上海2019年各区高三数学二模试卷合集

2019年宝山区高三二模数学试卷

一、填空题

1. 已知i 为虚数单位，则集合{}

|,n A x x i n Z ==∈中元素的个数为____________ 2. 圆2

2

266x y x y +-+=的半径r=____________

3. 过点()2,4A -，且开口向左的抛物线的标准方程是____________

4. 设z C ∈，且

2

2

z i x -=+，其中i 为虚数单位，则z =____________ 5. 在()()5

3

11x x

-+的展开式中，3

x 的系数为____________（结果用数值表示）

6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （2,1），若(),Q x y 为平面区域2

1x y ≤⎧⎨≤⎩

上的一个动点，则OP OQ

⋅的取值范围是____________

7. 将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么，这个大铅球的表面积是____________ 8.

方程

sec 01x =的解集为____________

9. 如图，扇形OAB 的半径为1，圆心角为

2

π

，若P 为弧AB 上异于A,B 的点，且PQ ⊥OB 交OB 于Q 点，当POQ

的面积大于

8

时，∠POQ 的大小范围为____________

10. 一个盒子里有9个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,…,9，随机摸出两个球，则两个球编号之和大于9的概率是____________（结果用分数表示） 11. 已知无穷等比数列123,,,a a a 各项的和为

92

，且22a =-，若4

9102n S --<，则n 的最小值为

____________

12. 在线段12A A 的两端点各置一个光源，已知12,A A 光源的发光强度之比为1:2，则该线段上光照度最小

的一点到12,A A 的距离之比为____________（光学定律：P 点的光照度与P 到光源距离的平方成反比，第9题

Q O

B

A

二、选择题

13. 用数学归纳法证明21211

n n n

n ->++对任意(),n k n k N ≥∈的自然数都成立，则k 的最小值为（ ） A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

14. 设点()()()121212,,,,,A a a B b b C c c 均非原点，则“OC 能表示成OA 和OB 的线性组合”是“方程组

111

222

a x

b y

c a x b y c +=⎧⎨

+=⎩有唯一解”的（ ） A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

15. 已知双曲线()22

2210x y a b a b

-=>>的右焦点为F(c,0)，直线()y k x c =-与双曲线的右支有两个交点，

则（ ） A. b k a

>

B. b k a

<

C. c k a

>

D. c k a

<

16. 设向量()(),,0,,,1u a b v c d ==，其中22221a b c d +=+=，则下列判断错误的是（ ） A. 向量v 与z 轴正方向的夹角为定值（与c 、d 之值无关） B. u v ⋅

C. u 与v 夹角的最大值为34

π D. ad bc -的最大值为1

三、解答题

17. 如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，∠AOP=120°，圆O 的直径AB=4，圆柱的高13OO =. （1）求圆柱的表面积和三棱锥1A APB -的体积； （2）求点A 到平面1A PO 的距离.

第17题

A

A B 1

18. 已知()21cos cos 2

f x x x x =-+. （1）若0,

2x π⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，求()f x 的取值范围； （2）设ABC 的三边分别是,,a b c ，周长为1，若()1

2

f B =-，求ABC 面积的最大值.

19. 对年利率为r 的连续复利，要在x 年后达到本利和A ，则现在投资值为rx B Ae -=，e 是自然对数的底数.

如果项目P 的投资年利率为r=6%的连续复利.

（1）现在投资5万元，写出满n 年的本利和，并求满10年的本利和；（精确到0.1万元）

（2）一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金，若每年初一次性给项目P 投资2万元，那么，至少满多少

年基金共有本利和超过一百万元？（精确到1年）

20. 已知椭圆()22

2:

1039x y b b

Γ+=<<的左右焦点为12,F F ，M 是椭圆上半部分的动点，连接M 和长轴 的左右两个端点所得两直线交y 正半轴于A,B 两点（点A 在B 的上方或重合）. （1）当12MF F 面积12

MF F S 最大时，求椭圆的方程；

（2

）当b =

时，若B 是线段OA 的中点，求直线MA 的方程；

（3）当b=1时，在x 轴上是否存在点P 使得PM PA ⋅为定值，若存在，求P 点的坐标，若不存在，说明

理由.

21. 已知函数()(),f x g x 的在数集D 上都有定义，对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，

()()()()121212f x f x g x g x x x -≤≤-或()()()

()122112

f x f x

g x g x x x -≤≤-成立，则称()g x 是数集D 上

()f x 的限制函数.

（1）求()1

f x x

=-

在()0,D =+∞上的限制函数()g x 的解析式； （2）证明：如果()g x 在区间1D D ⊆上恒为正值，则()f x 在1D 上是增函数；

【注：如果()g x 在区间1D D ⊆上恒为负值，则()f x 在区间1D 上是减函数。此结论无需证明。可以

直接应用。】

（3）利用（2）的结论，求函数(

)2

f x x =-[)0,D =+∞上的单调区间.

第20题