第二章 导数与微分
1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设
2002
00(1)(1)10(1)10
'(1)lim lim
1020lim lim (1020)20x x x x f x f x f x x
x x x x
∆→∆→∆→∆→-+∆--∆---==∆∆∆-∆==∆-=-∆
2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么,
并将答案填在括号内。
⑴ ()()=∆-∆-→∆x
x f x x f x 000lim
（0'()f x -）； ⑵ ()=→∆x
x f x 0lim （'(0)f ）， 其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()()
=--+→h
h x f h x f h 000lim
（02'()f x ）.
3. 求下列函数的导数：
⑴ ='=y x y ,4
则34x ⑵ ='=y x y ,32
则1
323
x -
⑶ ='=y x
y ,1
则3212x -- ⑷ =
'=y x x y ,53
则11
5165x 4． 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方上点⎪⎭
⎫
⎝⎛=πx y
'sin ,'()32
y x y π=-=-
所以切线方程为1)23y x π-
=-
2(1)0y +-+=
法线方程为1)23y x π-
=-
化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨
⎧=≠=0
00 1sin 2
x x x x y 在0=x 处的连续性和可导性. 2
0(0)0
1lim sin 0(0)()x f x f x
→===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续
因为 20001
sin
(0)(0)
1lim lim
lim sin 0x x x x f x f x x x
x x
∆→∆→∆→∆+∆-==∆=∆∆∆
所以函数在0x =处可导.
6. 已知()()()()是否存在？
又及求 0 ,0 0 ,
0 2f f f x x x x x f '''⎩⎨⎧<-≥=-+ 2
'
00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h
h +
→+→++-===
'0
0(0)(0)(0)lim
lim 1h h f h f h
f h
h -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠ '(0)f ∴不存在
7. ()(). , 0 0
sin x f x x x x x f '⎩
⎨
⎧≥<=求已知
当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;
当0x =时
'0
0(0)(0)(0)lim
lim 1h h f h f h
f h
h +→→+-===＋＋ '0
0(0)(0)sin (0)lim
lim 1h h f h f h f h h
-→-→+-===－ '(0)1f ∴=
综上，cos ,0'()1,0x x f x x <⎧=⎨≥⎩
8. 求下列函数的导数：
（1）;5432
3
-+-=x x x y （2）;122
7445+-+=
x
x x y 222
222
22322
4222
2csc cot (1)2csc 2'(1)2(1)csc cot 4csc (1)23
(3)(3ln )(2ln )(2)
'(3ln )(94)ln 32(3ln )x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x -+-=
+-+-=
+++-++=+-+-+=
+2'364
y x x =-+
652'20282y x x x ---=--+
（3）;3253
x
x
e x y +-= （4）;1sec tan 2-+=x x y
2'152ln 23x x y x e =-+ 2'2sec sec tan y x x x =+
（5）;log 3lg 2ln 2x x x y +-= （6）()();7432x x y -+=
123
'ln10ln 2
y x x x =
-+
'422y x =--
（7）;ln x
x
y =
（8）;cos ln 2x x x y = 2
1
ln 'x x
x y x
-= 221'2ln cos cos ln sin y x x x x x x x x x =+- 2
1ln x x
-= 2
2ln cos cos ln sin x x x x x x x x =+- （9）;1csc 22
x
x
y +=
222
2csc cot (1)2csc 2'(1)x x x x x y x -+-=+
222
2(1)csc cot 4csc (1)x x x x x x -+-=+
（10）.ln 3ln 22
3
x x x x y ++=
22322
23
(3)(3ln )(2ln )(2)
'(3ln )
x x x x x x x x y x x ++-++=+ 4222
(94)ln 32(3ln )
x x x x x x x x -+-+=+ 9. 已知. ,cos 21sin 4
π
ϕϕ
ρϕϕϕρ=+
=d d 求
因为
1
sin cos
sin 2
d d ρϕϕ
ϕϕϕ=+-
所以
4
12422284
d d π
ϕρπϕ
=
=
+-=+
