1. 计算：2400 mod 319、2340 mod 11。
2. 设整数a 和b 不全为0，且a 和b 互素。请证明：ab 和a+b 互素。
3. 设n!的标准素因数分解式是
k k p p p εεε 2121
请证明：
∑∞=⎥⎥⎥⎦
⎥
⎢⎢⎢⎣⎢=1s i p n i ε，i=1,2,…,k 4. 300！末尾0的个数是？。
5. 解同余方程组：x≡3(mod 8)，x≡11(mod 20)，x≡1(mod 15)。
6. 求p →(p ∧(q →p))的主析取范式和主合取范式。（真值表法和等值演算法）
7. 求谓词公式∀x ∀y(P(x,y)↔Q(x,y))→∃x ∀yR(x,y)的前束范式。
8. 证明下面的推理：
“每个科研工作者都是努力工作的。每个努力工作而又聪明的人都取得事业的成功。某个人是科研工作者并且聪明。所以，某人事业取得成功。”
9. 设R={(1,2),(1,4),(3,3),(4,1)}是集合A={1,2,3,4}上的关系。
（1） R 是自反的吗？是对称的吗？是传递的吗？
（2） R 的自反对称闭包存在吗？
（3） R 的自反传递闭包存在吗？
（4） R 的对称传递闭包存在吗？
（5） R 的自反对称传递闭包存在吗？
（6） R 的反自反闭包存在吗？
（7） R 的反对称闭包存在吗？
10. 设A={x|x ∈N ，且x|54}，R={(x,y)|x,y ∈A ，且x|y }。
（1） 列出集合A 和R 中的元素；
（2） 给出R 的矩阵表示；
（3） 证明(A,R)是偏序集，画出哈斯图；
（4） 指出(A,R)中的最大元、最小元、极大元、极小元。
11. 设X={(x,y) | x 和y 是不为零的实数}，E 是X 上的关系：
(x1,y1)E(x2,y2)当且仅当
12
12
y y
x x
=
且x1·x2>0。
证明E是X上的等价关系，并给出[(x,y)]E的几何解释。
12.设R是X上自反、传递的关系，S=R∩R-1。
（1）证明S是X上的等价关系。
（2）在X/S上定义关系T：([x]S,[y]S)∈T当且仅当(x,y)∈R。证明T是X/S上的偏序关系。
13.设f：X→Y，g：Y→Z。下列命题是否成立？
（1）f︒g是一对一的当且仅当f和g都是一对一的；
（2）f︒g是到上的当且仅当f和g都是到上的；
（3）f︒g是一一对应当且仅当f和g都是一一对应。
14.证明：[0, 1]与(0, 1)等势。
15.下列图形可以几笔画？
16.证明Q n是偶图，也是哈密顿图。
17.证明：若无向简单图G有7个顶点、17条边，则G必为哈密顿图。
18.设G是平面图，有n个顶点、e条边、r个面、k个连通分量。证明n-e+r=k+1。
19.证明边数大于n-1的n阶连通图必有长度大于0的基本回路。
20.若一棵树有n i个度为i的顶点，2≤i≤k，没有度大于k的顶点，则它有几个度为1的顶点？
21.证明连通图的割边一定是每棵生成树的边。
22.k n与其生成树中各有多少条不同的基本通路（含长度为0的基本通路）？
23.在边长为2的正三角形中任意取5个点，证明其中必有2个点，其距离不大于1。
24.一个碗里有4个红球和10个篮球。一个女士不看着球而随机地选取。
（1）她必须选多少个球才能保证至少有3个球是同色的？
（2）她必须选多少个球才能保证至少有3个球是蓝色的？
（3）她必须选多少个球才能保证至少有6个球是同色的？
25.食堂有6种不同的早点，买n个有多少种不同的选法？
26.求方程x1+x2+x3=16满足下列条件的非负整数解的个数。
（1）x i≥1，i=1,2,3；
（2）9≥x i≥1，i=1,2；
（3）x i均为偶数，i=1,2,3。
27.在r位的8进制串中，至少包含一个0、一个1和一个7的串有多少个？
28.由数字1、2和3组成的n位数中，相邻数字均不相同的数共有多少个？
29.
（1）用特征根的方法求解递推关系：s0＝2，s1＝1，s n＝2s n-1－3s n-2，n≥2；（2）用生成函数的方法求解递推关系：s0＝2，s1＝5，s n＝4s n-1－4s n-2+n2，n≥2。
30.用生成函数的方法证明组合恒等式：
n
2
k0
C(n,k)C(2n,n)
=
=
∑。
考试范围：第1—10章，但不包括以下章节：1.5、3.3.3、5.5.4、6.3、7.4、8.4.3、8.5.2、9.7、10.3.2。
