圆与圆的位置关系的判断方法
李吉文
一、圆与圆的位置关系的判断方法有两种，一种是~d r 法，另一种是判别式法D .以下详解这两种方法. 1、~d r 法
根据两圆心距与两圆径的大小关系来判断： ①外离Ûd R r >+； ②外切Ûd R r =+；
③相交ÛR r d R r -<<+； ④内切Ûd R r =-； ⑤内含Ûd R r <-.
其中，R 是大圆的半径，r 是小圆的半径，如果是等圆，那么两圆就没有内含这种位置关系了.
2、判别式法D
已知22111:0C x y D x E y F ++++=1⊙，半径为r 和22
2222:0C x y D x E y F ++++=⊙，
半径为R ，且R r >判断两圆的位置关系：
两圆的方程相减，得 121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=
简记为 0A x B y
C ++= 其中22
0A B +? （1） 将（1）式代入其中一个圆的方程中，消去x 或y ，可得一个关于y 或x 一元二次方程，记为
20ay by c ++=或20ax bx c ++=，其中0a >
①0D >?两圆有两个公共点（相交）；
②0D =?两圆有一个公共点（内切或外切）； ③0D
以上②③中，如何区分内切和外切，内含和外离呢？请看以下数学思想方法： 将问题转化为小圆的圆心与大圆的位置关系（亦即点圆位置关系）来判断！
如果圆心1C 在圆2C 的外面，即d R >，那么两圆外切或外离；如果圆心1C 在圆2C 的内部，即d R <，那么两圆内切或内含.
二、两圆方程作差的意义
两圆作差后得到的方程：121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=
简记为 0A x B y
C ++= 其中22
0A B +? （1） 其意义为
①当两圆相交时，方程（1）是相交弦所在的直线方程； ②当两圆相切时，方程（1）是过切点的公切线的方程； ③当两圆没有公共点时，方程（1）没有特别的含义.
三、应用举例
例题1 已知22:2440C x y x y ++--=1⊙
和22
2:1090C x y x +-+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程.
【解析】
方法一：~d r 法
圆心1(1,2)C -，半径3r =，圆心2(5,0)C ，半径4R =，则1,7R r R r -=+= 两圆圆心距为
(1,7)d =
所以，两圆相交，将两圆的方程相减可得 124
130x y --= 即为相交弦的方程. 方法二：判别式法D
将两圆的方程相减，得 124
130x y --= 即 13
34
y x =-
（2） 将（2）式代入2
2
2:1090C x y x +-+=⊙
得 21604723130x x -+=
24724160313224640D =-创=>
所以，两圆相交，相交弦所在直线的方程是124130x y --=.
【变式训练】 已知22:650C x y y +-+=1⊙
和22
2:870C x y x +-+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程；若两圆相切，则求出过切点的公
切线的方程.
例题2 已知22:4210C x y x y +--+=1⊙
和22
2:142410C x y x y +--+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程；若两圆相切，则求出过切
点的公切线的方程. 【解析】
方法一：~d r 法
圆心1(2,1)C ，半径2r =，圆心2(7,1)C ，半径3R =，则1,5R r R r -=+= 两圆圆心距为
5d R r ===+
所以，两圆外切，将两圆的方程相减可得 4x = 即为所求公切线的方程. 方法二：判别式法D
将两圆的方程相减，得 4x = （3） 将（3）式代入2
2
2:142410C x y x y +--+=⊙得
2210y y -+= 2(2)4110D =--创=
所以，两圆相切.
小圆圆心1(2,1)C ，坐标代入2
2
2:142410C x y x y +--+=⊙中，有
222214241211422141170x y x y +--+=+-??=>
所以，两圆是外切关系，所求公切线的方程4x =.
【变式训练】
1.已知2
2
:1C x y +=1⊙和2
2
2:6890C x y x y +--+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程；若两圆相切，则求出过切点的公切线的方程. 2.已知2
2
:46120C x y x y +--+=1⊙和2
2
2:680C x y x y +--=⊙，判断两圆的位置关系.
