2.5等比数列的前n项和 课件

(2)
a1

2.7, q


1 3
,
an

1 90
2．一个等比数列前5项和为10，前10项和为50，前15项和为
多少？
3.在正项等比数列{an}中，若S2=7, S6=91, 则S4的值 为（ A ）.
（A）28 （B）32 （C）35 （D）49
4．在等比数列{an}中，Sn=k-(
1 2
)n，则实数k的值为（
2.q≠1时，
Sn

a1( 1 qn 1q
)

a1 anq 1q
3.五个量n，a1，q，an，Sn中，解决“知三求二”问题.
例求下列等比数列前8项的和:
（1）1 , 1 , 1 , ; 248
（2）a1＝27，a9＝
1 243
，q

0.
解:1因为a1

1 2
,q

1 2
,n

8，
所以S8

1 2
1


1 2
8


1 1

1 2
1


1
1
8


2


1


1 8 2

255 256
.
2
2
2由a1

27 , a9

1 243
,可得
1 ＝27 q8 243
,
又由q 0,可得
q 1 , 3
问题2：
甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给 乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲 返还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍.问谁赢 谁亏？
分析：数学建模 {an}：100，100，100，…，100 q=1 {bn}：1，2， 22 ，…， 229 q=2
S30=100+100+…+100 T30=1+2+22+…+229
1
Sn = na1 , q = 1
知
三
Sn = a1 + a2 + 鬃? an
错位相减法
求
二
通项 公式
a1 , q, n an , Sn
求和 公式
信仰，是人们所必须的。什麽也不信的人不
会有幸福。
——雨果
1-2
估计千粒麦子的质量约为40g，那么麦粒的总质量超过
了7 000亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.
问题2答案： 230–1 (分)＝10 737 418. 23 (元) 远大于3 000元
Sn
பைடு நூலகம்

na1 a1 (1
qn )
1 q
q 1 q 1
1.注意q=1与q≠1两种情形
这是一个比较大小的问题，实质上是求等比数列 前n项和的问题.
在等比数列{an}中, 当q=1时 ，Sn=a1+a2+a3+…+an－1+an= na1 当q≠1时，Sn=a1+a2+a3+…+an－1+an =？
Sn= a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1
①
qSn= a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn
B
）
（A）
1 2
（B）1
（C） 3
4
（D）2
5．在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6=3,则log3a1+
log3a2+log3a8+log3a9的值为（ A ）
（A） 4
3
3
（B） 4
（C）2
4
（D） 33
等比数列的前n项和公式
Sn =
a1 (1 1-
qn ) =
q
a1 1-
anq , q ? q
于是当n

8时，S8

27
1



1 3
8

1



1 3


1640 81
.
若等比数列{an}的前n项和Sn，
则Sn，S2n -Sn，S3n -S2n，成等比数列，成立吗？
1.求下列等比数列{an}的前n项和Sn.
(1) a1 3, q 2, n 6
2.5 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和
1.掌握等比数列的前n项和公式;(重点） 2.掌握前n项和公式的推导方法;（重点） 3.对前n项和公式能进行简单应用.（难点）
问题1:
传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调的生活 中，发现了64格棋（也就是现在的国际象棋）的有趣和 奥妙，决定要重赏发明人——他的宰相西萨•班•达依尔， 让他随意选择奖品，宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一 格内赏他一粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格内 赏他四粒麦子……依此类推，每一格上的麦子数都是前 一格的两倍，国王一听，几粒麦子，加起来也不过一小 袋，他就答应了宰相的要求.实际上国王能满足宰相的要 求吗？
②
①-②得： Sn(1-q)=a1-a1qn
当q≠1时，
Sn

a1(1 qn ) . 1 q
等比数列{an}的前n项和
Sn


na1 a1 (1
qn )
1 q
q 1 q 1
有了上述公式，就可以解决开头提出的问题了，
问题1：a1=1,q=2,n=64.可得: S64= 1 (1-264 ) =264 -1(粒)=18 446 744 073 709 551 615(粒)