课题 线性规划的常见题型及其解法答案
线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．
归纳起来常见的命题探究角度有： 1．求线性目标函数的最值． 2．求非线性目标函数的最值． 3．求线性规划中的参数． 4．线性规划的实际应用．
本节主要讲解线性规划的常见基础类题型．
【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥3，x －y ≥－1，
2x －y ≤3，
则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )
A ．[7，23]
B ．[8，23]
C ．[7，8]
D ．[7，25]
求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a
b x ＋z b
，通过求
直线的截距z b
的最值，间接求出z 的最值．
【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥3，x －y ≥－1，
2x －y ≤3，
表示的平面区域如图中阴影部分所示，
由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3，平移直线y ＝－2
3
x 知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝3，
2x －y ＝3，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝1，所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函数取到最大值，解方程
组⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y ＝－1，2x －y ＝3，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，
y ＝5，所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23．
【答案】A
【母题二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，
x ≥1，
(1)设z ＝y
2x －1，求z 的最小值；
(2)设z ＝x 2
＋y 2
，求z 的取值范围；
(3)设z ＝x 2＋y 2
＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．
点(x ，y )在不等式组表示的平面区域内，y 2x －1＝12·y －0⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12表示点(x ，y )和⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0连线的斜率；x 2
＋y 2
表示点(x ，y )和原点距离的平方；x 2
＋y 2
＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2
＋(y －2)2
表示点(x ，y )和点(－3,2)的距离的平方．
【解析】(1)由约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，
x ≥1，
作出(x ，y )的可行域如图所示．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝
⎛⎭⎪⎫1，225．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧ x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．
∵z ＝y 2x －1
＝
y －0x －12
×1
2
∴z 的值即是可行域中的点与⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0连线的斜率，观察图形可知z min ＝2－05－12×12＝29． (2)z ＝x 2
＋y 2
的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，
d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29．
∴2≤z ≤29．
(3)z ＝x 2
＋y 2
＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2
＋(y －2)2
的几何意义是：
可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，
d min ＝1－(－3)＝4， d max ＝
－3－5
2
＋2－2
2
＝8
∴16≤z ≤64．
1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．
求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a
b x ＋z b ，通过求直线的截距z b
的最值，间接求出z 的最值．
(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2
＋(y －b )2
，z ＝x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离；
形二：z ＝(x －a )2
＋(y －b )2
，z ＝x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．
(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝y cx －d ，z ＝ay －b
x
，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．
【提醒】 注意转化的等价性及几何意义．
角度一：求线性目标函数的最值
1．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，
3x －y －5≥0，
则z ＝2x －y 的最大值为( )
A ．10
B ．8
C ．3
D ．2
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，
