全等三角形培优专项训练

全等三角形

三角形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。三角形全等的判定和性质是证明有关三角形问题的基础，必须熟练掌握。

一、题目中涉及角平分线 ,通常以角平分线为公共边来构造全等三角形.

1. 如图,在ΔABC中,∠C=900,AD平分∠BAC,CD=a, 求D点到AB的距离.

2.如图,ΔABC中,∠C=900,CA=CB,AD平分∠BAC.求证:AC+CD=AB

3.如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线交BC于D。

求证：AB+BD=AC

4.如图,ΔABC中, AB>AC，AD为角平分线，则∠B和∠C的大小关系是_____.

5．已知，BC>AD，DC=AD，BD平分∠ABC, 求证∠A+∠C=180°

6.如图,ΔABD中,DA=DB,∠D=900,BC平分∠ABD,AC⊥BE于C.求证:BE=2AC.

二、已知三角形的中线 ,通常把中线延长一倍,构造全等三角形.

1.如图,ΔABC中,AD是中线,AD也是角平分线.求证:ΔABC是等腰三角形. [提示:延长AD到E,使DE=DA,连结EC.]

2. 已知:如图,AD是ΔABC的中线.求证:AB+AC>2AD.

3.已知:在ΔABC中,∠ACB=900,CD是斜边AB上的中线.求证:CD=AB. [提示:延长AD到E,使DE=DA,连结EB.]

4. 如图,AD∥BC,E为CD中点，AE⊥BE.求证:AD+BC=AB.

5．如图,ΔABC中, ∠ACD=900,∠1=∠2,DA=DB.求证: AB=2AC.

6.如图,CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是ΔABD的中线.求证:AC=2AE.

三、练习

1：如图2-7-1，△ABC和△DCE均是等边三角形，B、C、E三点共线，AE交CD于G，BD交AC于F。

求证： AE=BD

2：如图，△ABC的两条高BD、CE相交于点P，且PD＝PE。求证：

AC＝AB。

3.如图，在正方形ABCD中，M是AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CB E。

求证：MD=MN。

思路：取AD的中点P，连结PM，证明△DMP≌△MNB。

4 如图2-7-4，△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，P为AD上任一点，连结PB、PC。

求证：PC-PB

5. 如图,AD∥BC,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:AD+BC=AB. [提示:在AB

上截取AF,使AF=AD,连结EF]

6.已知:如图,ΔABC中,AD平分∠BAC,M是BC的中点,ME∥CA.求证:BF=CE.

7.如图,已知:ΔABC中,D是BC的中点,DE⊥DF.求证:BE+CF>EF.

[提示:延长ED到G,使DG=DE,连结GC和GF,先证EF=GF,BE=CG]

8：如图2-7-5，从等腰Rt△ABC的直角顶点C向中线BD作垂线，交BD于F，交AB于E，连结DE。

求证：∠CDF=∠ADE。

[提示:思路1：作∠BCA的平分线交BD于G，证明△CDG≌△ADE。

思路2：过A作AN⊥AC，交CE延长线于N，证明△ADE≌△ANE。]

A B

C D

E

F 2 1

全等三角形作业

1、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF

2、 如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ， 试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明

3、 如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE ，求证：AE ＝DE.

4、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2

5、已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C

6、如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证:BC ∥EF A

C

E

D

B

A

B E C

D

F

D

C

B

A

D

C

B

A F

E

A

D

B C

7、如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．

8、已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

9、如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，

求证：∠C=2∠B

10、如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、

∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。

11、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

12、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，

∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

B

A

C

D

F

2

1

E

D

C

B

A