非周期信号的频谱

3.3 非周期信号的频谱
3.3非周期信号的频谱
• 3.3.1 傅立叶变换
• 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换
– 门函数 – 冲激函数 – 直流信号 – 指数信号 – 阶跃函数 – 符号函数 – 冲激偶函数
3.3.1 傅立叶变换
• 周期信号有：
Fn
1 T
T
2 T
f (t)e jn1t dt
F( j) F( j) e j() a() jb()
| F( j) | a2() b2()
() arctg b() a()
是ω的偶函数 是ω的奇函数
F( j) F( j) () ()
a( j) a( j) b() b()
3.3.1 傅立叶变换
• 关于连续谱的说明 具有离散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分量中。
记为：
F( j) f (t)e jtdt
f (t) 1 F( j)e jtd
2
或： f (t) F( j)
一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对
可积， 即要求
f (t) dt
3.3.1 傅立叶变换
• 傅立叶变换的存在
F( j) 存在的充分条件：
由 | f (t)dt | f (t) dt
3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换
• 直流信号1可表示为： P110例3.4-6
f (t) 1 t
F( j)
1
e
jt
dt
（直接积分无法进行）
由傅立叶逆变换的定义式有： (t) 1
1
e
jt
d
令：t
2 () 1 1 e jt dt
2
冲激信号是偶函数： () () 1 1 e jt dt
j
2
ej
2
j
2sin( )
2
sin( )
2
2
Sa( )
2
则： F( j) Sa( )
2
0： F( j)
k (k 1,2,3,) 2k ： F( j) 0
2
• 门函数
3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换
频带宽度： 0 ~ 2
2 (rad / s)
f 1 (Hz)
具有连续频谱的信号，其能量分布在所有的频率中， 每一频率分量包含的能量则为无穷小量。
• 几个重要结论：
当 f (t) 是实函数时：
3.3.1 傅立叶变换
(1) 若 f(t)为t的偶函数，即 f(t) = f(-t)，
来自百度文库
则 f(t)的频谱函数 F(jω) 为ω的实函数， 且为ω的偶函数。
(2) 若f(t)为t的奇函数，即 f(-t) = -f(t)， 则f(t)的频谱函数 F(jω) 为ω的虚函数，且为ω的奇函数。
3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换
• 冲激函数P109例3.4-5 由傅立叶变换的定义式有：
取样性质
F( j)
(t)e
jtdt
1
(t) 1
(t)
冲激信号的频谱是均匀谱 F( j)
1
0
t
0
也就是说，δ(t)中包含了所有的频率分量， 而各频率分量的
频谱密度都相等。 显然， 信号δ(t)实际上是无法实现的。
与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。 2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的连
续频谱等间隔取样求得。
3. 信号在时域有限，则在频域将无限延续。
4. 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点 之间，即有效带宽。
5. 脉冲宽度 越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。 即信号信息量大、传输速度快， 传送信号所占用的频带越宽。
2
2 ()
1
e
jt
dt
则：F( j) 2 ()
3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换
• 门函数
矩形脉冲一般称为门函数。 其宽度为τ， 高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。
1 g (t)
0
(t )
2
(t )
2
3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换
•
F
门函数
( j)
ggτ(t()t的)e傅 j里td叶t 变 换为/ 2 e：Pj1t0d6t例3.4e-1 / 2
了连续变量
3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换
• 周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比 C.由非周期脉冲按一定的周期T重复后构成的周期信号
F( j) 和 Fn 之间可以互求。
3.非周期信号的频谱也具有收敛性。 脉宽的定义方法与周期信号相同。
3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换
• 分析： 1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状
2
f (t) Fne jn1t
T
n
Fn T
2 T
f (t)e jn1t dt
2
周期信号趋于非周期信号。
• 当 T 时： 谱线无限密集，1 d
幅度 Fn 趋于无穷小， n1
令：F
(
j)
lim
T
Fn
T
f (t)e jt dt
3.3.1 傅立叶变换
• 又因为：
F(
j)
lim
T
3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换
• 周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比
1.它们都具有抽样函数 Sa(x) 的形式。
2.
Fn
A
T
Sa( n1 )
2
和
F ( j) ASa( )
2
A.
Fn
值较
F( j)
值多乘了
1 T
这是由于两者的定义规定的。
B. Fn 中的不连续变量 n1 在 F( j) 中变成
Fn
T
lim
T
Fn
2 1
2Fn d
相当于单位频率占有的幅度，具有密度的意义，Fn
F( j) 2
d
所以将其称为频谱密度函数，简称频谱函数，为连续谱。
f (t) Fne jn1t
n
lim
T
n
Fn
1
e
jn1t
1
n1
1
d
1
F ( j)e jtd
2
3.3.1 傅立叶变换
• 傅立叶变换对 • 正变换 • 逆变换
f(t)为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出：
F( j)
f (t)e jtdt
f (t) costdt j
f (t)sintdt
a() jb()
3.3.1 傅立叶变换
• 其中： a() f (t) costdt
是ω的偶函数
b() f (t)sintdt
是ω的奇函数
两种表达形式：
知 | F( j) | | f (t)e jt | dt | f (t) || e jt | dt
而 | e jt | 1
| F() | | f (t) | dt
3.3.1 傅立叶变换
• 频谱
频谱函数F(jω)一般是复函数，可记为
F( j) F( j) e j()
F ( j) 幅度频谱 e j () 相位频谱，它们都是ω的连续函数