--
A
B
C
1
A D
E
F 1
B 1
C A
B
C
S
G
F
E
2013年普通高等学校统一考试数学试题
卷Ⅰ 必做题部分
一．填空题
１.函数)4
2sin(3π
+
=x y 的最小正周期为 。
2.设2
)2(i z -=（i 为虚数单位),则复数z 的模为 。
３．双曲线19
162
2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 4．集合}1,0,1{-共有 个子集。
５．下图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是 。
6.抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:环)，结果如下：
运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第５次 甲 ８7 91 ９0 89 9３ 乙 89 90 91 8８ 92
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 。
7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ,n （7≤m ,9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为 。
8.如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，， 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V , 则=21:V V 。
9.抛物线2
x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三 角形内部与边界)。若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范 围是 。
10.设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=,BC BE 3
2
=，若AC AB DE 21λλ+= （21λλ，为实数),则21λλ+的值为 。
１1.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。当0>x 时，x x x f 4)(2
-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 。
１2.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(122
22>>=+b a b
y a x ，右焦点为F ，右准线为
l ，短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =,则椭圆C 的
离心率为 。
１3．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数x
y 1
=
（0>x ）图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 。 14.在正项等比数列}{n a 中,2
1
5=a ,376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为 。 二.解答题:
15．本小题满分14分。已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，
， παβ<<<0。
(1)若||2a b -=
,求证：a b ⊥;（2)设(0,1)c =,
若a b c +=，求βα,的值。
16.本小题满分14分。
如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥，
--
x
y
A l
O
C
B
A
AB AS =，过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点. 求证：（１)平面//EFG 平面ABC ； (2)SA BC ⊥. 17.本小题满分14分。如图,在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ,直线 42:-=x y l ,设圆C 的半径为1，圆心在l 上。
(１)若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围。
18.本小题满分16分。如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C 。现有甲.乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行，速度为min /50m 。在甲出发min 2后，乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留min 1后，再从匀速步行到C 。假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ，山路AC 长为m 1260，经测量，
1312cos =
A ，5
3cos =C 。 (１）求索道AB 的长; （2）问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行 的速度应控制在什么范围内？ １9．本小题满分16分。设}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ，n S 是其前n 项和。记
c
n nS b n n +=
2
，*
N n ∈，其中c 为实数。 （1)若0=c ,且421b b b ，，成等比数列,证明:k nk S n S 2=(*
,N n k ∈); (2)若}{n b 是等差数列,证明:0=c 。 2０.本小题满分16分。
设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x
-=)(，其中a 为实数。
（1）若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围; （2）若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数,试求)(x f 的零点个数,并证明你的结论。
卷Ⅱ 附加题部分
［选做题］第21题,本题包括Ａ、Ｂ、C 、D 四小题,请选定其中两题．．．．．．,并在相应的答题区域内作答，若多做,则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2１.Ａ.[选修4－1：几何证明选讲]本小题满分10分。
如图,AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，,C AC 经过圆心O ,且2BC OC = 求证:2AC AD =
２1．Ｂ.［选修4-２:矩阵与变换］本小题满分１０分。
已知矩阵1012,0206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
，求矩阵B A 1
-。 21.C.[选修4-4:坐标系与参数方程］本小题满分10分。
在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x 21
(t 为参数）,曲线C 的参数方程为⎩
⎨⎧==θθtan 2tan 22y x
(θ为参数）,试求直线l 与曲线Ｃ的普通方程,并求出它们的公共点的坐标。
21.D.[选修４-5：不定式选讲］本小题满分10分。
已知b a ≥＞0,求证:b a ab b a 2
2
3
3
22-≥-
［必做题］第22、2３题，每题１0分,共20分。请在相应的答题区域内作答，若多做,解答时应写出文字
