二次根式的乘除法

二次根式的乘除法

二. 重点、难点：

1. 重点：

（1）掌握二次根式乘、除法法则，并会运用法则进行计算；

（2）能够利用二次根式乘、除法法则对根式进行化简；

（3）能够将二次根式化简成“最简二次根式”。

2. 难点：

（1）理解最简二次根式的概念；

（2）能够运用积的算术平方根的性质、二次根式的除法法则将二次根式化简成“最简二次根式”。

三. 知识梳理：

1. 二次根式的乘法

两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。

说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数；

（2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0）；

（≥0，≥0，≥0，≥0）。

（3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（≥0，≥0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。

2. 二次根式的除法

两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。

说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，≥0，在分母中，因此＞0；

（2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）；

（3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。

3. 最简二次根式

一个二次根式如果满足下列两个条件：

（1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式；

（2）被开方数中不含分母。

这样的二次根式叫做最简二次根式。

说明：

（1）这两个条件必须同时满足，才是最简二次根式；

（2）被开方数若是多项式，需利用因式分解法把它们化成乘积式，再进行化简；

（3）二次根式化简到最后，二次根式不能出现在分母中，即分母中要不含二次根式。

【典型例题】

例1. 求下列式子中有意义的x的取值范围。

（1）

（2）

分析：此题涉及二次根式的乘法、除法公式的正确应用，特别注意公式应用的范围。

（a≥0，b≥0）；==（a≥0，b＞0）。

解：（1）+1≥0，2-≥0。解得≥-1，≤2，即-1≤≤2。

（2）≥0，3->0。解得≥0，< 3，即0≤<3。

例2. 计算：

（1）；（2）；（3）；（4）。

分析：直接运用二次根式的乘法进行计算，把它们的被开方数相乘，根指数不变，如果积能开方一定要开方。

解：（1）==；

（2）===6；

（3）===；

（4）===。

例3. 化简：

（1）；（2）；（3）；（4）。

分析：直接运用公式（≥0，≥0）化简即可，尽可能将被开方数的因式写成平方的形式。

解：（1）===15；

（2）====6；

（3）======20；

（4）===

=。

例4. 计算：

（1）；（2）；（3）；（4）。

分析：利用（≥0，≥0）对二次根式进行乘法计算，要注意当结果仍然是二次根式时，应尽量化简。（4）中的隐含条件是≥0，≥0。

解：（1）====；

（2）===；

（3）====-39；

（4）===。

例5. 化简：

（1）；（2）；（3）；（4）。

分析：利用（≥0，≥0）可把被开方数比较复杂的二次根式化简。方法是先将被开方数进行质因数分解，化为积的形式，如果根号内有开得尽方的因式就移到根号外面来，用它的算术平方根来代替，从而达到化简的目的。

解：（1）====；

（2）===；

（3）==

===504；

（4）=

例6. 化简：

（1）（＞0）；（2）（＞0）；

（3）（＞0）；（4）（＞0，＞）。

分析：对于被开方数是多项式的二次根式，应把多项式分解因式然后按照被开方数是单项式的方法进行分解。为使运算简便，应尽量地应用运算律和乘法公式来进行计算，运算得到的结果必须进行化简。

解：（1）===；

（2）=

==；

（3）===

（4）===。

例7. 计算：

（1）；（2）；（3）；（4）。

分析：直接运用（≥0，＞0）进行计算，运算后结果要化简。

解：（1）===2；

（2）===3；

（3）===2；

（4）==。

例8. 化简：

（1）；（2）；（3）；（4）。

分析：运用公式（≥0，＞0）化简，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。要注意的是，当被开方数是带分数时，要先把它化成假分数。

解：（1）===；

（2）==；

（3）==；

（4）===。

例9. 计算：

（1）；（2）；（3）；（4）。

分析：二次根式的除法可以转化为乘法运算。对于多个二次根式相除的情况，应按照题中指定的顺序进行计算，有括号的先算括号里面的，没有括号的，从左往右依次计算，结果注意化简，数字应放在字母前面。

解：（1）====；

（2）====

（3）===；

（4）====。

例10. 把下列根号外的因式移到根号内

（1）；（2）。

分析：把根号外的因式内移到根号内，是指将根号外的非负因数或非负因式平方后移到根号内，并与根号内的因数或因式相乘。

解：（1）=

（2）