初升高数学衔接教材(完整)之欧阳家百创编

第一讲数与式

欧阳家百（2021.03.07）

1、绝对值

（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

（3）两个数的差的绝对值的几何意义：b

a-表示在数轴上，数a和数b之间的距离．

2、绝对值不等式的解法

（1）含有绝对值的不等式

①()(0)

<>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是

f x a a

-<<。

()

a f x a

②()(0)

>>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是

f x a a

或。

><-

f x a f x a

()()

③22

>⇔>。

()()()()

f x

g x f x g x

（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：

①找到使多个绝对值等于零的点．

②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．

③将分段求得解集，再求它们的并集．

例1. 求不等式354

x-<的解集

例2.求不等式215

x+>的解集

例3.求不等式32

->+的解集

x x

例4.求不等式|x＋2|＋|x－1|＞3的解集．

例5.解不等式|x－1|＋|2－x|＞3－x．

例6.已知关于x的不等式|x－5|＋|x－3|＜a有解，求a的取值范围．练习

解下列含有绝对值的不等式：

（1）13

-+-＞4+x

x x

（2）|x+1|<|x－2|

（3）|x－1|+|2x+1|<4

（4）327

x-<

(5)578

x+>

3、因式分解

乘法公式

（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ （4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-

（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法 例1 分解因式：

（1）x2－3x ＋2； （2）2672x x ++ （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-． 2．提取公因式法

例2.分解因式：

（1）()()b a b a -+-552（2）32933x x x +++ 3．公式法

例3.分解因式：（1）164+-a （2）()()2223y x y x --+ 4．分组分解法

例4.（1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+- 5．关于x 的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．

若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --. 例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式： （1）221x x +-； （2）2244x xy y +-． 练习

（1）256x x -- （2）()21x a x a -++ （3）21118x x -+ （4）24129m m -+ （5）2576x x +- （6）22126x xy y +-

（7）()()3211262

+---p q q p （8）22365ab b a a +- （9）()2

2244+--x x （10）

1224+-x x （11）by ax b a y x 222222++-+-

（12）91264422++-+-b a b ab a (13)x2－2x －1

（14） 31a +； （15）424139x x -+；

（16）2

2

222b c ab ac bc ++++；

（17）2235294x xy y x y +-++-

第二讲 一元二次方程与二次函数的关系

1、一元二次方程

(1)根的判别式

对于一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0），有:

（1）

当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝

2b a

-

（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－2b

a

； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． (2)根与系数的关系（韦达定理）

如果ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝b

a

-，x1·x2＝c a

．这一关系也被称为韦达定理． 2、二次函数2y ax bx c =++的性质

1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b

x a

=-

，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

，。 当2b

x a <-

时，y 随x 的增大而减小；当2b x a

>-时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a

=-时，y 有最小值

244ac b a -。

2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b

x a

=-，顶点坐标为

2424b ac b a

a ⎛⎫

-- ⎪⎝⎭，。当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a

>-

时，y 随x 的增大而减小；当2b

x a

=-时，y 有最大值244ac b a -.