现代控制理论 第2章 线性系统的运动分析修改

T
1
0
ent
其中： T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
18
求状态转移矩阵的步骤：
1） 先求得A阵的特征值
i
。
2）
求对应于
i
的特征向量 pi
，并得到T阵及T的逆阵。
3） 代入上式即可得到状态转移矩阵的值。
即：A
det(I
A)
=
0
i
(i I
A)pi
=
0
pi
T
19
（2）当A具有n重特征根
7
二、状态转移矩阵的基本性质：
1、不发生时间推移下的不变性：
e A(tt) = e A0 = I = (0)
[证明]：状态转移矩阵定义中，令t＝0即可得证
2．传递性（组合性） (t2 t0 ) = (t2 t1)(t1 t0 )
意为 t0 至 t2 的状态转移过程可分解为t0 t0至 t1 及 t1 至
k=0
对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的 。 求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。
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第三章 状态方程的解
例2.1 已知
A = 10 10
求 eAt.
解：
e At
=
1
0
0 1
+
0 t
t
0
+
1 2!
t 2 0
0 t 2
+
1 3!
0 t3
t3 +L
0
=
1 t2 + t4 L 2! 4!
i
：约当标准型
约当矩阵 A 的矩阵指数函数
eit teit
e At
= Te AtT1
=
Байду номын сангаас
T
0
0 0
(n
1
1)
tn !
e 1 i
t
T
1
teit
eit
其中： T为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。
=e
=Φ
kt
A
故上式成立。
6、微分性和交换性：对 e At 有：
d (e At ) = Ae At = e At A
dt
9
第三章 状态方程的解
三、几个特殊的矩阵指数函数
(1)若 A为对角矩阵
则有：
1
A=
2
O
n
e1t eAt = 0
e2t O
0
ent
10
(2).若 A 能够通过非奇异变换予以对角线化，即 则
（2-1）
满足初始状态 x(t) |t=t0 = x(t0 ) 的解是：
x(t) = e A(tt0 ) x(t0 ) , t t0 （2-2）
满足初始状态 x(t) |t=0 = x(0) 的解是：
x(t) = eAt x(0) , t 0
（2-3）
4
证明： 齐次状态方程：x= Ax初始状态为：x(t) |t=0 = x(0)
11
(3).若 A 为约旦矩阵
12
第三章 状态方程的解
（4）若A为具有约当块的矩阵
A
=
A1
O
Aj
其中：A1, A2,L L Aj 为约当块
则有：
e A1t
0
e At
=
e A2t O
0
eAjt
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第三章 状态方程的解
(5)若 A为
则有：
A = -
e At
=
e t
cost sin t
t2的分段转移过程。
8
3、可逆性e At 总是非奇异的，必有逆存在，且：(e At )1 = e At
4、分解性：设A为n×n阶矩阵，t1、t2为两个独立自变量，
则有：
e = e e A(t1+t2 )
At1 At2
5．倍时性 Φ t k = Φ kt
由于
Φtk =
eAt
k
= ekAt
A kt
令：
e e
At = (t) = A(tt0 )
(t
t0
)
x(t) = (t)x(0)
则有：
x(
t
)
=
(
t
t0
)
x(t0
)
线性定常系统的状态转移矩阵
6
说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：
1）状态转移矩阵初始条件： (t0 t0 ) = I 2）状态转移矩阵满足状态方程本身： (t t0 ) = A(t t0 )
两边取拉氏变换得： sX (s) x(0) = AX (s) 整理得： X (s) = (sI A)1 x(0)
（2=4）
拉氏反变换得： x(t) = L1[( sI A)1]x(0) （2=5）
e At
=
I
+
At
+
A2 2!
t2
+
仿标量系统得： L e At
=
1 s
+
A s2
+
A2 s3
u=0
x
= ( A, B)
齐次状态方程的解： x&= Ax ,
x(t) |t=0 = x(0)
2）、强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称
为强迫运动。
u
x
= (A, B)
非齐次状态方程的解： x&= Ax + Bu, x(t) |t=t0 = x(t0 )
3
2、齐次状态方程：
x= Ax
sint
cost
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四、状态转移矩阵的计算
▪ 直接求解法：根据定义 ▪ 标准型法求解：对角线标准型和约当标准型 ▪ 待定系数法： 凯利－哈密顿定理（C-H定理） ▪ 拉氏反变换法
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1、根据状态转移矩阵的定义求解：
e At
= I + At +
A2 2!
t2
+
+
Ak k!
tk
+
=
t Ak k
k!
t
t3 3!
+
t5 5!
L
1t t3 + t5 L 3! 5!
1
t2 + 2!
t4 L 4!
=
cos t sin t
sin t
cos
t
.
17
2、标准型法求解：
（1）当A的特征值 , ,L , 为两两相异时：对角线标
12
n
准型
e1t
0
e At = Te AtT1 = T
+
= (sI A)1
e At = L1 (sI A)1
故可得：
e At = L1[( sI A)1]
5
2.2 状态转移矩阵
一、状态转移矩阵的含义
已知：线性定常系统的齐次状态方程： x= Ax
满足初始状态x(t) |t=0 = x(0)的解是：x(t) = eAt x(0) 满足初始状态 x(t) |t=t0 = x(t0 ) 的解是： x(t) = e A(tt0 ) x(t0 )
说明2：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指 数函数本身。
说明3：状态转移矩阵的物理意义：
从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不
断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移
矩阵。
x2
x(0) x(t1 )
0
t1
x(t2 )
t
t2
x1
(t1 0)
(t2 t1 )
第二章 线性系统的运动分析
1
本章主要内容
▪ 2-1 状态方程的齐次解（自由解） ▪ 2.2 状态转移矩阵 ▪ 2.3 线性系统运动分析 ▪ 2.4 连续系统的时间离散化 ▪ 2.5 线性离散系统的运动分析
2
2-1 状态方程的齐次解（自由解）
1、线性定常系统的运动
1）、自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u＝0时， 由初始状态引起的运动称自由运动。