2020学年上海市曹杨二中高二下学期期末数学试题(解析版)

上海市曹杨二中高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．若12i +是关于x 的实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，则（ ） A.2b =，5c = B.2b =-，5c = C.2b =-，5c =- D.2b =，1c =-

【答案】B

【解析】由题意可知，关于x 的实系数一元二次方程20x bx c ++=的两个虚根分别为12i +和12i -，然后利用韦达定理可求出实数b 与c 的值. 【详解】

由题意可知，关于x 的实系数一元二次方程20x bx c ++=的两个虚根分别为

12i +和12i -，

由韦达定理得()()()()12121212b i i c i i ⎧-=++-⎪⎨=+⋅-⎪⎩

，解得25b c =-⎧⎨=⎩.

故选：B. 【点睛】

本题考查利用实系数方程的虚根求参数，解题时充分利用实系数方程的两个虚根互为共轭复数这一性质，并结合韦达定理求解，也可以将虚根代入方程，利用复数相等来求解，考查运算求解能力，属于中等题. 2．若m 是小于10的正整数，则()()()151620m m m ---等于（ ）

A.5

15m P -

B.1520m m P --

C.5

20m P -

D.6

20m P -

【答案】D

【解析】利用排列数的定义可得出正确选项. 【详解】

()()()()()()()()()()123

1415162020!

1516201231414!

m m m m m m m m m m ⋅⋅--------=

=⋅⋅--

()()20!206!m m -=--⎡⎤⎣⎦，由排列数的定义可得()()()6

20151620m m m m P ----=. 故选：D. 【点睛】

本题考查排列数的表示，解题的关键就是依据排列数的定义将代数式表示为阶乘的形式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

3．已知曲线42

:1C x y +=，给出下列命题：①曲线C 关于x 轴对称；②曲线

C 关于y 轴对称；③曲线C 关于原点对称；④曲线C 关于直线y x =对称；⑤曲线C 关于直线y x =-对称，其中正确命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】C

【解析】根据定义或取特殊值对曲线C 的对称性进行验证，可得出题中正确命题的个数. 【详解】

在曲线C 上任取一点(),x y ，该点关于x 轴的对称点的坐标为(),x y -，且

()2

4421x y x y +-=+=，则曲线C 关于x 轴对称，命题①正确；

点(),x y 关于y 轴的对称点的坐标为(),x y -，且()4

242

1x y x y -+=+=，则曲

线C 关于y 轴对称，命题②正确；

点(),x y 关于原点的对称点的坐标为(),x y --，且()()4

2

42

1x y x y -+-=+=，

则曲线C 关于原点对称，命题③正确；

在曲线C 上取点3,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，该点关于直线y x =的对称点坐标为3,55⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

，

由于2

4

3291525⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭⎝⎭

，则曲线C 不关于直线y x =对称，命题④错误；

在曲线C 上取点35⎫

⎪⎪⎝⎭

，该点关于直线

y x =-的对称点的坐标为

3,5⎛- ⎝

⎭，由于2

4

3291525⎛⎛⎫-+=≠ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则曲线C 不关于直线y x =-对称，命题⑤错误.

综上所述，正确命题的个数为3. 故选：C. 【点睛】

本题考查曲线对称性的判定，一般利用对称性的定义以及特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.

4．在复数列{}n z 中，1816z i =+，()12

n n i z z n *

+=⋅∈N ，设n z 在复平面上对

应的点为n Z ，则（ ）

A.存在点M ，对任意的正整数n ，都满足10n MZ ≤

B.不存在点M ，对任意的正整数n ，都满足n MZ ≤

C.存在无数个点M ，对任意的正整数n ，都满足n MZ ≤

D.存在唯一的点M ，对任意的正整数n ，都满足n MZ ≤【答案】D

【解析】由()12n n i z z n N *

+=⋅∈，由复数模的性质可得出112

n n z z +=，可得出

数列{}n z 是等比数列，且得出1n z z ≤=n n n MZ OZ OM OZ OM =-≤+，结合向量的三角不等式可得出正确选项. 【详解】

1816z i =+，1z ∴==()12

n n i

z z n *+=⋅∈N ，

11

22

n n n i z z z +∴=

=，

所以数列{}

n z 是以为首项，以1

2为公比的等比数列，且n n OZ z =≤（O 为坐标原点），由向量模的三角不等式可得

85n n n MZ OZ OM OZ OM OM =-≤+≤+， 当点M 与坐标原点O 重合时，85n MZ ≤

因此，存在唯一的点M ，对任意的正整数n ，都满足n MZ ≤ 故选：D. 【点睛】

本题考查复数的几何意义，同时也考查了复数模的性质和等比数列的综合应用，解题的关键就是利用向量模的三角不等式构建不等关系进行验证，考查推理能力，属于难题. 二、填空题

5．1-的平方根为______． 【答案】i ±

【解析】根据()2

1i ±=-可得出1-的平方根.

【详解】

()

2

1i ±=-，因此，1-的平方根为i ±.

故答案为：i ±. 【点睛】

本题考查负数的平方根的求解，要熟悉21i =-的应用，考查计算能力，属于基础题. 6．复数2i

z i

+=

的虚部为______． 【答案】2-

【解析】利用复数的除法将复数z 表示为一般形式，可得出该复数的虚部.