(完整)中南大学2015高等数学下期末题及答案
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………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题,密封线外不准填写考生信息,违者考试成绩按0分处理…………评卷密封
线…………
一、填空题(每小题3分,总计15分)
1、点(3,1,1)A -到平面:2340x y z π-+-=的距离为
( )
2、曲面4222
2
-+=y x z 在点()1,1,0-处的法线方程为
( )
3、设Ω是由曲面2
2
z x y =+及平面1z =围成的闭区域,则
(),,d d d f x y z x y z Ω
⎰⎰⎰
化为顺序为z y x →→的三次积分为( )
4、设∑是xoz 面的一个闭区域xz D , 则曲面积分(),,d f x y z S ∑
⎰⎰可化为二重积分
为( )
5、微分方程2
1
2y x y
'=-满足初始条件()10y =的解为( )
2
3分,总计15分)
=1绕z 轴旋转而成的曲面为( )
152=z ; (B )15
42
22=+-z y x ; 152=z ; (D )()15
42
2=+-z y x D 内具有二阶偏导数222222,,,
f f f f
x y x y y x
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂,则( ) 2f
y x
∂∂∂; (B )则(,)f x y 在区域D 内必连续; D 内必可微; (D) 以上都不对 其中D 由2y x =及2y x =-所围成,则化为二次积分后的结果为I = xydy ; (B )⎰⎰-+21
2
2y y
xydx dy ;
⎰⎰
-+41
2
x
x xydy dx (D )⎰⎰-+21
2
2y y
xydy dx
2=介于点(0,2)到点(2,0)的一段,则
=⎰
( )
(B ); (C ; (D )2. ()()()y p x y q x y f x '''++=的解, 则( ).
(B )12y y -也是方程的解
(D )122y y -也是方程的解
3
三、(10分) 设平面∏:2450x y z ---=,且直线
:30
x y b l x ay z ++=⎧⎨
+--=⎩在平面∏上,求,a b 的值.
4
………
…
评卷密封线………… 密封线内不要答题,密封线外不准填写考生信息,违者考试成绩按0分
处理…………评卷密封线…………
四、(10分)
已知函数(,)f x y x y xy =++,曲线22:3C x y xy ++=,C 上的最大方向导数.
5
五、(10分)计算由旋转抛物面226z x y =--及锥面
z =所围成的立体的体积.
六、求解下列各题(每题9分,共18分)
{},1d d xy x y ,其中{}(,)02,02D x y x y =≤≤≤≤.
sin )()y y dx x e dy +++,其中L 是从(1,0)A 沿y =到(1,0)B -的
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七、(10分)计算I xydydz yzdzdx xzdxdy ∑
=
++⎰⎰,其中∑是平面
0,0,0,2x y z x y z ===++=所围空间区域整个边界曲面的外侧.
7
…
…
…
…
评卷
密封
线
…
…
……
密
封
线内
不
要
答题,密封线外不准
填写考生信
息,
违者
考
试成
绩
按0分
处
理…
…
……评卷
密封线
…
……
…
有二阶连续导数,(cos )x
z f e y =满足2cos )x
y e ,若(0)0,(0)0f f '==, ()f u 的表达式.
D.
(),()3y x b z x a x b =-+=-+-,代入平面∏方5,2a b =-=-.
8
解法二:过直线l 的平面束方程设为3()0x ay z x y b λ+--+++= (或(3)0x y b x ay z λ++++--=),即
(1)()30x a y z b λλλ+++--+= (或(1)(1)30x a y z b λλλλ+++-+-=), 由题意知
11241a λλ++-==--(或11241
a λλλ
++-==
--), 解得5,1a λ=-=,将5,1a λ=-=及平面∏上的点(1,2,5)-代入平面束方程,求得
2b =-.
四.解:最大方向导数即为梯度的模,
(,)(1,1),
(,)gradf x y y x gradf x y =++=令2222(,,)(1)(1)(3)F x y x y x y xy λλ=++++++-,由
222(1)(2)0
2(1)(2)030x y F x x y F y y x x y xy λλ=+++=⎧⎪
=+++=⎨⎪++-=⎩
,解得1211,,,1112x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨
⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩,
比较:(1,1)gradf =(2,1)(1,2)3gradf gradf -=-=,
(1,1)0gradf --=,所以(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数为3.
五.
解法一: 2
622
20
32
(6)3
xy
r r
D V dv rdrd dz d r r rdr π
θθπ-Ω
===--=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰. 解法二:
1
2
26262120202832
(6)833z z
D D V V V dz dxdy dz dxdy z dz z dz πππππ=+=+=+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.
六.解: 1.
1
2
3
D D D I dxdy dxdy xydxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰