《数学实验》综合实验报告实验名称综合实验（Kalman滤波）
2016年 5月
一、【实验目的】
明白滤波计算流程
能够调用相关函数进行数据处理
使用循环函数和二维曲线画图
有效的构建仿真模型，产生模拟数据
二、【实验原理分析】
卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，它是最优，效率最高甚至是最有用的。它的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。
设系统可用一个线性随机微分方程来描述：
X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)
再加上系统的测量值：Z(k)=H X(k)+V(k)
上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声，他们的协方差分别是Q，R（这里假设他们不随系统状态变化而变化）。
对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。首先要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：
X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1)
式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的协方差还没更新。我们用P表示协方差：
P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q (2)
式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的协方差，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的协方差，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的协方差。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。
现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们
可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) (3)
其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)：
Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) (4)
到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要令卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的协方差：
P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) (5)
其中I 为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。、
MA TLAB中已经给出了滤波函数，以下为直接调用方法:
设线性系统为
其调用格式为
[ kest, L, P]=kalman (sys, Qn, Rn, Nn)
[ kest, L, P]=kalman(sys, Qn, Rn, Nn, sensors, known)
[kest,L,P,M,Z]=kalman(sys,Qn,Rn,Nn)
最后一种调用格式只限于离散系统。
三、【实验内容及数据来源】
已知离散系统
第一式为系统方程，第二式为观测方程，表示状态量x的第二个分量。e与v是互不相关的高斯白噪声。
假设的真值，由此系统方程构造出k=1,2,…30的数据,构造时加上系统噪声干扰，再由
观测方程构造出观测数据并加观测噪声干扰，并以此作为仿真数据。用Kalman滤波对仿真数据进行滤波处理，并与真实结果比较。
四、【实验程序】
%%%%%%%系统描述
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]+Gw[n]
% y[n]=Cx[n]+Du[n]+Hw[n]+v[n]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 状态转移矩阵
A=[0.49 0.298 0.412
0.401 -0.391 0.391
-0.992 0.401 0.296];
% B矩阵
B=zeros(3,3);
% G矩阵
G=eye(3,3);
% C矩阵向量
C=[0 1 0];
D=[0 0 0];
H=zeros(1,3);
% 状态向量初值（真值）
x(:,1)=[10.9 8.481 -4.3]';
% 状态向量初始估计值
guji=[20.1 21.3 20.7]';
% 进入循环
for i=2:30
%c产生正态分布数据
w=randn(3,1);
v=randn(1,1);
%真实数据
x(:,i)=A*x(:,i-1);
%人为制造系统误差
x1(:,i)=x(:,i)+w;
Qn=eye(2,2);
Rn=1;
Nn=0;
%人为制造观测数据的误差
z0(:,i)=C*x1(:,i)+v;
%建立Kalman的系统参数
sys=ss(A,[B,G],C,[D,H],-1);
[kest,L,P,M,Z]=kalman(sys,Qn,Rn,Nn);
%得到估计数据
guji(:,i)=A*guji(:,i-1)+L*(z0(:,i)-C*A*guji(:,i-1)); end
subplot(2,2,1)
% 做出真值曲线 x1
plot(x(1,:))
hold on
% 做出在噪声污染情况下的滤波估计值曲线 x1
plot(guji(1,:),':m')
hold off
legend('real of x1','estimate of x1')
grid
subplot(2,2,2)
% 做出真值曲线 x2
plot(x(2,:))
hold on
% 做出在噪声污染情况下的滤波估计值曲线 x2
plot(guji(2,:),':m')
