(lglg)lg(lglg2222pnxpnx的根。 （02nS） 证明：依题意paann1 ∵paaaannn121 ∴npaanSnn2)(2212

∵0)lg(lglg)lg(lglg2222pnxpnx∴ 0)lg(lg2npx ∴nSnpx2 （获证）。

四、典型习题导练1．已知nnnSaa2311且，求na及nS。2．设)1(433221nnan，求证：2)1(2)1(2nannn。3.求和: n3211321121114.求和： )12()34()9798()99100(222222225.已知cba,,依次成等差数列，求证：abcacbbca222,,依次成等差数列.6.在等差数列na中， 40135aa，则 1098aaa（ ）。A．72 B．60 C．48 D．367. 已知na是等差数列，且满足)(,nmmananm，则nma等于________。8.已知数列21na成等差数列，且713,61153aa，求8a的值。§4.2等比数列的通项与求和一、知识导学1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么 这 个

数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．2. 等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ 为ａ 和ｂ 的等比中项．3.等比数列的前n项和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqanSnnn

二、疑难知识导析1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不为0.2.对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.4.在已知等比数列的a1和q的前提下，利用通项公式an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项.5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.6.等比数列｛an｝的通项公式an=a1qn-1可改写为nnqqaa1.当q>0，且q1时，y=qx是一个指数函数，而xqqay1是一个不为0 的常数与指数函数的积，因此等比数列｛an｝的图象是函数xqqay1的图象上的一群孤立的点.7．在解决等比数列问题时，如已知，a1，an，d，nS，n中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲[例1] 已知数列na的前n项之和Sn=aqn（qqa,1,0为非零常数），则na为（ ）。A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列错解：)1(111qaqaqaqSSannnnnn

)1(11qaqSSannnn

qaann1（常数）

na为等比数列，即B。

错因：忽略了1nnnSSa中隐含条件n＞1.

正解：当n＝1时，a1=S1＝aq;

当n>1时，)1(11qaqSSannnn

qaann1（常数）

但qqaa112

na既不是等差数列，也不是等比数列，选C。

[例2] 已知等比数列na的前n项和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于.

错解：S30= S10·q 2.  q 2＝7，q＝7， S40= S30·q =770.

错因：是将等比数列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等比数列误解为Sm, S2m, S3m成等比数列.

正解：由题意：701)1(101)1(301101qqaqqa得)(3210110101舍去或qqqa，

S40=20011401）（qqa. [例3] 求和：a+a2+a3+…+an.

错解： a+a2+a3+…+an＝aan11.

错因：是（1）数列｛an｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.