数值分析模拟卷A
一、填空（共30分，每空3分） 1 设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________. 2 设
,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________,
],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________.
3 设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-++≤≤+=2
1,121
0,)(2323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则
b=________,c=________.
4 设∞
=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则
⎰=1
)(dx x xq
k
________，=)(2x q ________.
5 设
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当
∈
a ________时，必有分解式
，其中L 为下三角阵，当其对角线元素
)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的.
二、（14分）设4
9,1,41,)(2102
3
===
=x x x x x f , （1）试求)(x f 在]4
9,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足
2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='.
（2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式.
三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3
2
41+
=+， （1） 证明R x ∈∀0均有•∞
→=x x n x lim （•
x 为方程的根）；
（2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过
，列出各次迭代值；
（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.
四、(16分) 试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式
有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？
五、（15分） 设有常微分方程的初值问题⎩⎨⎧=='00
)()
,(y x y y x f y ，试用Taylor 展开原理构造形如
)()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误
差主项.
六、（15分） 已知方程组b Ax ＝，其中⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=21,13.021b A ， （1） 试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的收敛性. （2） 若有迭代公式)()()()
1(b Ax a x x
k k k ++=+，试确定一个
的取值范围，在这个范围内任取一个
值均能使该迭代公式收敛.
七、（8分）方程组，其中
，A是对称的且非奇异.设A有误差，则原方程组变化为
，其中
为解的误差向量，试证明
.
其中1λ和2λ分别为A 的按模最大和最小的特征值.
数值分析模拟卷B
填空题（每空2分，共30分）
1. 近似数231.0=*
x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字； 2. 设
)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是
_______________________________________________；
3. 对1)(3
++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________； 4. 已
知
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-='-=1223,)3,2(A x ，则
=
∞||||Ax ________________，
=)(1A Cond ______________________ ；
5. 用二分法求方程01)(3
=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为
_________，进行二步后根所在区间为_________________；
6. 求解线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+045
11532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为
_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径
=)(G ρ_______________；
7. 为使两点数值求积公式：
⎰
-+≈1
1
1100)()()(x f x f dx x f ωω具有最高的代数精确度，其
求积节点应为=0x _____ , =1x _____,==10ωω__________. 8. 求积公式
)]2()1([2
3
)(3
f f dx x f +≈⎰
是否是插值型的__________，其代数精度为
___________。
二、（12分）(1)设LU A =，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。已知
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------=21001
2100121001
2A ，求L ，U 。 (2)设A 为66⨯矩阵，将A 进行三角分解：LU A =，L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，试写出L 中的元素65l 和U 中的元素56u 的计算公式。
