1.已知四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面的射影恰好是底面菱形ABCD 的两对角线的交点，
若3AB =，4PB =，则PA 长度的取值范围为)
5,7(解析：如图P
O
B 设x BO =，则2
16x PO -=，229x AO -=，)
3,0(,25.02∈-=x x PA 2.一个半径为1的小球在一个棱长为64的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是_______3
72解析：O
M N P
A B
如图，当小球贴着底面和三个侧面运动时，它与底面的切点形成一个三角形，这个三角形和底面三角形之间的部分就是在底面上不能接触的部分，设小球同时与底面和左右两侧面都相切，O 为球心，与底面和右侧面切点分别为M,N，平面OMN 与底面棱AB 交于点P，显然OMN AB ⊥，则MPN ∠为二面角的平面角，
31cos =∠MPN ，则22tan =∠MPN ,由二倍角公式可求得2
2tan =∠OPM ,而1==ON OM ，故2=MP ,6=AP ,故四个面不能接触到面积=672])62()64[(43422=-⨯
3.在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是6
5,61(解析：
必须比如图的三棱锥体积大，然后小于剩余体积，否则根据对称性一样
液面是三角形4.一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点1A 的正上方有一个光源A ，1AA 与球相切，16,AA =球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于______
2
1
解析：（单德林双球）设A1A2上切点为T，AB2与球O 切点为P，则44442222++=+=+=b T B P B AB 而2
212226B A AB +=2
2246b ++=5.一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数n
m ，那么积mn 是______6解析：
正六面体内切球的球心就是底面正三角形的中心，它到各个侧面的距离就是内切球半径，可以直接求，也可以用体积法求；而正八面体也可以用两种方法求解
6.三位学友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选取了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口饮料杯，如
图所示．盛满饮料后约定：先各自饮杯中饮料一半．设剩余饮料的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，则它们的大小关系是．解析：圆锥、圆柱是圆台的特例，故2h 介于1h ，3h 之间，结论是1h ＞2h ＞3h ．7.如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是．)1,2
1
(解析：过D 作AF DG ⊥于G ，则由三垂线定理知，在平面图形中K G D ,,三点共线，下面只需要研究平面图形中F 点与E ，C 分别重合情形即可.
8.在矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B –AC –D ，则折起后的BD =________5337解析：注意在平面图形中应用余弦定理求线段长
9.已知正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，3
32为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于_______6
35π解析：（2007全国联赛）如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面AA 1B 1B 、面ABCD 和面AA 1D 1D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面BB 1C 1C 、面CC 1D 1D 和面A 1B 1C 1D 1上。在面AA 1B 1B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为332=
AE ，AA 1=1，则61πAE A =∠。同理6πBAF =∠，所以6πEAF =∠，故弧EF 的长为ππ9
36332=⋅，而这样的弧共有三条。在面BB 1C 1C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B ，半径为33，2
πFBG =∠，所以弧FG 的长为ππ6
3233=⋅。这样的弧也有三条。于是，所得的曲线长为6
35633933πππ=⨯+⨯10.
1h 2h 3
h
