近三年高考全国卷理科立体几何真题(供参考)

新课标卷近三年高考题

1、（2016年全国I 高考）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=，且二面角D AF E 与二面角C BE F 都是60．

（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E BC A 的余弦值． 【解析】 ⑴ ∵ABEF 为正方形 ∴AF EF ⊥

∵90AFD ∠=︒ ∴AF DF ⊥

∵=DF EF F ∴AF ⊥面EFDC AF ⊥面ABEF ∴平面ABEF ⊥平面EFDC ⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=︒ ∵AB EF ∥

AB ⊄平面EFDC EF ⊂平面EFDC ∴AB ∥平面ABCD AB ⊂平面ABCD ∵面ABCD 面EFDC CD = ∴AB CD ∥,∴CD EF ∥

∴四边形EFDC 为等腰梯形

以E 为原点，如图建立坐标系，设FD a =

()020EB a =，，，322a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭

，，，()200AB a =-，， 设面BEC 法向量为()m x y z =，，.

00m EB m BC ⎧⋅=⎪

⎨⋅=⎪⎩，即1111203

202a y a x ay z ⋅=⎧⎪⎨⋅-⋅=⎪⎩ 设面ABC 法向量为()222n x y z =，，

=00n BC n AB ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩.即2222

320220a x ay ax ⎧-=⎪⎨⎪=⎩ 222034x y z ===，

设二面角E BC A --的大小为θ.

∴二面角E BC A --

的余弦值为 2、（2016年全国II 高考）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，

5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，5

4

AE CF ==

，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到'D EF ∆

位置，OD '=

（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值． 【解析】⑴证明：∵54AE CF ==，∴

AE CF

AD CD

=， ∴EF AC ∥．

∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥， ∴EF BD ⊥，∴EF DH ⊥，∴EF D H '⊥． ∵6AC =，∴3AO =；

又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =， ∴1AE

OH OD AO

=

⋅=，∴3DH D H '==， ∴2

2

2

'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥． 又∵OH

EF H =，∴'D H ⊥面ABCD ．

⑵建立如图坐标系H xyz -．

()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，

()430AB =，，，()'133AD =-，，，()060AC =，，，

设面'ABD 法向量()1n x y z =，，，

由11

0n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩

，

∴()1345n =-，，．

同理可得面'AD C 的法向量()2301n =，，，

∴1212

9575

cos 25

5210

n n n n θ⋅+==

=

⋅， ∴295

sin 25

θ=

． 3、（2016年全国III 高考）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥地面ABCD ，AD BC ，

3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，

2AM MD =，N 为PC 的中点．

（I ）证明MN 平面PAB ；

（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦

值.

设),,(z y x n =为平面PMN 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0

0PN n PM n ，

即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-022

50

42z y x z x ，可取)1,2,0(=，

于是25

5

8|

||||||,cos |=⋅=

>

如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在

11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

45

15

． 【考点定位】1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．

D

D 1

C 1

A 1

E F

A B

C

B 1

【名师点睛】根据线面平行和面面平行的性质画平面α与长方体的面的交线；由交线的位置可确定公共点的位置，坐标法是求解空间角问题时常用的方法，但因其计算量大的特点很容易出错，故坐标系的选择是很重要的，便于用坐标表示相关点，先求出面α的法向量，利用sin cos,n AF

θ=<>求直线AF与平面α所成角的正弦值．

5、【2015高考新课标1，理18】

如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；

（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

3 3

又∵AE⊥EC，∴EG3，EG⊥AC，

在Rt△EBG中，可得BE2DF 2 .

在Rt△FDG中，可得FG

6

在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE2DF 2

可得EF

32

∴222

EG FG EF

+=，∴EG⊥FG，

∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，

∵EG⊂面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. ……6分

（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以,

GB GC的方向为x轴，y轴正方向，||

GB