高中数学典型例题解析第四章数列

第四章 数列
§4.1 等差数列的通项与求和 一、知识导学
1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项，…，第 n 项，…. 3.通项公式：一般地，如果数列｛an｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这 个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示， 则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出 a1,a2,然后用递推关系 逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数 列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．
ab
ab
8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝
．我们把Ａ＝
叫做ａ和ｂ的等差中项．
2
2
二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是
不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2， 3，…，n｝)的函数.
2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.
3.数列｛an｝的前 n 项的和 Sn 与 an 之间的关系：an SS1n Sn1
(n 1), (n 2). 若 a1 适合 an(n>2),则 an 不用分段形式
表示，切不可不求 a1 而直接求 an. 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an 是关于 n 的一次式；从图像上看，表示
等差数列的各点（n, an ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差
数列.
5、对等差数列的前 n
项之和公式的理解：等差数列的前
n 项之和公式可变形为 Sn
d 2
n2
(a1
d )n ，若令 2
A
＝
d 2
，B＝a1－
d 2
，则
Sn
＝An2+Bn.
6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d， S n ，n 中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲 [例 1]已知数列 1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大 3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出 1+4+… +（3n－5）是该数列的前几项之和. 错解：（1）an=3n+7; (2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前 n 项之和.
错因：误把最后一项（含 n 的代数式）看成了数列的通项.（1）若令 n=1,a1=10 1,显然 3n+7 不是它的通项.
正解：（1）an=3n－2; (2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前 n－1 项的和.
[例 2] 已知数列 an的前 n 项之和为① Sn 2n2 n ② Sn n 2 n 1
求数列 an的通项公式。

错解： ① an 2n2 n 2(n 1)2 (n 1) 4n 3
② an n2 n 1 (n 1)2 (n 1) 1 2n
错因：在对数列概念的理解上，仅注意了 an＝Sn－Sn-1 与的关系，没注意 a1=S1.
正解：
①当 n 1时， a1 S1 1
当 n 2时， an 2n2 n 2(n 1)2 (n 1) 4n 3
经检验 n 1时 a1 1 也适合， an 4n 3
②当 n 1时， a1 S1 3
当 n 2时， an n2 n 1 (n 1)2 (n 1) 1 2n
∴
an
3 2n
(n 1) (n 2)
[例 3] 已知等差数列 an 的前 n 项之和记为 Sn，S10=10 ，S30=70，则 S40 等于
。
错解：S30= S10·2d. d＝30， S40= S30+d =100.
错因：将等差数列中 Sm, S2m －Sm, S3m －S2m 成等差数列误解为 Sm, S2m, S3m 成等差数列.
正解：由题意：
10 a1 30 a1
10 9 d 2
30 29 2
10 d 70
得
a1
2 5
,d
2 15
代入得 S40
＝ 40a1
40 39 40d 2
120 。
[例
4]等差数列
an
、
bn
的前
n
项和为
Sn、Tn.若
Sn Tn
7n 1 4n 27
(n
N
),
求
a7 b7
；
错解：因为等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数，故由题意令 an=7n+1;bn=4n+27.
a7 7 7 1 10 b7 4 7 27 11
错因：误认为 S n a n Tn bn
正解： a7 a7 a7 S13 7 13 1 92 b7 b7 b7 T13 4 13 27 79
[例 5]已知一个等差数列 an的通项公式 an=25－5n，求数列| an |的前 n 项和；
错解：由 an 0 得 n 5
an前 5 项为非负，从第 6 项起为负，
Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n 5)

当 n 6 时，Sn=｜a6｜+｜a7｜+｜a8｜+…+｜an｜＝ (20 5n)(n 5) 2
50
, n5
Sn=

(20
5n)(n
5)
2
,
n6
错因：一、把 n 5 理解为 n=5，二、把“前 n 项和”误认为“从 n 6 起”的和.
正解：
n(45 5n) 2
,
(20
5n)(n 2
5)
50
,
n5 n6
[例 6]已知一个等差数列的前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220，
由此可以确定求其前 n 项和的公式吗？
解：理由如下：由题设： S10 310 S20 1220
得：
2100aa1114950dd

310 1220
ad1

4 6
∴
Sn
4n n(n 1) 6 3n2 n 2
[例 7]已知： an 1024 lg 21n （ lg 2 0.3010 ） n N （1） 问前多少项之和为最
和的绝对值最小？
解：（1）
aann110120424(1nlgn2) lg
2 0
0
1024 lg 2
n 1024 lg 2
1 3401 n 3403
（2）
Sn
1024n n(n 1) ( lg 2) 0 2
大？（2）前多少项之
∴ n 3402
当 Sn 0或Sn 近于 0 时其和绝对值最小
令： Sn 0
即 1024+ n(n 1) ( lg 2) 0 2
得： n 2048 1 6804 .99 lg 2
∵ n N
∴ n 6805
[例 8]项数是 2n 的等差数列，中间两项为 an和an1 是方程 x 2 px q 0 的两根，求证此数列的和 S2n 是方程
lg 2 x (lg n2 lg p 2 ) lg x (lg n lg p)2 0 的根。 （ S2n 0 ）
证明：依题意 an an1 p