挑战高考压轴题
圆锥曲线满分之路
专题1 待定系数求方程，几何转至代数中
求圆锥曲线方程的策略一般有以下几种：①几何分析法＋方程思想；②设而不求＋韦达定理；③第二定义＋数形结合；④参数法＋方程思想。几何分析法，利用图形结合圆锥曲线的定义与几何性质，分析图中已知量与未知量之间的关系，列出关于方程中参数的方程，解出参数值即可得到圆锥曲线方程，要求平面几何中相似等数学知识必须十分熟练。设而不求、韦达定理是解圆锥曲线问题的通性通法，缺点是计算量较大，费时费力，容易出错，通常根据题设条件，设出点的坐标和直线方程，将直线方程代入曲线方程，化为关于x 的一元二次方程，利用韦达定理用参数表示出来，根据题中条件列出关于参数的方程，通过解方程解出参数值，即可得出圆锥曲线的方程。不管是哪种方法，最终都要列出关于圆锥曲线方程中的参数的方程问题，通过解方程解出参数值，即可得到圆锥曲线方程，故将利用平面几何知识和圆锥曲线的定义与性质是将几何问题转化为代数问题，简化解析几何计算的重要途径.
【典例指引】
类型一 待定系数法求椭圆方程
例1 【2014年全国课标Ⅱ，理20】设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b
+=>>的左右焦点，
M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N. （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34
，求C 的离心率；
（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .
类型2 参数法求椭圆方程
例2.【2015高考安徽，理20】设椭圆E 的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，点O 为坐标原点，点A
的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为
5
10
. （I ）求E 的离心率e ；
（II ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为
7
2
，求 E 的方程.
类型3 设而不求思想与韦达定理求抛物线方程
例3【2013年高考数学湖南卷】过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为
的两条不
同的直线12,l l ，且122k k +=，1l E 与相交于点A ，B ，2l E 与相交于点C ，D.以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N （M ，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l . （I ）若120,0k k >>，证明；22FM FN P ⋅<； （II ）若点M 到直线l 的距离的最小值为75
5
，求抛物线E 的方程.
类型4 待定系数法求抛物线方程
例4 （2012全国课标理20）.设抛物线C ：22x py =（p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点.
(Ⅰ)若090BFD ∠=,ABD ∆的面积为，求p 的值及圆F 的方程；
(Ⅱ)若A ，B ，F 三点在同一条直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值.
1. 焦点三角形面积公式：圆锥曲线的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为曲线上任意一点
12F PF γ∠=，（1）若P 在椭圆上，则椭圆的焦点角形的面积为122tan
2
F PF S b γ
∆=.
（2）若P 在双曲线上，则双曲线的焦点角形的面积为122tan
2
F PF b S γ
∆=
.
2.椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：
10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).
【同步训练】
1．设椭圆C ： 22
221x y a b
+=（0a b >>）的左右焦点分别为1F ， 2F ，下顶点为B ，直线2BF 的方
程为0x y b --=.
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点， P 到直线2BF ，且三角形12PF F 的面积为
1
3，求椭圆C 的方程；
2．已知抛物线2:2C x py =（0p >）和定点()0,1M ，设过点M 的动直线交抛物线C 于,A B 两点，抛物线C 在,A B 处的切线交点为N .
（Ⅰ）若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；
（Ⅱ）若三角形ABN 的面积最小值为4，求抛物线C 的方程.
3．已知抛物线C ：22=x py （0>p ）的焦点为F ，直线220-+=x y 交抛物线C 于A 、B 两点，
P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .
（1）D 是抛物线C 上的动点，点()1,3-E ，若直线AB 过焦点F ，求+DF DE 的最小值； （Ⅱ）是否存在实数p ，使2+=QA QB 2-QA QB ？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由.
4．设直线l ：y =k （x +1）与椭圆x 2+3y 2=a 2（a ＞0）相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点
C ，O 为坐标原点．
（Ⅰ）证明：2
22
313k
k a +>； （Ⅱ）若，△OAB 的面积取得最大值时椭圆方程．
5．已知点F是椭圆C的右焦点，A，B是椭圆短轴的两个端点，且△ABF是正三角形.
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）直线l与以AB为直径的圆O相切，并且被椭圆C截得的弦长的最大值为2，求椭圆C 的标准方程．
6．如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|= |BF|．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若点M（﹣，）在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．
