三角函数与三角恒等变换(知识点)
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三角函数与三角恒等变换(知识点)
1.⑴ 角度制与弧度制的互化:π弧度180=,1180
π
=弧度,1弧度180
(
)π
='5718≈.
⑵ 弧长公式:||l R α=;扇形面积公式:211
||22
S R Rl α=
=.
2.三角函数定义:
⑴ 设α是一个任意角,终边与单位圆交于点P (x ,y ),那么y 叫作α的正弦,记作sin α;x 叫作α的
余弦,记作cos α;
y
x
叫作α的正切,记作tan α. ⑵ 角α中边上任意一点P 为(,)x y ,设||OP r =,则:
sin ,cos ,y x r r αα==tan y
x
α=.
三角函数符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
3.三角函数线:
正弦线:MP ; 余弦线:OM ; 正切线: AT .
4
六组诱导公式统一为“()2
k Z α±∈”
,记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限. 5.同角三角函数基本关系:22sin cos 1αα+=(平方关系);sin tan cos
α
αα
=(商数关系).
6.两角和与差的正弦、余弦、正切:① sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;
② cos()cos cos sin sin αβαβ
αβ±=; ③ tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
.
7.二倍角公式:① sin22sin cos ααα=;
② 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=
-=-; ③ 2
2tan tan 21tan α
αα
=-. 变形:21cos2sin 2αα-=;21cos2cos 2
α
α+=. (降次公式)
8.化一:sin cos )y a x b x x x =+)x ϕ+.
9. 物理意义:物理简谐运动sin(),[0,)y A x x ωϕ=+∈+∞,其中0,0A ω>>. 振幅为A ,表示物体离开平衡位置的最大距离;周期为2T π
ω
=
,表示物体往返运动一次所需的时间;频率为12f T ω
π
=
=
,表示物体在单位时间内往返运动的次数;x ωϕ+为相位;ϕ为初相.
10.三角函数图象与性质: 函
数
sin y x =
cos y x = tan y x =
图象
作图:五点法
作图:五点法
作图:三点二线
定 义 域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) {|,}2
x x k k Z π
π≠+
∈
值 域
[-1,1]
[-1,1]
(-∞,+∞)
极 值 当x =2k π+2π
,y max =1;
当x =2k π+32
π
y min =-1
当x =2k π,y max =1;
当x =2k π+π,y min =-1
无
奇
偶 奇函数 偶函数 奇函数 T
2π
2π
π
单 调
性 [2,2]22
k k ππ
ππ-+递增
3[2,2]22
k k ππ
ππ++递减
[2,2]k k πππ-递增 [2,2]k k πππ+递减
(,)22
k k π
π
ππ-
+递增
11. 正弦型函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的性质及研究思路:
① 最小正周期2T π
ω
=,值域为[,]A A -.
② 五点法图:把“x ωϕ+”看成一个整体,取30,,,,222
x ππ
ωϕππ+=时的五个自变量值,相应的函
数值为0,,0,,0A A -,描出五个关键点,得到一个周期内的图象.
③ 三角函数图象变换路线:sin y x =ϕ−−−−−→左移个单位
sin()y x ϕ=+ ω
−−−−−→1
横坐标变为倍
sin()
y x ωϕ=+A −−−−−→
纵坐标变为倍
sin()y A x ωϕ=+. 或:sin y x = ω
−−−−−→1
横坐标变为倍
sin y x ω=ϕω
−−−−−
→左移个单位
sin ()y x ϕωω
=+A −−−−−
→纵坐标变为倍
sin()y A x ωϕ=+. ④ 单调性:sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的增区间,把“x ωϕ+”代入到sin y x =增区间[2,2]()22k k k Z ππππ-++∈,即求解22()22
k x k k Z ππ
πωϕπ-+≤+≤+∈.
⑤ 整体思想:把“x ωϕ+”看成一个整体,代入sin y x =与tan y x =的性质中进行求解. 这种整体思想的运用,主要体现在求单调区间时,或取最大值与最小值时的自变量取值.