中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第29讲条件开放的探索性问题

数学高考综合能力题选讲30是否存在型的探索性问题100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测一般来说，是否存在型问题，实质上是探索结论的开放性问题．相对于其他的开放性问题来说，由于这类问题的结论较少（只有存在、不存在两个结论，有些时候须讨论），因此，思考途径较为单一，难度易于控制，受到各类考试的命题者的青睐．解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性．探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素．范例选讲例．已知数列{}n a 中，11=a ，且对于任意自然数n ，总有21-=+n nn a a a ，是否存在实数b a ,，使得nn b a a ⎪⎭⎫⎝⎛--=32对于任意自然数n 恒成立？证明你的结论．讲解：nn b a a ⎪⎭⎫⎝⎛--=32是一个一般性的结论，为了探求b a ,是否存在，我们可从特殊的n 出发，求出b a ,的值，再检验是否满足一般的条件．由11=a ，12112a a a ==--，代入nn b a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32，可解得1595a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．代入检验，可知当4n =时，一方面由21-=+n n n a a a 得415a =-，另一方面，由nn b a a ⎪⎭⎫⎝⎛--=32得4116545a =--，矛盾．所以，这样的实数b a ,不存在．上述过程是解答这一类问题的一般方法，但对于本题，有它的特殊性．如果对极限的概念较为熟悉，不难发现，如果这样的b a ,存在的话，则由nn b a a ⎪⎭⎫⎝⎛--=32，可得：lim n n a a →+∞=．对21-=+n n n a a a 两边取极限，得2aa a =-，解得0a =或3． 若0a =，则数列{}n a 应该是以1为首项，以23为公比的等比数列，显然，不可能对任意的正整数n 都满足21-=+n nn a a a ；若3a =，将11a =代入nn b a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32，可求得b =－3，此时，2333nn a ⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭，验证2a 即可得出矛盾．作为探索是否存在的一种手段，后一种方法显然优于前一种．点评：探索，常常遵循“从一般到特殊，再从特殊到一般”的思维方法．先从具体、特定的实例入手，从中探测出问题的结论，再经过严格的论证．例2．已知函数()21bx cy f x ax +==+（,,0,a c R a b ∈>是自然数）是奇函数，()f x 有最大值12，且()215f >．（Ⅰ）试求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）是否存在直线l 与()y f x =的图象只交于P 、Q 两点，并且使得P 、Q 两点的中点为（1，0）点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 讲解：（Ⅰ）由()f x 为奇函数易知：0c =．又因为0,a b >是自然数，所以，当0x <时，()f x <0；当0x >时，()0f x >．所以，()f x 的最大值12必在0x >时取得．当0x >时，()211/bx b f x ax ax x ==≤++，等号当且仅当1/ax x =时取得．12=． 又()215f >，所以，215b a >+．结合0,a b >是自然数，可得：1a b ==．所以，()21xf x x =+．（Ⅱ）对于“是否存在型”的问题，一般探索的方法为：假设存在，导出矛盾，或者从部分．．结论出发，导出其存在的必要条件，再验证是否充分． 根据上述思路，我们可以假设存在满足条件的直线l ，则P 、Q 的坐标可为P ()00,x y ，()002,Q x y --．且这两点都在函数()21xf x x =+的图像上．即：()002000201221x y x xy x ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=-⎪-+⎩ 消去0y ，得200210x x --=，解得：01x =．所以，1, 144P Q ⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或1, 144P Q ⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭．所以，直线l 的方程为：014=--y x ．l 的存在性还须通过充分性的检验．把直线l 的方程与函数()21xy f x x ==+联立，不难求得，共有三组解：111 , 12x x x y y y ⎧⎧==-=⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨===⎪⎪⎪⎩⎩⎩－，－． 因此，直线l 与()y f x =的图象共有三个交点，与“只交于两点”矛盾．所以，满足条件的直线l 不存在．在得到这样的解答之后，我们不妨回头再看一看，在上述过程中，函数()f x 的性质（如奇偶性）并没有得到充分的应用．若能充分运用这个已知条件，则可以得到其他不同的探索过程．解2：设),(),,(2211y x Q y x P ，则由)(x f 为奇函数可知：P 关于原点的对称点),('11y x P --也在()x f 的图像上，又2,02121=+=+x x y y ，所以，2'=Q P ，且轴x Q P //'，故问题等价于： 是否存在直线b y m =:，使得m 与)(x f y =有两个距离为2的交点．将b y m =:代入12+=x xy ，解之得：b b x 241122,1-±=，令221=-x x ，解得：42±=b ，212,1±=x ， 所以，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+42,21,42,21Q P ，此时直线的方程为014=--y x 充分性的检验过程同上．以上两种解法都是从求出直线的方程入手．如果我们将着眼点放在“只交于两点”，则可以得到下面简洁的解法．解3：当直线l 的斜率不存在时，:1l x =，此时l 与函数()f x 的图像只交于一点，不满足题设，所以，可设直线PQ 的方程为：b kx y +=，与12+=x xy 联立，消去y 得： 0)1(23=+-++b x k bx kx （#）由P 、Q 关于点（1，0）对称，可得：点（1，0）在直线PQ 上，所以，k b -=． 对于上述方程（＃），若0k =，则方程只有一解，不符合题意．若0k ≠，则方程（#）的实根个数可能为1个或3个．不可能有两个．即过点（1，0）的直线l 与()y f x =的图象不可能只有两个交点，所以，这样的直线不存在．点评：敏锐的观察，丰富的想象，是进行有效探索的法宝．例3．已知}{n a 是首项为2，公比为21的等比数列，n S 为它的前n 项和． （Ⅰ）用n S 表示1+n S ；（Ⅱ）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+cS cS k k 成立．讲解：（Ⅰ）由⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n S 2114，得)(221211411N n S S n n n ∈+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++．（Ⅱ）为了探求自然数c 和k 的存在性，我们可以执果索因，用分析法．要使21>--+c S c S k k ，只要0223<-⎪⎭⎫ ⎝⎛--kk S c S c ． 因为42114<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k S ，所以N)(k S S S k k k ∈>-=⎪⎭⎫⎝⎛--0212223，故只要N)(k S c S k k ∈<<-223． ① 到此为止，可以看出，问题已转化为：是否存在自然数k ，使得在322k S -和k S 之间存在一个自然数c ？因此，我们需考察322k S -与k S 的表达式．注意到：362422k k S -=-，1412k k S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以，当3k ≥时，3322k S <-，4k S <，故只需考虑1,2k =的情形． 又1k =时，3212k S -=，2k S =；2k =时，35222k S -=，3k S =．所以，均不可能存在自然数c 满足条件．点评：如果将上述问题（Ⅱ）改为：“是否存在自然数c ，使得对于任意的自然数k ，都有21>--+cS cS k k 成立？”是否有更简洁的解法？请读者思考．高考真题1．（2000年上海高考）已知复数01(0), z mi m z x yi =->=+ , w x y i ''=+和, , , x y x y ''其中均为实数，i 为虚数单位，且对于任意复数0,, ||2||z w z z w z =⋅=有．（Ⅰ）试求m 的值，并分别写出x '和y '用x 、y 表示的关系式；（Ⅱ）将(x 、y )作为点P 的坐标，(x '、y ')作为点Q 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ，当点P 在直线1+=x y 上移动时，试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程； （Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由． 2．（1995年全国高考25题）略．[答案与提示：1．（Ⅰ）⎩⎨⎧-='+='y x y yx x 33；（Ⅱ）点Q 的轨迹方程为232)32(+--=x y ；（Ⅲ）这样的直线存在，其方程为x y 33=或x y 3-=．]。

数学高考综合能力题选讲4三角函数的图象与性质100180 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测我们在中学阶段所学习的函数的各种性质，如单调性、奇偶性、周期性等，在三角函数中都可以得到充分的体现，而且，不仅仅如此，三角函数还具有对称、有界等其他性质．因此，三角函数的图象和性质就成为研究函数性质时的典型例证．从这样一个角度出发，熟练掌握和运用三角函数的图象和性质，不仅是本章的要求，而且有助于我们对函数综合问题有进一步的理解．范例选讲例1 已知函数()b x a x x x f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=cos 6sin 6sin ππ（R b a ∈,，且均为常数），（1）求函数()x f 的最小正周期；（2）若()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,3π上单调递增，且恰好能够取到()x f 的最小值2，试求b a ,的值．讲解：研究三角函数的性质（如周期、最值、单调性、奇偶性等）时，首先应该对所给的函数关系式进行化简，最好化为一个角（形如ϕ+wx ）、一种三角函数的形式．（1） ()b x a x x x f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=cos 6sin 6sin ππ b x a x ++=cos 6cos sin 2πb x a x ++=cos sin 3()b x a +++=θsin 32（其中θ由下面的两式所确定：33cos ,3sin 22+=+=a a aθθ）所以，函数()x f 的最小正周期为π2．（2） 由（1）可知：()x f 的最小值为b a ++-32，所以，232=++-b a ． 另外，由()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,3π上单调递增，可知：()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,3π上的最小值为⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πf ，所以，⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πf =232=++-b a ． 解之得：2,1=-=b a点评：三角函数的单调性、周期是本章考察的重点．三角函数的值域经常与二次函数等其它问题综合，考察函数在确定区间上的最值．例2 设R x ∈，试比较()x f =x cos cos 与()x g =x sin sin 的大小关系．讲解 观察所给的两个函数，它们均是两个三角函数的复合函数，因此，我们不难想到：它们可能仍然具备三角函数的某些性质，如单调性、周期性、奇偶性等．初步判断便可以确定：()x f 、()x g 都是周期函数，且最小正周期分别为π、π2．所以，只需考虑[]ππ,-∈x 的情形．另外，由于()x f 为偶函数，()x g 为奇函数，所以，很自然的可以联想到：能否把需考虑的x 的范围继续缩小？事实上，当[]0,π-∈x 时，()x f >0，()x g 0≤恒成立，此时，()x f >()x g ． 下面，我们只需考虑[]π,0∈x 的情形．如果我们把()x f 看作是关于x cos 的余弦函数，把()x g 看作是关于x sin 的正弦函数，那么这两个函数既不同名，自变量也不相同，为了能进行比较，我们可以作如下恒等变换，使之成为同名函数，以期利用三角函数的单调性．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x sin 2cos sin sin π 至此为止，可以看出：由于x sin 2-π和x cos 同属于余弦函数的一个单调区间，（即x sin 2-π，x cos ∈[]π,0），所以，只需比较x sin 2-π与x cos 的大小即可．事实上，（x sin 2-π）—x cos =x sin 2-π—x cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4sin 22ππx 022>-≥π 所以，利用余弦函数在[]π,0上单调递减，可得：x sin sin <x cos cos ．也即()x g <()x f综上，()x g <()x f ．点评 本题好在充分地运用了正余弦函数的值域、周期性、奇偶性、单调性等性质，对于训练学生思维、加深对这些性质的理解、以及学习利用函数的性质去解决问题有很大的帮助．是一道很有训练价值的好题．高考真题1．（1998年全国高考）关于函数f(x)＝4sin(2x ＋3π)(x ∈R)，有下列命题: ①由f(1x )＝f(2x )＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍；②y ＝f(x)的表达式可以改写成y ＝4cos(2x －6π)； ③y ＝f(x)的图像关于点(－6π，0)对称； ④y ＝f(x)的图像关于直线x ＝－6π对称. 其中正确的命题序号是_________.(注:把你认为正确的命题序号都填上)2．（1999年全国高考）函数()()()0sin >+=ωϕωx M x f 在区间[]b a ,上是增函数，且 ()(),,M b f M a f =-=则函数()()ϕω+=x M x g cos 在[]b a ,上（A ）是增函数 （B ）是减函数（C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值M -3．（2000年全国高考）已知函数1cos sin 23cos 212++=x x x y ，R x ∈． （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由()R x x y ∈=sin 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？[答案与提示：1. ②③ 2.（C ） 3. （1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,6ππ；（2）略．]。

2008高考人大附中权威教师支招冲刺复习数学教师简介：梁丽平，北京市数学特级教师，人大附中数学教研组组长，海淀区兼职教研员，多年来，一直担任人大附中第一实验班的数学教学工作，所辅导的学生在学科竞赛和高考中均取得优异成绩：有高考状元，有数学满分，也有国际数学奥林匹克金牌，历届学生，每班都有40人左右升入清华北大。

主持(或参与了)多项课题研究，在《数学通讯》、《中学数学教学参考》、《中学数学》等国家级刊物上发表了多篇文章。

主持人：各位网友大家好，欢迎观看人民网教育频道的视频访谈。

今天我们的访谈主题是“2008年高考数学名师冲刺辅导”，距离高考还有不到80天的时间，今天特别邀请到数学特级教师、中国人民大学附属中学数学教研组组长梁丽平老师。

首先欢迎梁老师的到来，请您和广大人民网的网友进行一个简短的交流。

梁丽平：各位网友大家好，非常高兴能够做客人民网教育频道，就高考数学方面的问题和大家交流。

主持人：北京卷的考试说明已经下发到考生手中了，很多考生非常关心如何根据考试说明进行下一阶段的数学复习，我们在人民网教育频道的网站上征集了不少的提问，首先请老师先就这些提问给我们一一作答。

考生最关心的就是这个阶段我们应该着手复习一些什么内容？有一些同学想问问老师如何改进？梁丽平：先说说考试说明的事。

与去年相比，今年的考试说明变化不大。

考试内容和要求基本上一字未改，只是参考样题做了一些调整，就是把2007年的高考题补充进去了。

再一个现阶段应该怎样复习。

现在距离高考还有两个多月，绝大多数考生已经完成了第一轮的复习，也就是对于高考的知识点，按照章节的内容过了一遍，以前不太清楚的点，现在逐渐变得清晰了，以前不会的方法现在回忆起来了，也会了，感到自己有了很大的进步，这是非常好的一件事，在这个基础上，怎么样能够让自己提高的更快一点。

因为现在毕竟距离高考还有两个多月的时间。

让自己在有限的时间之内，有最大的收益。

实际上，第一轮复习是知识积累的一个过程。

数学高考综合能力题选讲2函数的基本性质100180 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测函数的性质主要包括：函数的单调性、奇偶性和周期性。

函数是中学数学的重要内容，函数的性质也是高考考查的重中之重。

高考对本部分内容的要求较高，不仅要求熟练掌握这些性质，还要求能够运用定义去证明和判断，以及能够灵活运用这些性质解题。

范例选讲例1 对于满足40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，试求x 的取值范围。

讲解 不等式342-+>+p x px x 很容易让我们联想到二次函数：()()p x p x x f -+-+=342基于这种认识，本题实质上就是：对于二次曲线系()()p x p x x f -+-+=342（40≤≤p ），考虑使得()0>x f 恒成立的x 的取值范围。

对于每一个给定的p ，由于()0=x f 的二根分别为p -3,1，记()p p u -=3,1m a x )(，)3,1min()(p p v -=，则()0>x f 的解集为： ()p M =()()()()+∞⋃∞-,,p u p v所以，当p 在区间[]4,0上变化时，使得()0>x f 恒成立的x 的取值范围就是所有()p M 的交集。

因为40≤≤p ，所以，)(p u 的最大值为3，()p v 的最小值为1-。

所以，本题的答案应该为：()()+∞⋃-∞-,31,。

上述解法实际上源于我们思维的一种定势，即习惯于把x 当作变量，而把其余的字母作为参数。

而事实上，在上面的不等式中，x 与p 的地位是平等的。

如果我们换一个角度看问题，即把p 作为自变量，而把x 作为参数，则可以得到下面的另一种较为简洁的解法：考虑关于p 的函数：()()()3412+-+-=x x p x p g ，可以看到：()p g 是关于p 的一次函数或常数函数，要使得对于满足40≤≤p 的一切实数，()0>p g 恒成立，由函数的单调性可知，需且只需：()()⎩⎨⎧>>0400g g 解之得：3>x 或1-<x 。

数学高考综合能力题选讲22参数范围型综合问题100080 北京中国人民大学附中梁丽平题型预测参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力。

在历年高考中占有较稳定的比重。

解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等。

范例选讲例1 •对于满足0 p 4的一切实数，不等式x2 px 4x p 3恒成立，试求x的取值范围。

讲解：将p视为主元，设f p p x 1 x24x 3，贝U当0 p 4时，f p >0恒成立。

等价于： f 0 0o 即X 4x 3 0of 4 0 x2 1 0解得x 3或x 1。

点评：换个角度看问题，换个方面去解释，换个方向去思考。

在数学学习过程中，要注意多角度、多方向、多层次地去思考问题，这样不但对问题的认识更全面、更深刻，还可以发展自己的思维能力。

例2•已知函数f x 2x电o2x(I)将y f x的图像向右平移两个单位，得到函数y g x，求函数y g x的解析式；(U)函数y h x与函数y g x的图像关于直线y 1对称，求函数y h x的解析式;1a 求实数a的取值范围。

(m)设F x x h x，已知F x的最小值是m，且m 2 、T，讲解：（I）g xXx 2 2x2县乙竽；2x 2 4 2x(U)设点P x,h x 是函数y h x上任一点,点P x, h x关于y1的对称点是P' x,2 h x由于函数y h x与函数y g x的图像关于直线y 1对称，所以，点P'在函数y g 的图像上，也即:所以, 4a 歹；(m) 4a要求m的取值范围，可以通过构造关于是直接法，即先求出m的不等式来获得解答，方法之一F x的最小值，再令其大于2 ,7即可。

解法一。

为求F x的最小值，注意到Fx的表达式形同mt f，所以，可以考虑从m, n即丄a 11和4a 1的正负入手。

4丄1(1)当 a 44a 1 0时，由21，歹的值域均为0,，可得F这与F x m 2 7矛盾;1 1⑵当a 44a 1 0，即0F x是R上的增函数，此时F x无最小值，与题设矛盾;1 1⑶当a 44a 14时，F x是R上的减函数，此时F x也无最小值，与题设矛盾;244a 14所以，由(1)( 2)( 3)可得:1 1 c0 1 a 4 0，即-a 4 时,44a 1 042x4a1 1 2x4 a 4a 1 ------ 2。

数学高考综合能力题选讲5三角恒等变换100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测三角恒等变形是运用三角解题的基础．高考中对于三角部分的考查，主要集中于三角恒等变换．难度一般控制在中、低档水平，复习时要注重通法和常规题型的掌握．范例选讲例1 求值：︒+︒︒⋅︒+︒+︒80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2.讲解 原式的分子︒︒︒+︒︒+︒=20cos 10sin 20sin 20cos 10cos 20sin 2︒︒+︒=20cos 10cos 20sin 2︒︒+︒=20cos 10cos 40sin 320cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin =︒︒︒=︒︒+︒=，原式的分母＝︒︒+︒=︒︒+︒80sin 80cos 40cos 280sin 80cos 40sin 1()︒︒+︒+︒=80sin 80cos 40cos 40cos ︒︒︒+︒=80sin 20cos 60cos 240cos310cos 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos =︒︒︒=︒︒+︒=，所以，原式＝１．点评 三角函数式的化简和求值，是训练三角恒等变换的基本题型，在化简和求值中，常用的方法有：切割化弦、异名化同名、角的配凑、拆项、降幂与升幂等． 例2已知54sin cos ,53cos sin =+=+βαβα，求βαsin cos 的值．讲解 由条件直接解出βαs i n c o s 、的值是不可取的．由于()()()βαβαβα--+=sin sin 21sin cos ，所以，应该设法由已知求出βα+及βα-的三角函数值．已知可以让我们联想到形如n m =+=+βαβαcos cos ,sin sin 的式子，但二者又不完全相同．即后者可以直接和差化积，前者则不然．其实，只要作一个变换，令γπβ-=2，则可将本题转化为我们熟悉的问题．解1：令γπβ-=2，则原题等价于： 已知54cos cos ,53sin sin =+=+γαγα，求γαcos cos 的值． 两式分别和差化积并相除得：432tan=+γα，所以 ()2572tan12tan1cos 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+γαγαγα. 分别将已知两式平方并求和得：()21cos -=-γα,所以，()()()10011cos cos 21cos cos -=-++=γαγαγα.在对式子n m =+=+βαβαcos cos ,sin sin 进行变形的过程中，我们不难联想到，既然可以平方相加，为什么不能平方相减呢？尝试的结果可以使我们得到下面的解法：解2：由54s i n c o s ,53c o s s i n =+=+βαβα平方相加得：()21sin -=+βα． 上述两式平方相减得：()257sin 22cos 2cos -=-+-βααβ． 将上式前两项和差化积，得：()()()257sin 2sin sin 2-=-+-+βαβαβα， 结合()21sin -=+βα，可解得：()257sin -=-βα． 所以，()()()βαβαβα--+=sin sin 21sin cos 10011-=．点评 联想和类比，常常可以促成问题转化，并最终达到解决问题的目的．例3 已知函数()x xm x f cos sin 2-=在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上单调递减，试求实数m 的取值范围．讲解 已知条件实际上给出了一个在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上恒成立的不等式．任取∈21,x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，且21x x <，则不等式()()21x f x f >恒成立，即>-11cos sin 2x x m 22cos sin 2x x m -恒成立．化简得()()2112sin 2cos cos x x x x m ->-由2021π<<<x x 可知：0cos cos 12<-x x ，所以()1221cos cos sin 2x x x x m --<上式恒成立的条件为：()上的最小值，在区间⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--<20cos cos sin 21221πx x x x m . 由于()2sin 2cos 22sin 2sin 22cos 2sin4cos cos sin 22121212121211221x x x x x x x x x x x x x x x x +-=-+--=-- 2sin2cos 2cos 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 221212121x x x x x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2tan2tan 2tan 2tan 122121x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=且当2021π<<<x x 时，42,2021π<<x x ，所以 12tan ,2tan 021<<xx , 从而 02t a n 12t a n 12t a n 2t a n 2t a n 2t a n 1212121>⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x ,有 22t a n2t a n 2t a n 2t a n 122121>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x , 故 m 的取值范围为]2,(-∞. 点评 求()的最小值⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221cos cos sin 2x x x x 时，要注意能否取到的问题．请思考，下面的解法有什么问题：当2021π<<<x x 时，220,0242121ππ<+<<-<-x x x x ，有 12sin 0,12cos 222121<+<<-<x x x x ， 从而()212222s i n 2c o s 2c o s c o s s i n 221211221=⋅>+-=--x x x x x x x x ， 故 m 的取值范围为]2,(-∞.高考真题.1. （2002年全国高考） 已知.2,0,12coc o2s i 2si n2⎪⎭⎫⎝⎛∈=-+πααααα求ααtg ,sin . 2. （2001年上海春季高考）已知)24(12sin sin 22π<α<π=α+α+αk tg ，试用k 表示ααcos sin -的值．3. （1994年全国高考）已知函数f(x)＝tg x ，x ∈(0，2π)，若1x ，2x ∈(0，2π)，且1x ≠2x ，证明:21[f(1x )＋f(2x )]＞f(2x x 21+).[答案与提示： 1．,21sin =α33=αtg ． 2．k -1． 3．略]。

数学高考综合能力题选讲29《条件开放地探究性问题》100080北京中国人民大学附中梁丽平题型展望探究性问题地明显特点是问题自己拥有开放性及问题解决地过程中带有较强地探究性．对于条件开放地探究性问题,常常采纳剖析法,从结论和部分已知地条件下手,执果索因 ,导出所需地条件．此外,需要注意地是,这一类问题所要求地常常是问题地充足条件,而不一定是充要条件 ,所以 ,直觉联想、较好地洞察力都将有助于这一类问题地解答．典范选讲例 1．在四棱锥 P ABCD 中,四条侧棱长都相等,底面 ABCD是梯形 , AB // CD , AB CD ．为保证极点 P 在底面 ABCD 所在平面上地射影 O 在梯形ABCD 地外面 ,那么梯形 ABCD 需知足条件 ___________________<填上你以为正确地一个条件即可）．解说：条件给我们以启迪．由于四条侧棱长都相等 ,D C所以 ,极点 P 在底面 ABCD 上地射影 O 到梯形 ABCD 四个极点地距离相等．即梯形ABCD 有外接圆 ,且外接圆地圆心就是 O．明显梯形ABCD 一定为等腰梯形．A再看结论．结论要求这个射影在梯形地外面 ,事实上 ,我们只需找出使这个结论建立地一个充足条件即可．明显 ,点 B、 C 应当在过 A 地直径 AE 地同侧．不难发现 , ACB 应当为钝角三角形．故当 ACB 90 <且 AC>BC ）时可知足条件．其他等价地或近似地条件能够随读者想象．评论：此题为条件探究型题目,其结论明确 ,需要齐备使得结论建立地充足条件 ,可将题设和结论都视为已知条件 ,进行演绎推理推导出所需追求地条件．这种题要修业生变换思想方向 ,有益于培育学生地逆向思想能力．B E例 2．老师给出一个函数y f x ,四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数地一个性质：甲：对于 x R,都有 f 1 x f 1 x ；乙：在 ( ,0] 上函数递减；丙：在0,上函数递加；丁： f 0 不是函数地最小值．假如此中恰有三个人说得正确,请写出一个这样地函数：____________．解说：第一看甲地话 ,所谓“对于 xR,都有 f 1 x f 1 x ”,其含义即为：函数 f x 地图像对于直线x 1 对称．数形联合 ,不难发现：甲与丙地话相矛盾． <在对称轴地双侧 ,函数地单一性相反）所以 ,我们只需选择知足甲、乙、丁 <或乙、丙、丁）条件地函数即可． 假如我们希望找到知足甲、乙、丁条件地函数 ,则需要认识到：所谓函数在(, 0] 上单一递减 ,其实不是说函数 f x 地单一递减区间只有 ( ,0] ．考虑到关于直线 x 1 地对称性 ,我们不如结构函数 ,使之在 ( ,1] 上单一递减 ,这样 ,既不与乙地话矛盾 ,也知足丁所说地性质．如f x x 1 2即可．假如希望找到知足乙、丙、丁条件地函数 ,则分段函数是必定地选择．如f xx 1, x 0．x, x 0评论：此题考察学生对于函数性质地理解和掌握．思虑这样地问题 ,经常需要从熟习地函数 <一次、二次、反比率函数 ,指数、对数、三角函数等）下手 ,另 外 ,分段函数常常是解决问题地重点．例 3．对随意函数 f x , x D ,可按图示结构一个数列发生器 ,其工作原理以下：①输入数据 x 0D ,经数列发生器输出 xf x ；1②若 x 1 D ,则数列发生器结束工作；若x 1 D ,则将 x 1 反馈回输入端 ,再输出x 2并依此规律持续下去．f x 1 ,现定义 f x4x 2 ．x 1<Ⅰ）若输入 x 049,则由数列发生器产生数列x．请65n写出数列 x n 地全部项；<Ⅱ）若要数列发生器产生一个无量地常数数列 x n ,试求输入地初始数据 x 0地值；<Ⅲ）若输入 x 0 时,产生地无量数列 x n知足：对随意正整数 n,均有 x n x n 1 ,求 x 0 地取值范围．<Ⅳ）能否存在x 0 ,当输入数据 x 0 时 ,该数列发生器产生一个各项均为负数地地无量数列．解说：<Ⅰ）对于函数 f x4x 2, D ,11,．x1若 x 049,代入计算可得： x 1 11, x 2 1, x 3 1 , 65 19 5故产生地数列 x n 只有三项．<Ⅱ）要使数列发生器产生一个无量地常数数列,其实是对于随意地正整数n ,都应当有 x n 1x n ．又 x n 1f x n4x n 2．所以 ,只需令 f xx ．x n1解得： x 1 或 x 2 ．由于题目实质上只需求找到产生“无量常数数列”地一个充足条件,所以 ,令x 0 1 <或 2）即可．此时必有 x n 1x n ＝1<或 2）．事实上 ,相对于此题来讲 , x 01 <或 2）是产生“无量常数数列”地充要条件 <这是由于函数 fx4x 2是一一对应）．假如把函数换成f xx 23x 2 ,x12x请读者思虑：有多少个知足条件地初值x 0 ？<Ⅲ）要使得对随意正整数n,均有 x nx n 1 ,我们不如先探究上述结论建立地一个必需条件．即 x 1x 2 4x 12 ．x 11事实上 ,不等式 x4 x2地解为 x 1 或1 x 2 ．<＊）x 1所以 , x 1 1或 1 x 12 ．下边我们来研究这个条件能否充足．当 x 11时 , x 24x 1 2 6 4 ,所以 ,固然有 x 1 x 2 ,但此时 x 3 4 x 2 ,x 1 4x 111明显不切合题意．当1 x 12 时,由上可知： x 1 x 2 ,且不难求得 1 x 2 2 ,以此类推 ,可知 ,必有：对随意正整数 n,均有 x nx n 1 建立．综上所述 , 1 x 12 ．由 xfx 及 < ＊） ,不难得悉： x 0 地取值范围为11,2 ．<Ⅳ）要求使得 x n0 任取n N 建立地初x0．上是果索因．令x n 0 ,由x n f xn 1不解得 1 x n 1 1 ．2又由 x n 1f xn 2,可解得：1xn 2 5 ．57由此我知道 ,假如x n0 ,必有1x n 25．即 x n与 x n 2不行能同小于0．57故在本地下 ,不行能生各均数地数列x n．点：本条件探究型 ,果索因 ,适合运用剖析法 ,找使建立地充足条件是解决地常用方法．高考真1． <1998 年全国高考）如 ,在直四棱柱 A 1B1C1D1-ABCD 中 ,当底面四形ABCD 足条件 __________ A 1 D 1 ,有 A 1C B1D1.(注：填上一种你正确地一种条件即可 ,不用考全部可能地情况 .>B1C12．<2002 上海春天高考）曲C1和 C2地方程分A DF1 x, y 0 和 F2 x, y 0 , 点 P a, b C1C2地一个充足条件 _____________________．3．<2002 年上海高考）B C命 A ：底面正三角形 ,且点在底面地射影底面中心地三棱是正三棱．命 A 地等价命 B 能够是：底面正三角形 ,且地三棱是正三棱．4．<2000 年全国高考 18 ）略．[ 答案与提示： 1 ．足AC BD 地任一条件均可； 2 ． F1 a, b0 ／F2 a, b 0 ,／ F1 a, b 0 且 F2 a,b0 ／C1C2／P C1等；3．棱相等 /棱与底面所成角相等 /⋯⋯ ]； <Ⅰ）； <Ⅱ）； <Ⅲ）．1．<2000 年全国高考）如 ,已知平行六面体ABCD- A1B1C1D1地底面 ABCD 是菱形 ,且C1CB =BCD = 60 ．<I）明：C1C⊥BD；<II ）假设 CD=2, C1C = 3,面C1BD,面 CBD 2,求二面角BD地平面角地余弦；CD<III ）当地值为多少时,能使A1C平面C1BD？请给出证明．。

中国人民大学附中特级教师梁丽平-高考数学综合能力题30讲第27讲-建构不等关系的应用性问题数学高考综合能力题选讲27建构不等关系的应用性问题100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测不等式应用题，多以函数面目出现，以最优化的形式展现，解答这一类问题，不仅需要不等式的相关知识（不等式的性质、解不等式、均值不等式等），而且往往涉及函数、数列、几何等多方面知识，综合性强，难度可大可小，是高考和各地模拟题的命题热点．范例选讲 例1. 某商场经过市场调查分析后得知，2003年从年初开始的前n 个月内，对某种商品需求的累计数)(n f （万件）近似地满足下列关系：12,,3,2,1,)18)(2(901)( =-+=n n n n n f （Ⅰ）问这一年内，哪几个月需求量超过1.3万件？（Ⅱ）若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销，每月初至少要投放多少件商品？（精确到件） 讲解：（Ⅰ）首先，第n 个月的月需求量＝()()()1, 11, 212f n f n f n n =⎧⎪⎨--≤≤⎪⎩ ∵)18)(2(901)(n n n n f -+=， ∴ ()171 1.330f =<．所以，当x =50千克，y =20千克，z =30千克时，混合物成本最低，为850元．点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域00463203130x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪-≥⎩上使得40075c x y =++最大的点．不难发现，应在点M （50，20）处取得．例3．一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比． （Ⅰ）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？（Ⅱ）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R ）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，木材长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？讲解：（Ⅰ）由题可设安全负荷k lad k y (221⋅=为正常数），则翻转90º后，安全负荷222da y k l=⋅． 因为12y d y a=，所以，当0d a <<时，12y y <．安全负荷变大； 当0a d <<时，12y y >，安全负荷变小．（2）如图，设截取的枕木宽为a ，高为d ，则2222a d R ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即22244a d R +=． ∵ 枕木长度不变，∴u =ad 2最大时，安全负荷最大∴ ()22222422442u d a d R d d R d ==-=- ()()3222222223++224422343d d R d d d R d R ⎛⎫- ⎪=⋅⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭= ad l x y 3x-y=1304x+6y=320M当且仅当2222d R d -=，即取R d 36=，R d R a 332222=-=时，u 最大， 即安全负荷最大．例4．现有流量均为3002/m s 的两条河流A 、B 会合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为23/kg m 和0.23/kg m ．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换1003m 的水量，即从A 股流入B 股1003m 水，经混合后，又从B 股流入A 股1003m 水并混合．问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.013/kg m （不考虑泥沙沉淀）？讲解：本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于0.013/kg m ”．但直接建构这样的不等关系较为困难．为表达方便，我们分别用,n n a b 来表示河水在流经第n 个观测点时，A 水流和B 水流的含沙量．则1a ＝23/kg m ，1b ＝0.23/kg m ，且()()11111003001002001312, 1003004410020033n n n n n n n n n n a b b a b a b a b a ++++++==+=+++＝．（＊） 由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差，所以，我们不妨直接考虑数列{}n n a b -．由（＊）可得：()()1111112221313333442n n n n n n n n n n n n a b b a b a b a a b a b +++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，数列{}n n a b -是以11 1.8a b -=为首项，以12为公比的等比数列． 所以，111.82n n n a b -⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭．由题，令n n a b -< 0.01，得1112180n -⎛⎫< ⎪⎝⎭．所以，2lg1801log 180lg 2n ->=． 由7821802<<得27log 1808<<，所以，8n >．即从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.013/kg m ．点评：本题为数列、不等式型综合应用问题，难点在于对题意的理解．高考真题1.（1996年全国高考）某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22％,人均粮食占有量比现在提高10％,如果人口年增长率为1％,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)？2.（1998年全国高考）如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体长度为a米,高度为b米.已知流出的水中杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米,问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔的面积忽略不计)3.（2002年上海高考）某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：4000.230110⨯+=（元）．设购买商品得到的优惠率＝购买商品获得的优惠额商品的标价．试问：（Ⅰ）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（Ⅱ）对于标价在［500，800］（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于13的优惠率？[答案与提示：1．耕地平均每年至多只能减少4公顷．2．a=6米，b=3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．3．（Ⅰ）33%；（Ⅱ）顾客购买标价在［625，750］元内的商品时，可得到不小于13的优惠率．]消费金额（元）的范围[200,400) [400,500) [500,700) [700,900) …获得奖券的金额（元）30 60 100 130 …A。

数学高考综合能力题选讲28结论开放的探索性问题100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测探索性问题是指那些题目条件不完备、结论不明确、或者答案不唯一，给学生留有较大探索余地的试题．这一类问题立意于对发散思维能力的培养和考察，具有开放性，解法活、形式新，无法套用统一的解题模式，不仅有利于考查和区分考生的数学素质和创新能力，而且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能，因而受到各方面的重视，近年来已成为高考试题的一个新亮点．探索性问题一般有三类：（1）探索结论的开放性问题；（2）探索条件的开放性问题；（3）探索规律（或策略）的问题．结论开放的探索性问题，往往结论不确定、不唯一，或结论需通过类比引申推广，或结论需通过特例归纳．解决这一类问题，要注意类比归纳、等价转化、数形结合等思维方法．范例选讲例1．设f (x ) 是定义域为R 的一个函数，给出下列五个论断：① f (x )的值域为R ；② f (x )是R 上的单调递减函数； ③ f (x )是奇函数；④ f (x )在任意区间[a , b ] (a <b )上的最大值为f (a )，最小值为f (b )，且f (a )> f (b )； ⑤ f (x )有反函数．以其中某一论断为条件，另一论断为结论（例如：⑤⇒①），至少写出你认为正确的三个命题： . 讲解：本题考察对于函数性质的理解． 根据单调性的定义，不难知道：②⑤等价，又由于单调函数必有反函数，所以，不难写出三个正确命题：②⇒⑤；④⇒⑤；②⇒④（或④⇒②）．进一步思考，函数的值域与单调性、奇偶性并无直接联系，而且单调性与是否存在反函数之间也不是等价的关系．所以，可以知道，只有上述三个正确命题．例2．已知,αβ是实数，给出下列四个论断： （1）αβαβ+=+； （2）αβαβ-≤+；（3） αβ>>4）5αβ+>以其中的两个论断为条件，其余两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题．__________________________________． 讲解 本题考查不等式的性质．显然，（1）、（2）等价，它们的含义均为：,αβ同号．在此前提之下，由（3）必可推出（4），所以，正确的命题为：（1）（3）⇒（4）；（2）（3）⇒（4）．点评：对于这一类只给出了一个特定的情境，而命题的条件、结论及推理论证的过程均不确定的开放性试题，应该灵活运用数学知识，回顾相近的题型、结论、方法，进行类比猜想．在给定的情境中自己去假设，去求解，去调整方法，去确定结果．例3．如右图，在正方体1111ABCD A B C D -中，写出过顶点A 的一个平面，使该平面与正方体的12条棱所成角都相等（写出你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况）．_____________________________讲解：正方体的12条棱共分为3组，每组有4条平行线，所以，只需考虑与过同一顶点的三条棱所成角相等即可． 正方体是我们较为熟悉的基本图形，不难知道：面ADB 1即符合条件（与BA 、BD 、BB 1所成角相等）．例4．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是___________________（只需写出一个可能的值）．讲解：本题为策略开放题，过程需学生自己设计．由于四面体的棱长未一一给出，首先需探求和设计符合题意的几何图形，再按图索骥，得出结论．本题只要求写出一个可能的值，所以，我们可以尽量构造相对简单、易求值的图形．如：底面为边长为1的正三角形，侧棱长均为2．不难算得，此时体积为12． 作为本题的延伸，我们可以考虑所有符合题意的图形．由于三角形的两边之长大于第三边，所以，组成四面体各个面的三角形中，或者只有一边长为1，或者3边长全为1．如果这些三角形中，有一个边长为1的正三角形，则将其作为底面，考虑其侧棱长，共四种情况：两边为1，一边为2；一边为1，两边长为2；三边长全为2．简单的考察不难知道，只有最后一种情况是可能的．如果这些三角形中，不存在边长为1的正三角形，则只可能有两种情况：四BB 1C面体的6条棱中，只有一组相对棱的长度为1，其余棱长全为2；只有一条棱长为1，其余棱长全为2．综上，共3种情况．如图：其体积分别为：,12126． 点评：数学需要解题，但题海战术绝对不是学习数学的最佳策略．如何能够跳出题海，事半功倍，关键是找到好的切入点．从本题来说，一方面当然要最快找到一个可能的结果，另一方面，对于这种具有多重结果的结论开放性试题，抓住条件中那些影响结果的动态因素，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解．例5．规定()()11!m x x x x m C m --+=，其中x R ∈，m 是正整数，且01x C =，这是组合数m n C （n ，m 是正整数，且m n ≤）的一种推广．（Ⅰ）求515C -的值；（Ⅱ）组合数的两个性质：①m n m n n C C -=；②11m m m n n n C C C -++=是否都能推广到（x R ∈，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；（Ⅲ）我们知道，组合数m n C 是正整数．那么，对于m x C ，x R ∈，m 是正整数，是否也有同样的结论？你能举出一些m x C R∈成立的例子吗？ 讲解：（Ⅰ）()()()515151619116285!C ----==-．（Ⅱ）一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义．从这个角度很快可以看出：性质①不能推广．例如当x =但1无意义．性质②如果能够推广，那么,它的推广形式应该是：11m m m x x x C C C -++=，其中x R ∈，m 是正整数．类比于性质①的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的，那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论．事实上，当1m =时，10111x x x C C x C ++=+=．当2m ≥时，()()()()()()()()()()()111112!1!121 11!121 !m m x x m x x x x m x x x m C C m m x x x m x m m m x x x m x m C -+--+--++=+---+-+⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭--++== 由此，可以知道，性质②能够推广．（Ⅲ）从m x C 的定义不难知道，当x Z ∉且0m ≠时，m x C Z ∈不成立，下面，我们将着眼点放在x Z ∈的情形．先从熟悉的问题入手．当x m ≥时，m x C 就是组合数，故m x C Z ∈． 当x Z ∉且x m <时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形（m x C ，x Z ∉且x m <）与已知的结论m n C Z ∈相联系？一方面再一次考察定义：()()11!mxx x x m C m --+=；另一方面，可以从具体的问题入手．由（Ⅰ）的计算过程不难知道：551519C C -=-．另外，我们可以通过其他例子发现类似的结论．因此，将515C -转化为519C 可能是问题解决的途径．事实上，当0x <时，()()()()()()()1111111!!mmm m x x m x x x m x m x x C C m m -+---+-+--+-==-=-．①若1x m m -+-≥，即1x ≤-，则1m x m C -+-为组合数，故mx C Z ∈．②若1x m m -+-<，即0x m ≤<时，无法通过上述方法得出结论，此时，由具体的计算不难发现：43C ＝0……，可以猜想，此时0m x C Z =∈．这个结论不难验证．事实上，当0x m ≤<时，在,1,,1x x x m --+这m 个连续的整数中，必存在某个数为0．所以，0m x C Z =∈．综上，对于x Z ∈且m 为正整数，均有m x C Z ∈．点评：类比是创造性的“模仿”，联想是“由此及彼”的思维跳跃．在开放题的教学中，引导学生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法、问题的结论等引申、推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有利于培养学生的创新思维能力，又有利于提高学生举一反三、触类旁通的应变灵活性．高考真题1．（1999年全国高考) α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m ⊥n ； ②α⊥β； ③n ⊥β； ④m ⊥α． 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：__________________________________．2．（2000年全国高考）如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是_______．（要求：把可能的图的序号都填上）3．（2001年上海春季高考）若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即2ba b a +=*，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实当选a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是__________________．4．（2002年上海春季高考）如下图．若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点12M M 、与点12N 、N ，则三角形面积之比11221122OM N OM N S OM ON S OM ON ∆∆=⋅．若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上，分别有点12P P 、，点12Q Q 、和点12R R 、，则类似的结论为：______________________________．[答案与提示：1．②③④⇒①／①③④⇒②； 2．②③； 3．(*)()*()a b c a b a c +=++／()()()()a*b c a b *c b c *a a c *b +=+=+=+等； 4．111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅．]。

数学高考综合能力题选讲 3题型预测指数函数与对数函数都是非常重要的初等函数， 也是我们在高中阶段研究函数问题时主 要的载体•其它初等函数与之相复合，所得到的新函数的定义域、值域、单调性，以及它们 与不等式的综合常常成为考查的核心.范例选讲例 1 .已知 f x log a x x 2 1，其中 a 1 .(1) 试求f x 的定义域和值域；求出f x 的反函数f 1 X ；(2) 求出f x 的反函数 Lx ;(3) 判断函数f 1 x 的奇偶性和单调性；(4) 若实数m 满足f 「m f 1 1 m 2 0，求m 的取值范围.讲解(1)由于、x 1 x ，所以，函数f x 的定义域为R.一个单调函数(y x )和一个非单调函数(y •、x 2 1 )之和，因此，ux 的 单调性并不能通过简单判断很快得到.解决这个问题，我们可以有下面的两种选择：一、 从单调性的定义出发.即任取X 1,X 2 R ，且X 1 X 2，比较u X 1、u X 2的 大小关系，这种方法留给同学自己完成.二、 通过刚才的观察，很快可以看出：ux 在0, 上单调递增，此时，ux 的取值范围为1,100080 指数函数与对数函数 北京中国人民大学附中梁丽平 为求f x 的值域，观察函数u x x . x 2 1的解析式.注意到u x 其实是由t 0,，则t t 2 1 1, 可知：此时u x 的取值范围为0,1 .又x 0时，u(x) 1 .所以，函数ux xx 2 1的值域为0, 所以，函数f x 的值域为R .(2)设 y f x ，则 a y = x .. x 2 1，利用 x .. x 2 1 与,x 2 1 x 互为倒 数，可得 a y = • x 2 1 x ，所以，x 1 a y a y .2 1所以，f 1 x =— a x a x ， x R .2 1(3) 任取x R ，则f 1 x = a x a x = f 1 x ，所以，函数f 1 x 为奇 函数.任取x 「X 2 R ，且捲X 2，则由a 1及指数函数的性质可知：X 1 X 2 X 1 X 2a a ， a a ，所以，a X1 a X1 a X2 a X2，即 f 为 f x 2 .所以，f 1 x 在定义域内单调递增.(4) 由 f 1 1 m f 1 1 m 2 0得：f 1 1 m f 1 1 m 2 ，即：f 1 1 m f 1 1 m 2结合 Lx 的单调性可知：上式等价于：1 m 1 m 2，解之得： m 1 或 m 2 .点评 ①定义域是研究函数的基础.求值域、判断奇偶性、单调性、研究函 数图象等都应先从定义域出发.②从定义域出发，利用函数的单调性，是求函数 值域常用的方法.例2.已知函数f x log a ―—2a 0,a 1，对定义域内的任意x 都 x 3 有f 2 x f 2 x 0成立.,0时, 0,，因此，若令t x ，则t t 2 1 1 t J 2 1(1) 求实数m 的值；(2) 若当x b,a 时，f x 的取值范围恰为1, 讲解：(1)由 f x log a 1 mX 2 及 f 2x 3, 1 m 2 x 2 ’ 1 loga log a —解之得：m 1 .1时，函数f x 无意义，所以，只有m 1 .解之得：a 2 .3 (因为a 3，所以舍去a 2 ,3),1，则b a 1 .又由于a 0,a 1，所以，0此时，同上可证f x 在 ,1上单调递增(证明过程略).所以，f x 在b, a 上的取值范围应为f b , f a ，而fa 为常数，故f x 的取值范围不可能恰为1,所以，在这种情况下，a,b 无解. ,求实数a,b 的值.0可得: (2) m 1 时, fX 匕亠―，其定义域为 ,1 3,所以，b,a ,1 或 b,a 3,①若b, a 3, ，则 3 b a .为研究x b,a 的值域，可考虑f x log a —X 上的单调 性.下证f x 在3, 上单调递减.任取 x 1, x 2 3, ，且X 1 X 2，则又a 1，所以, 所以，当b,a 由题：x x 1 1 x-i 3 x 2 1 x 2 3 3 x 2 X ix 1 3 x 2 3log a 2^1 x 1 3 log a 西 X 2X 1 f x 2 .3,， x 在3, 上单调递减b,a 时，f x 的取值范围恰为1,，所以，必有b②若b,a综上，符合题意的实数a,b的值为a 2 ,3 , b 3点评本题(2)中，充分的运用已知条件，可以减少分类讨论的次数.1. (1989年全国高考)已知a>0且1,试求使方程log a(x —ak) = log a?(x 2—a2)有解的k 的取值范围.x x x2. (1990年全国高考)设f(x) = Ig LZ (n 1)口，其中a是实数，nn是任意给定的自然数，且n》2.①如果f(x)当x€ ( —%，1］时有意义，求a的取值范围；②如果a€ (0，1)，证明2f(x) v f(2x)当x工0时成立.2x 13. (1991年三南高考)已知函数f(x)= ——2x 1⑴证明：f(x)在(一％, +x)上是增函数；⑵证明：对不小于3的自然数n都有f(n)［答案与提示：1.当k在集合(-s ,-1) U (0,1)内取值时，原方程有解；2. a的取值1寸n 1 ，(2)可用数学归纳法证明；3.略.］范围为a。