2021年高考文科数学《立体几何》题型归纳与训练(有解析答案)
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2021年高考文科数学《立体几何》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 立体几何证明
例1 如图五面体中,四边形ABCD 是矩形,AD ⊥面
ABEF ,//AB EF ,1AD =,1
222
AB EF =
=, 2AF BE ==,P 、Q 、M 分别为AE 、BD 、EF 的中
点.
(1)求证://PQ 面BCE ; (2)求证:AM ⊥面ADF . 【答案】 见解析 【解析】(1)连结AC .
因为四边形ABCD 是矩形,且Q 为BD 的中点,所以Q 为AC 的中点. 又因为P 为AE 的中点,所以//PQ EC , 又因为PQ ⊄面BCE ,EC ⊆面BCE ,所以//PQ 面BCE . (2)取EF 的中点M ,连结AM .
因为//AB EM ,且22QB EM ==, 所以四边形ABEM 为平行四边形, 所以//AM BE ,且2AM BE ==. 在AMF ∆中,2AM AF ==,22MF =. 所以2
2
2
AM AF MF +=,故AM AF ⊥. 由AD ⊥面ABEF ,得AD AM ⊥, 因为AD
AF A =,所以AM ⊥面ADF .
【易错点】定理证明所用知识点不清楚
【思维点拨】证明几何体中的线面平行与垂直关系时,要注意灵活利用空间几何体的结构特征,抓住其中的平行与垂直关系.
如该题中的(1)问需要利用五面体中的面ABCD 是矩形,根据对角线的性质确定线段
2
BD 与AC 的中点.
(2)问中利用勾股定理验证线线垂直关系,这些都是证明空间平行与垂直关系的基础.
例2 在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1AA AB =,111AB B C ⊥.
求证:(1)AB ∥平面11A B C ;
(2)平面11ABB A ⊥平面1A BC .
【答案】 见解析
【解析】(1)在平行六面体1111ABCD A B C D -中,AB ∥11A B .
因为AB ⊄平面11A B C ,11A B ⊂平面11A B C ,所以AB ∥平面11A B C .
(2)在平行六面体1111ABCD A B C D -中,四边形11ABB A 为平行四边形. 又因为1AA AB =,所以四边形11ABB A 为菱形,因此1AB ⊥1A B . 又因为1AB ⊥11B C ,BC ∥11B C ,所以1AB ⊥BC .
又因为1A B
BC =B ,1A B ⊂平面1A BC ,BC ⊂平面1A BC ,
所以1AB ⊥平面1A BC . 因为1AB ⊂平面11ABB A ,所以平面11ABB A ⊥平面1A BC . 【易错点】定理证明所用知识点不清楚
D 1
1
B 1
A 1
D
C
B
A
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
【思维点拨】证明几何体中的线面平行与垂直关系时,要注意灵活利用空间几何体的结构特征,抓住其中的平行与垂直关系.
题型二 立体几何体积求解
例1 如图所示,在三棱锥V ABC -中,平面VAB ⊥平面ABC ,三角形VAB 为等边三角形,AC BC ⊥
,且AC BC ==O ,M 分别为AB ,VA 的中点.
(1)求证://VB 平面MOC . (2)求证:平面MOC ⊥平面 VAB . (3)求三棱锥V ABC -的体积.
【答案】 见解析
【解析】(1)依题意,O ,M 分别为AB ,VA 的中点,则OM 是VAB △的中位线, 所以//OM VB ,OM ⊂平面MOC ,VB ⊄平面MOC ,故//VB 平面MOC . (2)因为在ABC △中,AC BC =,且O 为AB 的中点,所以OC AB ⊥, 又平面VAB ⊥平面ABC ,平面VAB
平面ABC AB =,OC ⊂平面ABC ,
所以OC ⊥平面VAB ,又OC ⊂平面MOC ,故平面MOC ⊥平面VAB . (3)由(2)知,OC ⊥平面VAB ,
所以2112133V ABC C VAB VAB V V S OC --==
⋅=⨯=△ 【易错点】定理证明所用知识点不清楚
【思维点拨】证明几何体中的线面平行与垂直关系时,要注意灵活利用空间几何体的结构特征,抓住其中的平行与垂直关系.
例 2 如图所示,在三棱锥–P ABC 中,
PA AB ⊥,PA BC ⊥,AB BC ⊥,
2PA AB BC ===,D 为线段AC 的中点,E 为线段PC 上一点.
(1)求证:PA BD ⊥;
(2)求证:平面BDE ⊥平面PAC ;
(3)当//PA 平面BDE 时,求三棱锥–E BCD 的体积. 【答案】 见解析
O
M
C B
A
V
P
A
B
C
D
E