欧阳光中《数学分析》(上)配套题库-章节题库(极限论及实数理论的补充)【圣才出品】

第10章双线性函数与辛空间10.1复习笔记一、线性函数1．定义设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足（1）f（α＋β）＝f（α）＋f（β），（2）f（kα）＝kf（α），式中α、β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数．2．性质（1）设f是V上的线性函数，则f（0）＝0，f（－α）＝－f（α）．（2）如果β是α1，α2，…，αs的线性组合：β＝k1α1＋k2α2＋…＋k sαs．那么f（β）＝k1f（α1）＋k2f（α2）＋…＋k s f（αs）．3．矩阵的迹A是数域P上一个n级矩阵．设则A的迹Tr（A）＝a11＋a22＋…＋a nn是P上全体n级矩阵构成的线性空间P n×n上的一个线性函数．4．定理设V是P上一个n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是V的一组基，a1，a2，…，a n是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（εi）＝a i，i＝1，2，…，n．二、对偶空间1．L（V，P）的加法和数量乘法（1）设f，g是V的两个线性函数定义函数f＋g如下：（f＋g）（α）＝f（α）＋g（α），α∈V，f＋g也是线性函数：f＋g称为f与g的和．（2）设f是V上线性函数．对P中任意数k，定义函数kf如下：（kf）（α）＝k（f（α）），α∈V，kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数．2．L（V，P）的性质（1）对V中任意向量α，有而对L（V，P）中任意向量f，有（2）L（V，P）的维数等于V的维数，而且f1，f2，…，f n是L（V，P）的一组基．3．对偶空间（1）定义L（P，V）称为V的对偶空间．由决定的L（V，P）的基，称为ε1，ε2，…，εn的对偶基．V的对偶空间记作V*．（2）对偶基的性质（1）设ε1，ε2，…，εn及η1，η2，…，ηn是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1，f2，…，f n及g1，g2，…，g n．如果由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为A，那么由f1，f2，…，f n到g1，g2，…，g n的过渡矩阵为（A'）－1．（2）设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间．取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x**如下：x**（f）＝f（x），f∈V*．则x**是V*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间（V*）*＝V**中的一个元素．（3）V是一个线性空间，V**是V的对偶空间的对偶空间．V到V**的映射x→x**是一个同构映射．结论：任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间．三、双线性函数1．定义V是数域P上一个线性空间，f（α，β）是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量α，β，根据f都唯一地对应于P中一个数f（α，β）．如果f（α，β）有下列性质：（1）f（α，k1β1＋k2β2）＝k1f（α，β1）＋k2f（α，β2）；（2）f（k1α1＋k2α2，β）＝k1f（α1，β）＋k2f（α2，β）．其中α，α1，α2，β，β1，β2是V中任意向量，k1，k2是P中任意数，则称f（α，β）为V 上的一个双线性函数．2．常用结论（1）欧氏空间V的内积是V上双线性函数；（2）设f1（α），f2（α）都是线性空间V上的线性函数，则f（α，β）＝f1（α）f2（β），α，β∈V是V上的一个双线性函数．（3）设P n是数域P上n维列向量构成的线性空间X，Y∈P n，再设A是P上一个n 级方阵．令f（X，Y）＝X'AY，则f（X，Y）是P n上的一个双线性函数．3．度量矩阵（1）定义设f（α，β）是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数．ε1，ε2，…，εn是V的一组基，则矩阵称为f（α，β）在ε1，ε2，…，εn下的度量矩阵．（2）性质①度量矩阵被双线性函数及基唯一确定．②不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的．③在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，但是在不同基下的度量矩阵是合同的．4．非退化设f（α，β）是线性空间V上一个双线性函数，如果f（α，β）＝0，对任意β∈V，可推出α＝0，f就称为非退化的．双线性函数f（α，β）是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵．5．对称双线性函数（1）定义f（α，β）是线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量α，β都有f （α，β）＝f（β，α），则称f（α，β）为对称双线性函数．如果对V中任意两个向量α，β都有f（α，β）＝－f（β，α），则称f（α，β）为反对称双线性函数．这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵．同样地，双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵．（2）性质（1）设V是数域P上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，使f（α，β）在这组基下的度量矩阵为对角矩阵．（2）设V是复数域上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（3）设V是实数域上n维线性空间．f（α，β）是V上对称双线性函数．则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（4）V上的对称双线性函数f（α，β）如果是非退化的．则有V的一组基ε1，ε2，…，εn满足前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基称为V的对于f（α，β）的正交基．6．二次齐次函数对称双线性函数与二次齐次函数是1－1对应的．设V是数域P上线性空间，f（α，β）是V上双线性函数．当α＝β时，V上函数f（α，β）称为与f（α，β）对应的二次齐次函数．7．反对称双线性函数性质（1）设f（α，β）是n维线性空间V上的反对称线性函数，则存在V的一组基ε1，ε。

第11章幂级数1．求在处的T aylor级数，并求其收敛半径．[浙江大学研] 解：再求收敛半径，令，则即所以|x|<1．故级数收敛半径为1．2．试求下列级数的和：（1）（2）[山东大学研]解：（1）的收敛区间为（－1，1），所以故（2）的收敛区间为（－1，1）所以又所以故3．已知绝对收敛，收敛，证明：级数收敛．[哈尔滨工业大学研]证明：根据阿贝尔引理的一般形式，对任意的自然数p考虑（1）由于级数收敛，故对，当n>N时，对任何自然数p，有（2）由于绝对收敛，设，从而对任意的自然数n有并且由于，从而根据①式，对，当n>N时，对任何自然数p有由的任意性及柯西准则知，级数收敛．4．设在x=-2处条件收敛，求其收敛半径．[东南大学研]解：当x=-2时，原幂级数为条件收敛，所以不收敛，即当x=4时不收敛．故其收敛半径为．5．求幂级数的收敛域．[天津工业大学研]解：由于，又，故收敛半径R=1．由积分判别法知发散，所以发散；由Leibniz判别法知收敛．故的收敛域为[-1，1）．6．求幂级数的收敛域及和函数．[哈尔滨工业大学2006研]解：因为，所以收敛半径R=1．因为当x=0时，幂级数收敛；当x=2时，幂级数发散．故该幂级数的收敛域为[0，2）．7．求的收敛域及和函数．[东南大学2006研]解：因为，当x-1=±1时，该级数变为，其一般项均不趋于0，所以当x-1=±1时该级数发散，故该级数的收敛域为（0，2）．在（0，2）内该幂级数可以逐项求导、求积分，所以有8．求的收敛域，并求该级数的和．[华南理工大学研]解：因为，所以R=1．当x=±1时，有，所以的收敛域为（-1，1）．由于这两个级数在（-1，1）内可以逐项求导、求积分．令，则有令，则同时令，所以9．求的收敛域，并求其和．[中国科学院2007研]解：因为，所以的收敛域为（-∞，+∞），则在（-∞，+∞）内有令，则所以10．将函数展开成x的幂级数．[武汉理工大学研] 解：由于，所以则故展开成x的幂级数为11．求，并求证它也等于．[中国科学院2006研] 解：由于，所以由幂级数的性质知结论得证．。

第三节平面解析几何一、问题求解：下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，只有一个选项符合试题要求。

1．直线L与圆x2＋y2=4相交于A，B两点，且A，B两点中点的坐标为（1，1），则直线L的方程为（）。

[2010年GRK真题]A．y－x=1B．y－x=2C．y＋x=1D．y＋x=2E．2y－3x=1【答案】D【解析】圆心为（0，0），A、B中点为（1，1），因此直线的斜率为－1。

根据点斜式可写出直线的方程为：y－1=－1（x－1），即y＋x=2。

2．若圆的方程是x2＋y2=1，则它的右半圆（在第一象限和第四象限内的部分）的方程是（）。

[2010年GRK真题]【答案】B3．已知直线ax－by＋3=0（a＞0，b＞0）过圆x2＋4x＋y2－2y＋1=0的圆心，则ab 的最大值为（）。

[2010年真题]【答案】D4．若关于x的二次方程mx2－（m－1）x＋m－5=0有两个实根α、β，且满足－1＜α＜0和0＜β＜1，则m的取值范围是（）。

[2009年GRK真题]A．3＜m＜4B．4＜m＜5C．5＜m＜6D．m＞6或m＜5E．m＞5或m＜4【答案】B【解析】抛物线的两个零点分别在（－1，0）和（0，1）之间，因此无论抛物线是开口朝上还是开口朝下都有：解得4＜m＜5。

5．曲线x2－2x＋y2=0上的点到直线3x＋4y－12=0的最短距离是（）。

[2009年GRK真题]【答案】B【解析】曲线x2－2x＋y2=0可化为（x－1）2＋y2=1，圆心为（1，1），半径为1。

圆上的点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d减去半径。

该圆的半径为r=1，所以最短距离为6．曲线|xy|＋1=|x|＋|y|所围成的图形的面积为（）。

[2009年GRK真题]E．4【答案】E【解析】将|xy|＋1=|x|＋|y|两边平方（对于含有大量绝对值的解析式一般都采用两边平方法来求解），得x2y2＋1=x2＋y2，即（x2－1）（y2－1）=0，即x=±1，y=±1，故其所围成的图形是一个边长为2的正方形，面积为4。

第七章 实数的完备性一、练习题1. 设{(a n ,b n )}是一严格开区间套,即a 1<a 2<…<a n <…<b n …<b 2<b 1，且∞→n lim (b n -a n )=0.证明存在唯一一点ξ,有 a n <ξ<b n ,n=1,2…2. 试举例说明在有理数集内,所有完备性定理都不能成立.3. 试用区间套定理证明数列的单调有界定理.4. 试用确界原理证明区间套定理.5. 设H=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 1,2,n |n 1,2n 1是一个无限开区间集,问:(1) H 能否覆盖(0,1)?(2) 能否从H 中先出有限个开区间覆盖⎪⎭⎫⎝⎛21,0? (3) 能否从H 中先出有限个开区间覆盖⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1001? 6. 证明: 若x ∈[a,b],若x ∈(a,b)的聚点;反之,若x 为[a,b]的聚点,则x ∈[a,b].7. 证明:单调数列{x n }若存在聚点,则一定是唯一的,且是{x n }的确界.8. 试用致密性定理证明单调有界定理.9. 试用聚点定理证明区间套定理.10. 试用有限覆盖定理证明聚点定理.11. 试用聚点定理证明柯西收敛准则.12. 试用确界原理证明聚点定理13. 设f 为(-∞,+∞)上连续的周期函数,试证f 在(-∞,+∞)上有最大值与最小值.14. 证明:任何实系数奇次多项式方程至少有一个实根15. 设I 为有限区间.证明:若f 在I 上一致连续,则f 在I 上有界.16. 证明: 若f 在[)+∞a,上连续,+∞→x lim f(x)存在且有限,则f 在[)+∞a,上一致连续. 17. 设f 在(a,b)内连续,x 1,x 2,…x n ∈(a,b),证明存在ζ∈(a,b),使得f(ζ)=∑=n 1j j )f(x n 1.18. 试用覆盖定理证明根的存在性定理.19. 证明:在(a,b)上连续函数f 为一致连续的充要条件是f(a+0)、f(b-0)存在且有限.20. 求下列数列的上、下极限：（1）{1+（-1）n }； （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-12n n1)(n ；（3）{2n+1}； （4）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+4n πsin 1n 2n； （5）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n π}sin n 1n2; (6)⎭⎬⎫⎩⎨⎧n |3n πcos | 21. 证明下列数列上、下极限的关系式: (1) ∞→n lim a n =-∞→n lim (-a n ), ∞→n lim a n =-∞→n lim (-a n ); (2) ∞→n lim a n +∞→n lim b n ≤∞→n lim (a n +b n );∞→n lim a n +∞→n lim b n ≥∞→n lim (a n +b n ) (3) ∞→n lim a n -∞→n lim b n ≤∞→n lim (a n -b n ),∞→n lim a n -∞→n lim b n ≥∞→n lim (a n -b n ); (4) 若a n ,b n >0,则∞→n lim a n ∞→n lim b n ≤∞→n lim a n b n ,∞→n lim a n ∞→n lim b n ≥∞→n lim a n b n ; (5) 若∞→n lim a n >0,则∞→n limn a 1=n n a lim 1∞→.22. 数列{x n }的上(下)确界就是该数列的上(下)极限,对吗?为什么?23. 证明:若{a n }为单调递增数列,则∞→n lim a n =∞→n lim a n 24. 证明:若an>0(n=1,2,…)且∞→n lim a n ·∞→n lim n a 1=1, 则数列 {a n }收敛.25. 证明: 若a n ≤b n (n=1,2,…),则∞→n lim a n ≤∞→n lim b n , ∞→n lim a n ≤∞→n lim b n . 26. 证明设{x n }为有界数列. (1)A 为{x n }上极限的充要条件是A =∞→n lim nk sup ≥{x k }; (2)A 为{x n }下极限的充要条件是A=∞→n lim nk inf ≥{x k }. 27. 证明:{x n }为有界数列的充要条件是{x n }的任一子列都存在它的收敛子列.28. 设f(x)在(a,b)内连续,且+→a x lim f(x)=-→b x lim f(x)=0.证明f(x)在(a,b)内有最大值或最小值.29. 证明: 设f(x)在[a,b]上连续,若{x n}⊂[a,b],且lim f(x n)=A,则必存在点x0∈[a,b],使得n→∞f(x0)=A.30. 设函数f和g都在区间I上一致连续.(1) 证明f+g在I上一致连续;(2) 若I为有限区间,证明f·g在I上一致连续;(3) 若I为无限区间,举例说明f·g在I上不一定一致连续.31. 证明:设函数f(x)定义在有限区间(a,b)上,若对于(a,b)内任一收敛数列{x n},极限lim f(x n)都n→∞存在,则f(x)在(a,b)上一致连续.32. 设函数f在[)a,上连续,且有渐近线,即有数b与c,使得+∞lim[f(x)-bx-c]=0,证明f在x+∞→[)a,上一致连续.+∞。

第4章参数估计思考题1．简述评价估计量好坏的标准。

答：（1）无偏性，指估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数。

设总体参数为θ，所选择的估计量为∧θ，如果E （∧θ）＝θ，则称∧θ为θ的无偏估计量。

（2）有效性，指对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小标准差的估计量更有效。

（3）一致性，指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。

即一个大样本给出的估计量要比一个小样本给出的估计量更接近总体的参数。

2．/2a z n的含义是什么？答：z α/2是标准正态分布上侧面积为α/2时的z 值；/2a z n 是估计总体均值时的边际误差，也称为估计误差或误差范围。

3．说明区间估计的基本原理。

答：在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减抽样误差得到。

4．解释置信水平的含义。

答：如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平，或称为置信系数。

5．解释置信水平为95%的置信区间。

答：抽取100个样本，根据每一个样本构造一个置信区间，这样，由100个样本构造的总体参数的100个置信区间中，有95%的区间包含了总体参数的真值，而5%则没包含。

6．简述样本量与置信水平、总体方差、允许误差的关系。

答：（1）样本量与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所需的样本量也就越大；（2）样本量与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大；（3）样本量与允许误差的平方成反比，即允许误差越大，所需的样本量就越小。

练习题1．从一个标准差为5的总体中抽出一个容量为40的样本，样本均值为25。

（1）样本均值的抽样标准差x σ等于多少？（2）在95%的置信水平下，允许误差是多少？解：（1）已知：σ＝5，n ＝40，＿x＝25，α＝0.05，z 0.05/2＝1.96。

则样本均值的抽样标准差为：0.7940x n σσ===（2）允许误差为：/2 1.96 1.5540E z n α==⨯=2．某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。