初中数学尺规作图讲解
初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：
⑴经过两已知点可以画一条直线；
⑵已知圆心和半径可以作一圆；
⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；
以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.
历史上，最着名的尺规作图不能问题是：
⑴三等分角问题：三等分一个任意角；
⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；
⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.
这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺号π(即当圆半径1
规作图不能问题.
若干着名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.
还有另外两个着名问题：
⑴正多边形作法
·只使用直尺和圆规，作正五边形.
·只使用直尺和圆规，作正六边形.
·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多着名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.
·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一
个角分成三等份的.
·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的
费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.
⑵四等分圆周
只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.
尺规作图的相关延伸：
用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图
1.只用直尺及生锈圆规作正五边形
==.
2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA
3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.
4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作
直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的
几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作
的，单用直尺也能作出！.
五种基本作图：
初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线
4.过一点做一已知线段的垂线
5.做一线段的中垂线
下面介绍几种常见的尺规作图方法：
⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的
位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形
成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个
轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、
轨迹交截法、轨迹法.
【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B 的
距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置？
【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，一是
在线段AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.
【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；
⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位
置.
【例2】 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(4，0)，O 是坐标原点，在直线3y x =+上求一点
P ，使AOP ∆是等腰三角形，这样的P 点有几个？
【解析】 首先要清楚点P 需满足两个条件，一是点P 在3y x =+上；二是AOP ∆必须是等腰三角形.
其次，寻找P 点要分情况讨论，也就是当OA OP =时，以O 点为圆心，OA 为半径画圆，与
直线有两个点1P 、2P ；当OA AP =时，以A 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线无交点；当
PO PA =时，作OA 的垂直平分线，与直线有一交点3P ，所以总计这样的P 点有3个.
【例3】 设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r 的圆，使其与O ⊙及'O ⊙外切.
【分析】 设M ⊙是符合条件的圆，即其半径为r ，并与O ⊙及'O ⊙外切，显然，点M 是由两个轨迹
确定的，即M 点既在以O 为圆心以R r +为半径的圆上，又在以'O 为圆心以'R r +为半径的
圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若O ⊙与'O ⊙相距为b ，当2r b <时，该题无解，
当2r b =有唯一解；当2r b >时，有两解.
