——
证明在z
L ˆ的本征态下，0==y x L L 。（提示：利用x y z z y L i L L L L =-，求平均。） 证：设ψ是z L 的本征态，本征值为 m ，即ψψ m L z
=
[]
x L i =-=y z z y z y L L L L L ,L ，[]y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L ，
(
)(
)
(
)
011
1 =-=-=-=
∴ψψψψψψψψψψψψy y y z z y y z z y x L m L m i L L L L i L L L L i L
同理有：0=y L 。
附带指出，虽然x l ˆ，y l ˆ在x l ˆ本征态中平均值是零，但乘积x l ˆy
l ˆ的平均值不为零，能够证明：,2
1
2y x y x l l i m l l -==
说明y x l l ˆˆ不是厄密的。2ˆx l ，2ˆy l 的平均值见下题。
设粒子处于()ϕθ,lm Y 状态下，求()2
x L ∆和()
2
y
L ∆
解：记本征态lm Y 为lm ，满足本征方程
()lm l l lm L 221 +=，lm m lm L z =，lm m L lm z =，
利用基本对易式 L i L L =⨯，
可得算符关系 ()
()x y z x z y x y z z y x x x L L L L L L L L L L L L L i L i -=-== 2
()
x y z z x y y x y z y z x y L L L L L L L i L L L L i L L L -+=-+=2
将上式在lm 态下求平均，
使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此 2
2
y
x
L
L =
又()[]
222
2
2
1 m l l L L L z
y x -+=-=+
()[]
222
2
12
1
m l l L L y
x
-+=
=∴ 上题已证 0==y x L L 。
()()
()[]
222
2
2
2
2
12
1
m l l L L L L L L x x x x
x x -+=
=-=-=∆∴
同理 ()
()[]
222
12
1
m l l L y
-+=
∆。 （补白）若需要严格论证2
x l 与2
y l 的相等关系，可设
y x l i l l ˆˆˆ+≡+ y
x l i l l ˆˆˆ-≡- 于是有)ˆˆ(21ˆ-++=l l l x
)ˆˆ(2
ˆ+--=l l i
l y 求其符2ˆx l 的平方，用-+l l ˆˆ来表示：
)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(4
1ˆ2-
-+--++++++=l l l l l l l l l x )ˆˆˆˆˆˆˆˆ(4
1ˆ2--+++--+--+=l l l l l l l l l y
再求它们在态im Y 中的平均值，在表示式中用标乘积符号时是
))ˆ
ˆˆˆˆˆˆˆ(4
1,(ˆ2
im im
x Y l l l l l l l l Y l --+--++++++= （1） ))ˆˆˆˆˆˆˆˆ(41,(ˆ2im
im y Y l l l l l l l l Y l --+++--+--+= （2） 或都改写成积分形式如下，积分是对空间立体角取范围的： Ω+++=
⎰⎰Ω
--+--+++*d Y l l l l l l l l Y l im im x )ˆˆˆˆˆˆˆˆ((41
2
（3） Ω--+=
⎰⎰Ω
--+++--+*d Y l l l l l l l l Y l im im y )ˆˆˆˆˆˆˆˆ((412
（4） 按角动量理论：1,)1)((ˆ++++-=m i im
Y m l m l Y l
1,)1)((ˆ--+-+=m i im Y m l m l Y l （5）
和正交归一化条件：
m m i i im m i d Y Y ,,,'''''*
=Ω⎰⎰δ （6）
将运算公式（5）使用于（3）式的各项，得结果如下：
0ˆˆ2,=Ω⨯=Ω⎰⎰⎰⎰+*
++*d Y Y d Y l l Y m i im im im 常数 0ˆˆ2,=Ω⨯=Ω⎰⎰⎰⎰-*--*d Y Y d Y l l Y m i im im im 常数
2)1)((ˆˆ +-+=Ω⎰⎰-+*
m l m l d Y l l Y im
im 2)1)((ˆˆ ++-=Ω⎰⎰+-*
m l m l d Y l l Y
im
im
注意上述每一个积分的被积函数都要使用（5）的两个式子作重复运算，
再代进积分式中，如：
1,)1)((ˆˆˆ-+-++-+=m l im Y m l m l l Y l l
1,ˆ)1)((-+⋅+-+=m l Y l m l m l
m l Y m l m l m l m l ,1)1()][(1([)1)((⋅+-+--+-+=
将它们代入（3）就得到前一法（考虑y x l l ,对称）得到相同的结果。 ])1)(()1)([(41
222
++-++-+=
m l m l m l m l l x 22])1([2
1
m l l -+= 又从（4）式看出，由于-
-++l l l l ˆˆ,ˆˆ没有贡献，（3）（4）应有相同的结果。第二种方法运用角动量一般理论，这在第四章中并没有准备知识，所以用本法解题不符合要求，只作为一种参考材料。
—— ——，，
设体系处于202111Y C Y C +=ψ状态（已归一化，即12
2
2
1=+C C ）
，求 （a ）z L 的可能测值及平均值; （b ）2
L 的可能测值及相应的几率； （c ）x L 的可能测值及相应的几率。
解：112
1122 Y Y L =，2022026 Y Y L =；
1111 Y Y L z =，20200 Y Y L z =。
（a ）由于ψ已归一化，故z L 的可能测值为 ，0，相应的几率为21C ，22C 。平均值 2
1C L z =。 （b ）2
L 的可能测值为2
2 ，2
6 ，相应的几率为21C ，2
2C 。
（c ）若1C ，2C 不为0，则x L （及y L ）的可能测值为： 2， ，0， -， 2-。
1）x L 在1=l 的空间，()z L L ,2
对角化的表象中的矩阵是⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛010*******
