八年级上册宁波数学期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)

八年级上册宁波数学期末试卷（培优篇）（Word版含解析）

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．

小明同学探究的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，

他的结论是（直接写结论，不需证明）；

(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

(3)如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出三角形DEF的周长．

【答案】（1）EF=BE+DF．（2）成立，理由见解析；（3）10.

【解析】

【分析】

（1）如图1，延长FD到G，使得DG=DC,先证△ABE≌△ADG，得到AE=AG，

∠BAE=∠DAG，进一步根据题意得∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.

(2)如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，证得△ABE≌△ADG，得到AE=AG，

∠BAE=∠DAG，再结合题意得到∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.

（3）如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，先证△AEB≌△CGB，得到BE=BG，∠ABE=∠CBG，结合已知条件得∴∠CBF+∠CBG=45°，再证明△EBF≌△GBF，得到

EF=FG，最后求三角形的周长即可.

【详解】

解答：（1）解：如图1，延长FD到G，使得DG=DC

在△ABE和△ADG中，

∵

DC DG

B ADG

AB AD

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=

1

2

∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

∵

AE AG

EAF GAF

AF AF

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+DF；

故答案为：EF=BE+DF．

（2）解：结论EF=BE+DF仍然成立；

理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG

在△ABE和△ADG中，

∵

DG BE

B ADG

AB AD

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=

1

2

∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

∵AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴△AEF ≌△AGF （SAS ），

∴EF =FG ，

∵FG =DG +DF =BE +DF ，

∴EF =BE +DF ；

（3）解：如图3，延长DC 到点G ，截取CG =AE ，连接BG ，

在△AEB 与△CGB 中，

∵AE CG A BOG AF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴△AEB ≌△CGB （SAS ），

∴BE =BG ，∠ABE =∠CBG ．

∵∠EBF =45°，∠ABC =90°，

∴∠ABE +∠CBF =45°，

∴∠CBF +∠CBG =45°．

在△EBF 与△GBF 中，

∵BE BG EBF GBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴△EBF ≌△GBF （SAS ），

∴EF =GF ，

∴△DEF 的周长=EF +ED +CF =AE +CF +DE +DF =AD +CD =10．

【点睛】

本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键.但本题分为三问，难度不断增加，对提升思维能力大有好处.

2．如图1所示，已知点D 在AC 上，ADE ∆和ABC ∆都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点.

（1）求证：BMD ∆为等腰直角三角形；

（2）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，如图2所示，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由；

（3）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转一定的角度，如图3所示，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”成立吗？请说明理由.

【答案】（1）详见解析；（2）是，证明详见解析；（3）成立，证明详见解析.

【解析】

【分析】

()1根据等腰直角三角形的性质得出45ACB BAC ∠∠==，

90ADE EBC EDC ∠∠∠===，推出BM DM =，BM CM =，DM CM =，推出BCM MBC ∠∠=，ACM MDC ∠∠=，求出

22290BMD BCM ACM BCA ∠∠∠∠=+==即可．

()2延长ED 交AC 于F ，求出12

DM FC =，//DM FC ，DEM NCM ∠=，根据ASA 推出EDM ≌CNM ，推出DM BM =即可．

()3过点C 作//CF ED ，与DM 的延长线交于点F ，连接BF ，推出MDE ≌MFC ，求出DM FM =，DE FC =，作AN EC ⊥于点N ，证BCF ≌BAD ，推出

BF BD =，DBA CBF ∠∠=，求出90DBF ∠=，即可得出答案．

【详解】

()1证明：ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，

45ACB BAC ∠∠∴==，90ADE EBC EDC ∠∠∠===

点M 为EC 的中点，

12BM EC ∴=，12

DM EC =， BM DM ∴=，BM CM =，DM CM =，

BCM MBC ∠∠∴=，DCM MDC ∠∠=，

2BME BCM MBC BCE ∠∠∠∠∴=+=，

同理2DME ACM ∠∠=，

22224590BMD BCM ACM BCA ∠∠∠∠∴=+==⨯= BMD ∴是等腰直角三角形．