机器人技术 第四章 动力学分析和力
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智能机器人PPT教学课件 第4章 动力学分析和力
0 1 1 0 A P 0 0 0 0
11
T2.19
T2 1
0.92 0 0.39 0
0 1 0 0
0.39 0 0.92 0
3.82 6 3.79 1
（公式：2.31）
12
F r
T1 y0 A x0 z0
I1 l 1, I2 l 2,
D m2
B
C
m1
1
若物体绕某轴的转动惯量为I，转 动的角速度为ω ，则转动动能
E 1 2 I 2
2自由度极坐标机械臂
解：注意，在本例中，机械臂可以做伸缩线运动。定义外机械臂中心到旋 转中心距离为r，它是系统的一个变量，机械臂总长度为r+( l2 /2)。利用和 前面相同的方法，推导拉格朗日函数并求取合适的导数，结果如下： K K1 K2 2 2 2 当回转轴过 1 11 1 2 2 K1 I1,A m1l1 m1l1 杆的端点并 2 23 6 垂直于杆时
1 2 1 2 K mv mx 和 P 1 kx 2 2 2 2
拉格朗日函数的导数是
1 1 L K P mx2 kx2 2 2
d L ( m x ) m x kx ， 和 x dt x 于是求得小车的运动方程 F m x kx
mx
为用牛顿力学求解上述问题，首先画出小车的受力图，其受力方程如下：
mlml当回转轴过杆的端点并垂直于杆时d点伸缩d点旋转若物体绕某轴的转动惯量为i转动的角速度为则转动动能dtdtdtdt运动旋转44多自由度机器人的动力学方程动能
第四章 动力学分析和力
1
为了使物体加速，必须对它施加力。
为了使旋转物体产生角加速度，则必须对其施加力矩（如下图）。 所需的力及力矩为
机器人运动学与动力学分析
机器人运动学与动力学分析引言：机器人技术是当今世界的热门话题之一。
从生产领域到服务领域，机器人的应用越来越广泛。
而要实现机器人的精确控制和高效运动，机器人运动学与动力学分析是必不可少的基础工作。
本文将介绍机器人运动学与动力学分析的概念、方法和应用，并探讨其在现代机器人技术中的重要性。
一、机器人运动学分析机器人运动学分析是研究机器人运动的位置、速度和加速度等基本特性的过程。
运动学分析主要考虑的是机器人的几何特征和相对运动关系，旨在通过建立数学模型来描述机器人的运动路径和姿态。
运动学分析通常可以分为正逆解两个方面。
1. 正解正解是指根据机器人关节位置和机构参数等已知信息，计算出机器人末端执行器的位置和姿态。
正解问题可以通过利用坐标变换和关节运动学链式法则来求解。
一般而言，机器人的正解问题是一个多解问题，因为机器人通常有多个位置和姿态可以实现。
2. 逆解逆解是指根据机器人末端执行器的位置和姿态，计算出机器人关节位置和机构参数等未知信息。
逆解问题通常比正解问题更为复杂，因为存在多个解或者无解的情况。
解决逆解问题可以采用迭代法、几何法或者数值优化方法。
二、机器人动力学分析机器人动力学分析是研究机器人运动的力学特性和运动控制的基本原理的过程。
动力学分析主要考虑机器人的力学平衡、力学约束和运动方程等问题，旨在实现机器人的动态建模和控制。
1. 动态建模动态建模是研究机器人在外力作用下的力学平衡和运动约束的数学描述。
通过建立机器人的运动方程，可以分析机器人的惯性特性、静力学特性和动力学特性。
机器人的动态建模是复杂的，需要考虑关节惯性、关节力矩、摩擦因素等多个因素。
2. 控制策略机器人动力学分析的另一个重要应用是运动控制。
根据机器人的动态模型，可以设计控制策略来实现机器人的精确运动。
常见的控制方法包括PID控制、模糊控制、自适应控制等。
通过合理选择控制策略和调节参数，可以实现机器人的平滑运动和高精度定位。
三、机器人运动学与动力学分析的应用机器人运动学与动力学分析在现代机器人技术中具有重要的应用价值。
机器人静力分析与动力学课件
平衡状态
机器人在静力分析中处于静止或匀速 运动状态，此时力和力矩的平衡使得 机器人的位置和姿态保持不变。
机器人在工作过程中需要承受的外部 负载，包括重力、外部作用力等。
机器人静力分析方法
有限元分析（FEA）
边界元分析（BEM）
刚体动力学
静力分析在机器人设计中的应用
01
02
03
结构优化
负载能力评估
正运动学模型
根据机器人关节参数，计算机器人末端执行器的位置和姿态。
逆运动学模型
已知机器人末端执行器的位置和姿态，反求机器人关节参数。
雅可比矩阵
描述机器人末端执行器速度与关节速度之间的映射关系。
运动学在机器人设计中的应用
机器人的工作空间分析
1
机器人的运动规划
2
机器人的控制策略
3
04
机器人轨迹规划
CHAPTER
机器人静力分析与 动 力学课件
contents
目录
• 机器人静力分析 • 机器人动力学 • 机器人运动学 • 机器人轨迹规划 • 机器人传感器与感知
01
机器人静力分析
CHAPTER
静力分析基本概念
静力分析
在机器人设计中，静力分析是评估机 器人在静态负载下的性能，主要关注 力和力矩的平衡。
静态负载
轨迹规划基本概念
轨迹
轨迹规划
根据任务需求和机器人运动学、动力 学等约束条件，规划出机器人从起始 点到目标点的最优或次优运动轨迹。
机器人轨迹规划方法
基于运动学的方法 基于动力学的方法 基于人工智能的方法
轨迹规划在机器人控制中的应用
工业机器人
01
服务机器人
02
机器人控制中的力学和动力学分析
机器人控制中的力学和动力学分析随着科技的不断发展和进步，机器人控制已经成为了现代工业生产和科学研究领域中非常重要的一部分。
机器人的控制需要进行力学和动力学的分析，而这也是机器人控制中最为关键的一步。
在本文中，我们将会探究机器人控制中的力学和动力学分析，以及它对机器人控制的重要性。
一、机器人控制中的力学分析在机器人控制中，力学分析是非常关键的一个步骤。
它主要研究机器人在运动过程中所产生的力的大小、方向、作用点以及分布情况等。
力学分析还可以用来确定机器人的轨迹、加速度、速度和位移等物理量。
力学分析是机器人控制中最为基础的一部分。
在力学分析中，我们需要对机器人的各个零部件进行研究和分析，例如机械臂、传感器和执行机构等。
在这个过程中，我们需要研究机器人所受到的各种力和力矩，以及机器人运动所产生的各种力学变量。
通过这些分析，我们可以得出机器人的工作状态、工作可靠性和工作效率等方面的数据。
二、机器人控制中的动力学分析与力学分析相比，机器人控制中的动力学分析则更加复杂和深奥。
动力学分析主要研究机器人在运动过程中所产生的力和加速度，以及机器人的动态特性和运动规律等。
动力学分析不仅需要考虑机器人的运动学特性，还需要考虑机器人的惯性和运动引起的所产生的力。
在动力学分析中，我们需要对机器人的所有零部件进行力学分析，包括驱动器、电机、传动系统和机械臂等。
我们还需要对机器人的动态特性进行研究，例如机器人的惯性、转动惯量和质心位置等。
通过这些分析，我们可以得出机器人的动态方程，进而预测机器人的运动规律和运动速度等信息。
三、机器人控制中力学和动力学分析的重要性在机器人控制中，力学和动力学分析是非常重要的一部分。
通过力学和动力学分析，我们可以了解机器人的工作状态、工作可靠性和工作效率等方面的数据。
同时，力学和动力学分析可以帮助我们预测机器人的运动规律和运动速度等信息，从而优化机器人的运动控制。
在机器人的工作过程中，由于机器人所受到的各种力和力矩的不同，机器人的零部件和传动系统也会出现不同程度的磨损和老化。
《机器人技术基础》第四章 机器人动力学
人
4.2 机械手动力学方程
动
力
学
4.1.1 拉格朗日方法
机器人是一个具有多输入和多输出的复杂的 运动学系统，存在严重的非线性，需要非常复杂 的方法来处理。
动力学处理方法： Lagrange , Newton-Euler, Gauss,Kane, Screw, Roberson-Wittenburg
2 )
d
dt
L
1
(m1 m2 )l12
m2l22
2m2l1l2
cos
2
1
(
m2
l
2 2
m2l1l2 cos 2 )2
2m2l1l2 si n212 m2l1l2 si n22L1Fra bibliotek(m1
m2 )gl1
s i n1
m2 gl2
s i n (1
2)
4.1.2 拉格朗日方程
⑤求出机器人动力学方程：
)
然后求微分，则其速度就为：
x2 y 2
l1 l1
co s11 sin 11
l2 l2
cos(1 2 )(1 2 ) sin(1 2 )(1 2 )
θ1
关节2
m1
（x1, y1)
l2
θ2 m2
（x2, y2 )
由此可得连杆的速度平方值为：
v22 x22 y22 l1212 l22(12 212 22 ) 2l1l2 cos2(12 12 )
m2 gl2 sin(1 2 )
T2 (m2l22 m2l1l2 cos2 )1 m2l222 m2l1l2 sin 21
m2 gl2 sin(1 2 )
4.1.2 拉格朗日方程
将得到的机器人动力学方程简写为如下形式：
工业机器人课件第四章 机器人动力学
（4.2-2) Dii I ai I ai 为传动装置的等效转动惯量
Dij Dijk
p maxi , j
n
I ai
Trace(
Tp q j
Ip
TpT qi Ip
) TpT qi
（4.n T T p T
n
Trace(
2Tp q j qk rp
把相应的偏导和导数代入拉格朗日方程，可求得力矩T1和T2的动力学表达式 d L L T1 dt 1 1 (m d 2 m d d cos ) [(m m )d 2 m d 2 2m d d cos ]
1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2
（4.1-9)
（4.1-10)
将在关节i上产生 D 的惯性力； Dii—关节i的有效惯量：关节i的加速度 i ii i 将在关节j和i上分别产 和 Dij—关节i和j的耦合惯量：关节i和j的加速度 j i 生一个等于 Diji 和 Dij j 的惯性力；
2 D22 m2 d 2
耦合惯量 向心加速度 系数
2 D12 m2 d2 m2 d1d2 cos2
D111 0 D122 m2 d1d 2 sin 2 D211 m2 d1d 2 sin 2 D222 0
哥氏加速度 系数
重力项
D112 D121 m2 d1d 2 sin 2 D212 D221 0
) （4.2-4)
（4.2-5)
Di m p g
p i
p
qi
惯量项和重力项在机器人的控制中特别重要，它们影响到系统的稳定 性和定位精度。向心力和哥氏力仅当机器人高速运动时才有意义。
机器人技术 第四章 动力学分析和力
拉格朗日动力学方程实例
分别用拉格朗日动力学和牛顿力学方法推导如图所示的动力学方程。
1、拉格朗日法
1 1 1 E p kx 2 2 E k mv 2 mx 2 2 2 1 1 2 kx 2 L E k E p mx 2 2
2、牛顿法
F kx ma F ma kx
Pi R Ti ri
多自由度机器人的动力学方程
涉及运动学方程对时间t求导
i ( 0Ti ) dq j d 0 连杆某点速度：Vi ( Ti ri ) ( )ri dt q j dt j 1
其中： 0Ti A1 A2 Ai
Ai Qi Ai d i
Ai Qi Ai i
, ) i f ( j , j j
1 j n
拉格朗日方程
拉格朗日函数 拉格朗日函数L的定义是一个机械系统的动能 Ek 和 势能 E P 之差，即
L Ek E p
式中 Ek 为系统动能总和；
E P 为系统势能总和。
动能和势能怎样计算？
拉格朗日方程
拉格朗日方程：
含有 D212 的项表示哥氏力对关节2的耦合力矩项。
拉格朗日动力学方程分析
只含关节变量 1和 2的项表示重力引起的关节力矩项。其中： 含有 D1 的项表示连杆1、连杆2的质量对关节1引起的重力矩 项； 含有 D2的项表示连杆2的质量对关节2引起的重力矩项。
从上面推导可以看出，很简单的二自由度平面关节机 器人其动力学方程已经很复杂了，很多因素都在影响 机器人的动力学特性。
机器人静力平衡
坐标系间力和力矩的变换
虚功原理：
微分运动： 力：
第4章 机器人的动力学初步
图４-４ 质点平移运动 作为回转运动的解析
机器人的静力学
如果Ｉ ＝ｍｒ２，则式（４-１４） 就改写为
式（４-１５）是 质 点 绕 固 定 轴 进 行 回 转 运 动 时 的 运 动 方 程 式 。 与 式 （４⁃ １１）比较，Ｉ相当于平移运动时的质量，在旋转运动中称为惯性矩。
机器人的静力学
对于质量连续分布的物体， 求解其惯性矩， 可以将其分割成假想的微小 物体， 然后再把每个微小物体的惯性矩加在一起。这时， 微小物体的质量ｄ ｍ 及其微小体积ｄＶ 的关系， 可用密度ρ 表示为 所以， 微小物体的惯性矩ｄＩ， 依据Ｉ ＝ｍｒ２， 可以写成
行器在笛卡尔空间的轨迹已确定（轨迹已被规划），求解机器人各执行器的驱
动力或力矩，这称为机器人动力学方程的反面求解，简称为逆动力学问题。
概述
不管是哪一种动力学问题都要研究机器人动力学的数学模型，区别在于问
题的解法。人们研究动力学的重要目的之一是对机器人的运动进行有效控制，
以实现预期的运动轨迹。 常用的方法有牛顿.欧拉法、拉格朗日法、凯恩动力学法等。牛顿·欧拉动
原理。
机器人的静力学
如图４⁃１所示，已知作用在杠杆一端的力ＦＡ，试用虚功原理求作用于另 一端的力ＦＢ。假设杠杆长度ＬＡ和ＬＢ已知。 按照虚功原理，杠杆两端受力所做的虚功应该是
式中，δ ｘＡ 、δ ｘＢ是杠杆两端的虚位移。而就虚位移来讲，下式成立
式中， δθ 是绕杠杆支点的虚位移。 把式（４⁃２）代入式（４⁃１）消 δ ｘＡ 、δ ｘＢ，可得到下式 图４-１ 杠杆及作用在两端上的力
机器人动力学方程式
式中， ｎ 为机器人的关节总数。其次我们来考虑把Ｋ 作为机器人各关节 速度的函数。这里ｖＣｉ与ω ｉ 分别表示为
机器人静力学动力学
D1
D2
重力影响项
拉格朗日动力学方程理论应用
（1）已知各关节广义驱动力，构件质量、转动惯量，解
格朗日方程可求出各关节位移、速度、加速度表达式。 （ 2 ）已知末端夹持器轨迹、速度、加速度要求，解格 朗日方程可求出各关节为实现预定的运动参数所必须 施加在各关节上的广义驱动力
（3）为机器人运动控制提供理论基础
算简化
三 、拉格朗日方程法
一、力学分析思路进程（平面运动为例） 1、静力分析： 匀速运动或静止。不考虑惯性力，动载荷。 合外力或力偶距之和为零
F 0 M 0
• 2、 动力分析：变速运动。 • 解法 ①动力学方程法 •
F ma M J
• ②动静法—达伦伯原理－考虑惯性力 缺点：出现运动副反力
要准确实现预定的末端夹持器时变位姿及速 度，要按动力学方程求出各关节相应时变驱动
力矩。然后准确控制各伺服驱动马达的驱动力
矩。
• 二、动力学求解方法： • 常用以下两方法
• 1、牛顿—欧拉方程法
• (1)牛顿方程—刚体质心运动方程
dv F ma m dt
• (2)欧拉方程—刚体转动方程
M C I C I
构件刚体无弹性及塑性变形无间隙无摩擦等2实际各种干扰存在实际机械工作参数不准确性质量转动惯量等3动力学模型关节间耦合性极强参数相互影响解耦计算量惊人无法实时控制仅按拉氏方程开环控制准确实现预定运动规律不可能
• 第四章 机器人静力学 与动力学
Statics and Dynamics of Industrial Robot
(F F
i 1 i
n
gi
) 0
• 特点：不出现约束力，但方程数太多，解太多 的联立方程。
《机器人》第4章-动力学分析和力
y2 l1S11 l2S12 (1 2 )
由： V22 x2 y2
V22 l1212 l22 (12 22 212 ) 2l1l2 (12 12 )(C1C12 S1S12 ) l1212 l22 (12 22 212 ) 2l1l2C2 (12 12 )
( L )
L
m2l 2
m2lx cos
m2 gl sin
以上两个运动方程写成矩阵形式，有：
F (m1 m2 )x m2l cos m2l 2 sin kx T m2l2 m2lx cos m2gl sin
F T
将前面得到的T1、T2写成矩阵形式，并简写成符 号形式，可以得到：
T1 T2
Dii D ji
Dij D jj
ij
Diii D jii
Dijj D jjj
ij22
Diij D jij
或Dji j ；
Dijj
2 j
代表由于j处的速度在关节i上产生的向心力
带代有表哥1氏2 力的；项代表哥氏加速度，当乘上相应的惯量后就
Di代表关节i处的重力。
4.4 多自由度机器人的动力学方程
动力学方程：首先计算连杆的动能和势能定义拉 格朗日函数；然后对其变量求导得到关节力、力矩。 一、动能
m2 )l12
m2l22
2m2l1l2C2 ]1
[m2l22
m2l1l2C2
]2
2m2l1l2S212
机器人的动力学分析与优化
机器人的动力学分析与优化第一章介绍机器人技术的不断发展给人们带来了便利和效率，但机器人的动力学问题一直困扰着研究人员。
动力学问题涉及到机器人的运动、力学和控制方面，为了解决这一难题，科学家们开始对机器人进行动力学分析和优化。
本文将深入探讨机器人的动力学分析与优化技术。
第二章动力学分析机器人的动力学分析是针对机器人系统的力学，通过建立机器人的数学模型，运用牛顿-欧拉法、拉格朗日方程等力学原理进行机器人的运动分析，得到机器人的动力学模型。
根据机器人的运动特征和控制方式，动力学分析一般分为正运动学和逆运动学分析。
正运动学分析是指给定机器人的各关节的位姿参数，得到机器人各个部位的坐标和朝向等位置信息的运动学问题。
逆运动学分析是指根据机器人预期的位姿任务，反向计算出机器人各关节的位姿参数。
动力学分析过程中，需要关注机器人的质量参数和其运动状态的描述参数等，掌握机器人的力学特性，并进行系统的力学分析。
第三章动力学优化动力学优化是对机器人的动态行为进行优化的过程，目的是提高机器人的控制性能、运动精度、效率和稳定性等，可根据机器人的控制目标、任务要求和性能指标等进行动力学优化设计，以满足相应的应用需求。
机器人的动力学优化需要考虑多个方面的因素，例如，助力器件和驱动器件的设计，运动过程中的能量分配和分配过程的最优化等，通过运用数学模型和优化算法，提高机器人的性能指标，实现机器人的最优化设计。
动力学优化设计应当考虑机器人的应用环境、性能需求以及其它相关因素，是机器人发展的重要研究方向。
第四章动力学应用机器人动力学分析及优化可应用于各种机器人系统，包括普通工业机器人、协作机器人、服务机器人、医疗机器人等。
在工业生产和生活领域，这些机器人的应用越来越普遍，优化机器人的动力学参数，有助于提高其有效性和合理性。
以智能家居为例，机器人通过高精度的动力学分析，掌握家居环境的信息，通过优化设计，提高其移动速度、精确性和准确度，以满足更多家庭环境的需求。
第04章-机器人动力学剖析
研究机器人动力学的目的
研究机器人动力学的目的是多方面的。 动力学正问题与机器人的仿真有关； 逆问题是为了实时控制的需要，利用动力学模型，实现 最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。在设计中 需根据连杆质量、运动学和动力学参数、传动机构特征和负
载大小进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方
利用前面的虚功原理来推导机器人的静力学关系式。 如图4－2所示的机械手，要产生图（a）所示的虚位 移，推导出图（b）所示各力之间的关系式。这一推导方 法本身也适用于一般的情况。
图4－2 机械手的虚位移和施加的力
假设 ： T m1 手爪的虚位移为 r r1 ,, rm , R 关节的虚位移为 1 ,, n T , R n1 T m1 手爪力为 F f1 ,, f m , R T n1 关节驱动力为 1 ,, n , R 如果施加在机械手上的力作为手爪力的 反力（ F 用来表示）时，机械手的虚功可 表示为： T T （4－5） W (F ) r
下面看一个例子来理解一下实际上如何使用虚 功原理。如图4－1所示，已知作用在杠杆一端的 力FA ，试用虚功原理求作用于另一端的力 FB 。假 设杠杆长度 L A ，LB 已知。
图4－1 杠杆及作用在它两端上的力
按照虚功原理，杠杆两端受力所作的虚功应
该是
FAx A FBx B 0
（4 － 1 ）
一、虚功原理 在介绍机器人静力学之前，首先要说明一下 静力学中所需要的虚功原理（principle of virtual work）。 约束力不作功的力学系统实现平衡的必要且 充分条件是对结构上允许的任意位移（虚位移） 施力所作功之和为零。这里所指的虚位移 （virtual displacement）是描述作为对象的系统 力学结构的位移，不同于随时间一起产生的实际 位移。为此用“虚”一词来表示。而约束力 （force of constraint）是使系统动作受到制约的 力。
第四章机器人静力学、动力学
例如给定变换T为 例如给定变换 为：
t11 t12 t t 22 21 T = t 31 t 32 t 41 t 42
t13 t 23 t 33 t 43
t14 t 24 t 34 t 44
若它的元素是变量x的函数，则T的微分为 的微分为: 若它的元素是变量 的函数， 的函数 的微分为
1 0 Trans(dx, dy, dz ) = 0 0 0 0 dx 1 0 dy 0 1 dz 0 0 1
由于微分旋转θ→0 ，所以 所以sinθ→dθ，cosθ→1，Versθ→0，将 由于微分旋转 ， ， ， 它们代入旋转变换通式中得微分旋转表达式: 它们代入旋转变换通式中得微分旋转表达式
0 1 0 0 1 − δx Rot ( x, δx) = 0 δx 1 0 0 0 0 1 0 0 Rot ( y, δy ) = 0 − δy 1 0
0 δy 0 1 − δz δz 1 1 0 0 Rot ( z , δz ) = 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1
若Rot（δx，δy，δz） 和Rot（δx‘，δy’，δz‘） 表示两 （ ， ， ） （ ， ， ） 个不同的微分旋转，则两次连续转动的结果为： 个不同的微分旋转，则两次连续转动的结果为：
1 − (δz + δz ' ) δy + δy ' δz + δz ' 1 − (δx + δx' ) Rot (δx, δy, δz ) Rot (δx' , δy ' , δz ' ) = − (δy + δy ' ) δx + δx' 1 0 0 0 0 0 0 1
第四章机器人的动力学
n
1
v Ci
v Ci
1 2
i Ii i )
T
1
[m 2
i 1 n
i
(J L q ) J L q (J A q ) IiJ A q ]
(i) (i) T (i) T T
1
(m 2
i 1
i
q
JL
(i)T
JL q q
(i)
二、机器人静力学关系式推导
以2自由度机械手为例，要产生图a所示的虚位移 , ， r ， 则图b所示各力 , 和 F 之间的关系：
1 2
1
2
由 虚 功 原 理 知 ： 1 1 2 2 F r 0 即： 1
2
1 F 2
当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度ω，角加速度
，惯
性张量
与作用力矩N之间满足欧拉方程：
IC (IC ) N
——欧拉运动方程
Ic R
3 3
是绕重心 c 的惯性矩（转动惯量） N 回转力矩
， I c的各元素表示对应的力
矩元素和加速度元素间
的惯性矩；
回转角速度；
对于对于zz轴轴于是于是12联立可得联立可得对于一般形状连杆对于一般形状连杆除第33分量以外其它分量皆不为分量以外其它分量皆不为00的第1122分量成为改变轴方向的力矩但在固定分量成为改变轴方向的力矩但在固定轴场合与这个力矩平衡的约束力生成轴场合与这个力矩平衡的约束力生成22式中的式中的1122分分量不产生运动
由虚功原理得：
F A x A FB x B 0 即 ： F A L A F B L B 0 ( F A L A F B L B ) 0 F A L A FB L B 0 FB LA LB FA
第四章 机器人动力学 53页 0.6M
m1 m2 gd1 sin1 m2 gd2 sin1 2 c11
2 1 2
2 1 2
2 1 2
2 2
(4 12)
Robotics 动力学
4.1 机器人刚体动力学
4.1.2 机械手动力学方程的求法
当考虑关节摩擦阻尼时
T2 d L L dt 2 2
r (t ) r ' (t ) ro ' (t )
Robotics 动力学
4.1 机器人刚体动力学
4.1.0 动力学基本定理
绝对运动速度：在定坐标系中的运动速度 相对运动速度：在动坐标系中的运动速度 牵连运动速度：动坐标系在定坐标系中的运动速度 绝对运动加速度：在定坐标系中的运动加速度 相对运动加速度：在动坐标系中的运动加速度 牵连运动加速度：动坐标系在定坐标系中的运动加速度 当牵连速度为平动时， a ae ar 当牵连运动为定轴转动时，
Qj:为非势的广义力
当含有粘性阻尼时，方程变为：
L Q j ，Φ：瑞利耗三散函数 q q j j
Robotics 动力学
4.1 机器人刚体动力学
4.1.0 动力学基本定理
例：图示为振动系统方程
1。动能
2。势能
1 2 T (m1 x12 m2 x2 ) 2
注意：这里只求显因变量的偏导数
Robotics 动力学
4.1 机器人刚体动力学
4.1.2 机械手动力学方程的求法
代入拉格朗日方程
T1 d L L dt 1 1
m1 m2 d12 m2 d 22 2m2 d1d 2 cos 2 m2 d 22 m2 d1d 2 cos 2 2 1 2m d d sin m d d sin 2 m1 m2 gd1 sin1 m2 gd2 sin1 2
机器人学-第4章_机器人动力学
机械手系统（包括传动装置）的总动能为：
Kt K Ka
1 2
6 i 1
i j 1
i k 1
Trace
Ti qi
Ii
Ti T qk
qj qk
1 2
6
I ai qi2
i 1
(4.20)
4.2.2 动能和位能的计算
23
4.2.2 动能和位能的计算
位能的计算 一个在高度h处质量m为的物体，其位能为：
对拉格朗日函数求导，以得到动 力学方程式。
O3 连杆2
3rp
连杆3 O2
O1 连杆1 0rp
P
连杆4 O4
O
图4.4 四连杆机械手
第四章 机器人动力学
15
4.2.1 速度的计算
连杆3上点P的速度为：
0vp
d dt
(
0
r
p
)
d dt
(T3
3
rp
)
T3 3rp
对于连杆i上任一点的速度为：
v
dr dt
4
4.1.1 刚体的动能与位能
x0 0, x0和x1均为广义坐标，有下式：
M1 x1 c( x1 x0 ) k( x1 x0 ) M1 g F M 0 x0 c( x1 x0 ) k( x1 x0 ) M 0 g F
或用矩阵形式表示为：
M1
0
0 M0
x1 x0
D212 D221 0
重力项
D1 (m1 m2 )gd1 sin1 m2 gd2 sin(1 2 ) D2 m2 gd2 sin(1 2 )
4.1.2 动力学方程的两种求法
10
拉格朗日功能平衡法
表4.1给出这些系数值及其与位置 2的关系。
第4章_机器人动力学
i i ∂T ∂T = Trace ∑∑ i i r i r T i ∂q j =1 k =1 ∂q k k
T qk qk & &
(4.16)
4.2 机械手动力学方程
20
4.2.2 动能和位能的计算
动能的计算 令连杆3上任一质点P的质量为dm，则其动能 为：
对于动力学，有两个相反的问题：
其一是已知机械手各关节的作用力或力矩，求各 关节的位移、速度和加速度，求得运动轨迹。 其二是已知机械手的运动轨迹，即各关节的位移、 速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或力矩。
机器人学基础
2
4.1 刚体动力学
拉格朗日函数L被定义为系统的动能K和位能P之 差，即:
L= K −P
图4.3 二连杆机械
4.1.2 动力学方程的两种求法
14
2．牛顿-欧拉动态平衡法
可得:
2 & T1 = [(m1 + m2 )d12 + m2 d 2 + 2m2 d1 d 2 cosθ 2 ]θ&1 2 & & & & + [m2 d 2 + m2 d1 d 2 cosθ 2 ]θ&2 + c1θ 1 − (2m2 d1 d 2 sin θ 2 )θ 1θ 2
图4.4 四连杆机械手
第四章 机器人动力学
16
4.2.1 速度的计算
连杆3上点P的速度为：
0
vp =
d 0 d & ( r p ) = (T3 3 r p ) = T3 3 r p dt dt
对于连杆i上任一点的速度为：
dr v= dt i ∂Ti i ∑ & = q r j =1 ∂q j j
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L qi
d L L
Fi
dt
( ) xi
xi
Ti
d dt
(
L
i )
L
i
求力 求力矩
转
式中 qi (i 1,2, , n) 机器人关节变量。
动
关
公式的合理性解释！
节
拉格朗日方程
用拉格朗日法建立机器人动力学方程的步骤： (1) 选取坐标系,选定完全而且独立的广义关节变量 (2) 选定相应的关节上的广义力Fi：当qi是位移变量时,则Fi为力,当qi正 是角度变量时,则Fi为力矩。 (3) 求出机器人各构件的动能和势能,构造拉格朗日函数。 (4) 代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。
杆1质心k1速度平方为
杆2质心k2速度平方为
拉格朗日动力学方程分析
含有1 或 2 的项表示由于加速度引起的关节力矩项，其中： 含有 D11和 D22 的项分别表示由于关节1加速度和关节2加速度引起的
惯性力矩项; 含有 D12 的项表示关节2的加速度对关节1的耦合惯性力矩项： 含有 D21的项表示关节1的加速度对关节2的耦合惯性力矩项。
拉格朗日动力学方程分析
只含关节变量 1和 2的项表示重力引起的关节力矩项。其中：
含有 D1 的项表示连杆1、连杆2的质量对关节1引起的重力矩 项；
含有 D2的项表示连杆2的质量对关节2引起的重力矩项。
从上面推导可以看出，很简单的二自由度平面关节机 器人其动力学方程已经很复杂了，很多因素都在影响 机器人的动力学特性。
第四章 动力学分析和力
主要内容：
机器人静力平衡 拉格朗日动力学方程
机器人静力平衡
机器人与环境之间存在相互作用力和力矩； 机器人各关节的驱动力通过连杆传递到机器人
手； 在静止状态下，机器人各关节传递到机器人手
的力和力矩与外界作用在机器人手上的力和力 矩构成平衡关系。 因此，关节力和力矩与机器人手受到外界力和 力矩所作的功相等。
i f ( j , j , j ) 1 j n
拉格朗日方程
拉格朗日函数 拉格朗日函数L的定义是一个机械系统的动能 Ek 和
势能 EP 之差，即
L Ek Ep
式中 Ek 为系统动能总和；
EP 为系统势能总和。
动能和势能怎样计算？
拉格朗日方程
▪ 拉格朗日方程：
滑动关 节
Fi
d dt
L qi
微分运动： H D JD
结 论： T J T H F
机器人静力平衡
对上式变换：
H F (J T )1 T
这就是关节空间与直角坐标空间之间力的相互变换！
机器人静力平衡
例题
如图所示，一个二自由度平面关节机械手，已知手 部端点力 F [Fx , Fy ]T ，求相应的关节力矩。
机器人静力平衡
机器人静力平衡
机器人手空间
H D dx dy dz x y zT
H F f x f y f z mx my mz T
关节空间
D d1 d2 d3 d4
T T1 T2 T3 T4 T5
d5 d5 T
T6 T
机器人静力平衡
根据虚功原理求关节力与机器人手受力之间的关系
虚功原理： W H F T H D T T D
归结为两个问题
给出已知的轨迹点上的 、 、 ，即机器人关节
位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量τ 。这
可用于驱动器选型。 已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的运
动。也就是说，给出关节力矩向量τ, 求机器人所产
生的运动 、 及 。 这对模拟和优化机器人 的运动是非常有用的。
动力学分析方法
动力学分析方法有多种，如： ✓ 拉格朗日(Lagrange)方法， ✓ 牛顿-欧拉(Newton·Euler)方法， ✓ 高斯(Gauss)方法， ✓ 凯恩(Kane)方法等。
拉格朗日方法不仅能以最简单的形式求得非常复杂的 系统动力学方程，而且具有显式结构，物理意义比较 明确，对理解机器人动力学比较方便。
拉格朗日动力学方程实例
分别用拉格朗日动力学和牛顿力学方法推导如图所示的动力学方程。
1、拉格朗日法
Ek
1 mv2 2
1 mx2 2
Ep
1 kx2 2
L
Ek
Ep
1 2
mx2
1 kx2 2
L mx x
d (mx) mx dt
L kx x
拉格朗日方程 F mx kx
2、牛顿法
F ma
F kx ma F ma kx
K
m
x
自己看懂P109的例2！
如相 和图应m所2的，示关杆，节长选1和分取关别坐节为标2l1系的和。力l连2矩，杆是质1心和1和分连别杆2在2。的k连关1和杆节k12变处和量，连分离杆别关2为的节转质中角量心分的1别和距是离 2m分，1
别为 p1 和 p2 。 因此，杆1质心 k1 的位置坐标为：
坐标系间力和力矩的变换
虚功原理： W F T DBF T B D
微分运动： B DBJ D
力： F BJ T B F
B F ( BJ T )1 F
Z
f m a
n
X
Y
机器人静力平衡
当其中一个坐标系为参考坐标系时：
当已知机器人手在参考坐标系 中施加的力和力矩转换为相对 于手自身坐标系的力和力矩！
拉格朗日动力学方程分析
含有12 和22的项表示由于向心力引起的关节力矩项，其中： 含有 D122的项表示关节2速度引起的向心力对关节l的耦合力矩项； 含有 D211的项表示关节1速度引起的向心力对关节2的耦合力矩项。
拉格朗日动力学方程分析
含有 12 的项表示由于哥氏力引起的关节力矩项,其中： 含有 D112 的项表示哥氏力对关节1的耦合力短项； 含有 D212 的项表示哥氏力对关节2的耦合力矩项。
B fz a f
B fy o f
B fx n f
B mz a ( f p) m
Bmy o ( f p) m
B mx n ( f p) m
机器人静力平衡
例题P128
为什么要使用动力学分析
位置运动学解决的主要问题； 微分运动学解决的主要问题； 静力学分析解决的主要问题；
可是，在考虑加、减速过程、摩擦 等情况下，前面所学知识并不能解 决关节力与关节运动之间的关系！
汽车加速过程是怎样的？
Байду номын сангаас
机器人动力学分析的作用
用于机器人机械结构、驱动器、减速机构等的 选型和设计；
对于给定的机器人系统，用于校核机器人运动 目标是否能实现；
其它分析，如不同关节之间运动和力的相互影 响等。