概率论与数理统计第三章课后习题答案
习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正
面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律.
【解】X 和Y 的联合分布律如表： 222⨯⨯222
⨯⨯=0 0
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律.
【解】X 和Y 的联合分布律如表： 324
C 35
= 32
4
C 35= 322
4
C 35= 11
322
4
C C 12C 35=132
4
C 2C 35
=
21322
4
C C 6C 35
=
2324
C 3
C 35
=
（2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}.
【解】（1） 由-(34)0
(,)d d e d d 112
x y A
f x y x y A x y +∞+∞+∞
+∞
+-∞
-∞
==
=⎰⎰
⎰
⎰
得 A =12
（2） 由定义，有
(,)(,)d d y
x F x y f u v u v -∞-∞
=⎰⎰
(34)340012e
d d (1
e )(1e )0,0,
0,0,
y y
u v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨
⎩⎪⎩⎰⎰其他
(3)
{01,02}
P X Y ≤<≤<
1
2
(34)
3
8
00
{01,02}12e
d d (1
e )(1e
)0.9499.
x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰
⎰ 5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=
⎩⎨
⎧<<<<--.,
0,
42,20),6(其他y x y x k
（1） 确定常数k ； （2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有
2
4
2
(,)d d (6)d d 81,
f x y x y k x y y x k +∞
+∞-∞-∞
=--==⎰⎰
⎰
⎰
故
1
8
R =
（2） 1
3{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞
<<=⎰⎰
13
02
13
(6)d d 88
k x y y x =--=⎰⎰ (3)
1
1.5
{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y
<<=
⎰⎰⎰⎰如图 1.5
4
2
127
d (6)d .832
x x y y =--=⎰
⎰
(4)
2
4
{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y
+≤+≤=
⎰⎰⎰⎰如图b 2
40
2
12
d (6)d .83
x
x x y y -=--=⎰⎰
题5图
6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为
f Y （y ）=
⎩⎨
⎧>-.,
0,
0,55其他y y e
求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.
题6图
【解】（1） 因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为
1
,00.2,
()0.2
0,
.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他
而
55e ,0,()0,
.y Y y f y -⎧>=⎨
⎩其他
所以
(,),()()
X
Y f x y X Y f x f y 独立
5515e
25e ,00.20,0.20,0,
y
y x y --⎧⎧⨯<<>⎪==⎨⎨
⎩⎪⎩且其他.
(2)
5()(,)d d 25e d d y y x
D
P Y X f x y x y x y
-≤≤=
⎰⎰
⎰⎰如图
0.2
0.2
-550
-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.
x
y x x y x
-==-+≈⎰⎰⎰
7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为
F （x ，y ）=
⎩⎨
⎧>>----.,
0,
0,0),1)(1(24其他y x y x e e
求（X ，Y ）的联合分布密度. 【解】
(42)28e ,0,0,
(,)(,)0,
x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨
∂∂⎩其他.
8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=
4.8(2),01,0,
0,
.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨
⎩其他
求边缘概率密度.
