高中数学高考考点集萃

高考前必看数学考点资料内容大全在高考前一段时间的数学的复习中，应当听从老师的安排，跟随考纲的重点，明确复习的重要目标，查漏补缺，寻求新的提升。

下面是为大家整理的关于高考前必看数学考点资料内容，欢迎大家来阅读。

高中数学简单的知识点空间几何体表面积体积公式：1、圆柱体：表面积：2πRr+2πRh体积：πR2h(R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高)。

2、圆锥体：表面积：πR2+πR[(h2+R2)的]体积：πR2h/3(r为圆锥体低圆半径，h为其高。

3、a—边长，S=6a2，V=a3。

4、长方体a—长，b—宽，c—高S=2(ab+ac+bc)V=abc。

5、棱柱S—h—高V=Sh。

6、棱锥S—h—高V=Sh/3。

7、S1和S2—上、下h—高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3。

8、S1—上底面积，S2—下底面积，S0—中h—高，V=h(S1+S2+4S0)/6。

9、圆柱r—底半径，h—高，C—底面周长S底—底面积，S侧—，S表—表面积C=2πrS底=πr2，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr2h。

第1页共7页10、空心圆柱R—外圆半径，r—内圆半径h—高V=πh(R^2—r^2)。

11、r—底半径h—高V=πr^2h/3。

12、r—上底半径，R—下底半径，h—高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r—半径d—直径V=4/3πr^3=πd^3/6。

14、球缺h—球缺高，r—球半径，a—球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r—h)/3。

15、球台r1和r2—球台上、下底半径h—高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6。

16、圆环体R—环体半径D—环体直径r—环体截面半径d—环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/4。

17、桶状体D—桶腹直径d—桶底直径h—桶高V=πh(2D2+d2)/12，(母线是圆弧形，圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)。

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第06讲函数的概念及其表示（精讲）【A组在基础中考查功底】则函数根据函数图像可知：(f x 故选：ACD.8．已知函数4 ()f x xx=+A．-3B 【答案】ABC四、解答题12．定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 都有()2243f x x x -=-+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()23g x f x x =-+在[],1m m +上是单调函数，则求实数m 的取值范围.【答案】(1)()21f x x =-(2)(][),01,-∞+∞ 【分析】（1）配方后，利用整体法求解函数解析式；（2）求出()g x 的单调区间，与[],1m m +比较，得到不等式，求出实数m 的取值范围.【详解】（1）()()2224321f x x x x -=-+=--，故函数()f x 的解析式为()21f x x =-；（2）()()2223122121x x g x x x x =-+=---++=在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为()g x 在[],1m m +上是单调函数，所以m 1≥或11m +≤，解得0m ≤或m 1≥，所以实数m 的取值范围是(][),01,-∞+∞ .【B 组在综合中考查能力】由图可得当且仅当0t<<时）的，故()()()()36494922f f f f m n =⨯=+=+.【C 组在创新中考查思维】，该函数在当32m>时，当x>m时()2,3f x⎛∈-∞-⎝①，当1,22aa >>时，()f x 在[]0,1上单调递增，②，由2222a a a x ⎛⎫-+⨯=- ⎪⎝⎭解得12x a +=或1x -=。

高考数学思想方法、九大考点与知识点总结高考数学九大核心考点回顾不管是什么考试,无非都是对各知识点的一个练习、总结,只要我们能够对各个知识点深刻了解,考试中拿高分并不难,你知道高考数学常考的知识点有哪些吗我们不妨一起来了解一下;九大核心的知识点：函数、三角函数,平面向量,不等式,数列,立体几何,解析几何,概率与统计,导数;这些内容非常重要;当然每章当中还有侧重,比如说拿函数来讲,函数概念必须清楚,函数图象变换是非常重要的一个核心内容;此外就是函数的一种性质问题,单调性、周期性,包括后面我们还谈到连续性问题,像这些性质问题是非常重要的;连同最值也是在函数当中重点考察的一些知识点,我想这些内容特别值得我们在后面要关注的;再比如说像解析几何这个内容,不管理科还是文科,像直线和圆肯定是非常重要的一个内容;理科和文科有一点差别了,比如说圆锥曲线方面,椭圆和抛物线理科必须达到的水平,双曲线理科只是了解状态就可以了;而文科呢椭圆是要求达到理解水平,抛物线和双曲线只是一般的了解状态就可以了;这里需要有侧重点;拿具体知识来讲,比如说直线当中,两条直线的位置关系,平行、垂直的关系怎么判断应该清楚;直线和圆的位置关系应该清楚,椭圆、双曲线和抛物线的标准方程,参数之间的关系,再比如直线和椭圆的位置关系,这是值得我们特别关注的一个重要的知识内容;这是从我的一个角度来说;我们后面有六个大题,一般是侧重于六个重要的板块,因为现阶段不可能一个章节从头至尾,你没有时间了,必须把最重要的知识板块拿出来,比如说数列与函数以及不等式,这肯定是重要板块;再比如说三角函数和平面向量应该是一个,解析几何和平面几何和平面向量肯定又是一个;再比如像立体几何当中的空间图形和平面图形,这肯定是重要板块;再后面是概率统计,在解决概率统计问题当中一般和计数原理综合在一起,最后还有一个板块是导数、函数、方程和不等式,四部分内容综合在一起;应当说我们后面六个大题基本上是围绕着这样六个板块来进行;这六个板块肯定是我们的核心内容之一;再比如说现在我们高考当中要体现对数学思想方法的考察,数学思想方法以前考察四个方面,函数和方程思想,数形结合思想,分类讨论,等价转换,现在又增加了三个,原来这四个方面当中有两类做了改造;函数和方程思想,数形结合思想,分类讨论改成了分类讨论与整合,等价转换转为划归与转化;有限和无限思想,特殊和一般的思想;前言美国着名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题;而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法;高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法;我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光;高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想等;数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次;数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记;而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用;数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段;数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得;可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”;为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想;最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷;在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现;再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范;巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用;每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识;高中数学 必修1知识点第一章 集合与函数概念1集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. 2常用数集及其记法N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集.3集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ∉,两者必居其一. 4集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.③描述法：{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 5集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集∅. 6子集、真子集、集合相等7已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集,它有22n -非空真子集.8交集、并集、补集 A A = ∅=∅ B A ⊆A A =A ∅=B A ⊇()U A =∅ 2()U A U =补充知识含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法1含绝对值的不等式的解法不等式2一元二次不等式的解法()()()U U U A B A B =()()()UU U A B A B =〖〗函数及其表示1函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f 叫做集合A 到B的一个函数,记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． 2区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ；满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ；满足,,,x a xa xb x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <．3求函数的定义域时,一般遵循以下原则：①()f x 是整式时,定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零负指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义． 4求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上,如果在函数的值域中存在一个最小大数,这个数就是函数的最小大值．因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=,则在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥,从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法． 5函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． 6映射的概念①设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f叫做集合A 到B 的映射,记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射,且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象．〖〗函数的基本性质1函数的单调性①定义及判定方法如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时,都有fx ．．1．>fx ．．．2．,那么就说fx 在这个区间上是减函数．．．．1利用定义2利用已知函数的单调性3利用函数图象在某个区间图 象下降为减 4利用复合函数②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为增,则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增,()u g x =为减,则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减,()ug x =为增,则[()]y f g x =为减．2打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数,分别在[,0)a 、3最大小值定义 ①一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足：1x I ∈,都有()f x M ≤；2存在0x I ∈,使得0()f x M=．那么,我们称M 是函数()f x max ()f x M=．②一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足：1对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥；2存在0x I ∈,使得0()f x m =．那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =．4函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数fx 定义域内任意一个x,都有f ．－．x=．．－．fx ．．,那么函数fx 叫做奇函数．．．．1利用定义要先判断定义域是否关于原点对称2利用图象图象关于原点对称如果对于函数fx 定义域内任意一个x,都有f ．－．x=．．fx ．．,那么函数fx 叫做偶函数．．．．1利用定义要先判断定义域是否关于原点对称2利用图象图象关于y 轴对称②若函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内,两个偶函数或奇函数的和或差仍是偶函数或奇函数,两个偶函数或奇函数的积或商是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积或商是奇函数．〖补充知识〗函数的图象1作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质奇偶性、单调性； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换②伸缩变换 ③对称变换2识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系．3用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章 基本初等函数Ⅰ〖〗指数函数1根式的概念①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时,a 的n 次方根用符号表示；当n 是偶数时,正数a 的正的n ,负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数．当n 为奇数时,a 为任意实数；当n 为偶数时,0a ≥．③根式的性质：na =；当n 为奇数时a =；当n 为偶数时 (0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．2分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mnaa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数,指数取相反数．3分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)rr r ab a b a b r R =>>∈4指数函数〖〗对数函数（1）对数的定义 ①若(0,1)xaN a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a xN =,其中a 叫做底数,N叫做真数．②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．2几个重要的对数恒等式log 10a =,log 1a a =,log b a a b =．3常用对数与自然对数常用对数：lg N ,即10log N ；自然对数：ln N ,即log e N 其中 2.71828e =…．4对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>,那么①加法：log log log ()aa a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-=③数乘：log log ()n aa n M M n R =∈ ④log a N a N=⑤loglog (0,)bn a anM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 5对数函数6反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ,值域为C ,从式子()y f x =中解出x ,得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值,通过式子()x y ϕ=,x 在A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数,函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数,记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y f x -=．7反函数的求法①确定反函数的定义域,即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()xf y -=改写成1()y f x -=,并注明反函数的定义域．8反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上,则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地,函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖〗幂函数1幂函数的定义 一般地,函数y x α=叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数．2幂函数的图象 3幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象．幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限图象关于y 轴对称；是奇函数时,图象分布在第一、三象限图象关于原点对称；是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数．当q pα=其中,p q 互质,p 和q Z ∈,若p 为奇数q 为奇数时,则q py x=是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则q py x=是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则q py x=是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下方,若1x >,其图象在直线y x=上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上方,若1x >,其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数1二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠2求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时,宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大小值有关时,常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便．3二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a --． ②当0a >时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞-上递减,在[,)2ba -+∞上递增,当2b x a =-时,2min 4()4ac b f x a-=；当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,]2b a -∞-上递增,在[,)2ba-+∞上递减,当2b x a =-时,2max 4()4ac b f x a-=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时,图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． 4一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理韦达定理的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的两实根为12,x x ,且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++,从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔ ②x 1≤x 2＜k ⇔ ③x 1＜k ＜x 2 ⇔ afk ＜0 ④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1或x 2满足k 1＜x 1或x 2＜k 2 ⇔ fk 1fk 2<0,并同时考虑fk 1=0或fk 2=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出． 5二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令01()2x p q =+． Ⅰ当0a>时开口向上①若2b p a -<,则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2bm f a =- ③若2b q a ->,则()m f q =)y =)D 的零、函数零点的意义：函数(f 的零点就是方程(f y )(x f =有零点． 求函数)(x f y =的零点：错误! 代数法求方程0)(=x f 的实数根；错误! 几何法对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点．4、二次函数的零点： 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．１△＞０,方程02=++c bx ax 有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有两个零点． ２△＝０,方程02=++c bx ax 有两相等实根二重根,二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点． ３△＜０,方程02=++c bx ax无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点．高中数学 必修2知识点x p (f -f x 0x xq 0x x x f 0x x 0x第一章 空间几何体柱、锥、台、球的结构特征 空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤：1.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；2.平行于y 轴的线长度变半,平行于x,z 轴的线长度不变；3.画法要写好;5 用斜二测画法画出长方体的步骤：1画轴2画底面3画侧棱4成图空间几何体的表面积与体积一 空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2r rl S ππ+=4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++=5 球的表面积24R S π=二空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ⨯=底 2锥体的体积 h S V ⨯=底313台体的体积 h S S S S V⨯++=)31下下上上（ 4球体的体积 334R V π=第二章 直线与平面的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示1平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长如图2平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等; 3 三个公理：1公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内2公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面; 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α,222r rl S ππ+= D CBAα LA ·αC ·B· A · α使A ∈α、B ∈α、C ∈α;公理2作用：确定一个平面的依据;3公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线; 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L,且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内,有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内,没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内,没有公共点; 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行; 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用; 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据;3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为简便,点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈0, ；③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ；④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角;— 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系： 1直线在平面内 —— 有无数个公共点 2直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 3直线在平面平行 —— 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示a α a ∩α=A a ∥α.直线、平面平行的判定及其性质 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行; 简记为：线线平行,则线面平行; 符号表示：a αb β => a ∥α a ∥b平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;符号表示：a βb βP· αLβ 共面直=>a ∥c2a∩b = P β∥αa∥αb∥α2、判断两平面平行的方法有三种：1用定义；2判定定理；3垂直于同一条直线的两个平面平行;—1、定理：一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;简记为：线面平行则线线平行;符号表示：a∥αa β a∥bα∩β= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题;2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行;符号表示：α∥βα∩γ= a a∥bβ∩γ= b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行直线、平面垂直的判定及其性质1、定义如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面;如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足;Lpα2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点： a定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想;1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭 l βBα2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直;—直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行;2性质定理：两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直;。

高考数学中的概率知识点总结概率是高中数学中的一个重要知识点，也是高考数学题中的常见考点。

要想在高考中拿到好成绩，掌握概率知识点是必不可少的。

本文将从概率的基本概念、概率的分类、概率的基本性质、条件概率、独立性等方面进行总结。

一、概率的基本概念概率是指某种事件发生的可能性大小。

在数学上，概率可以用一个介于0和1的数来表示，其中0表示不可能发生，1表示一定会发生。

如果一个事件发生的概率为p，那么其对立事件不发生的概率为1-p。

二、概率的分类在概率中，事件可以分为等可能事件和不等可能事件。

等可能事件是指在所有可能发生的情况下，每种情况发生的可能性相等。

例如，掷一枚硬币的正反面就是等可能事件。

而不等可能事件则是指每种情况发生的可能性不相等，例如抽奖等。

三、概率的基本性质概率具有以下几个基本性质：1. 非负性：任何事件的概率都不会是负数。

2. 规范性：所有可能发生事件的概率之和为1。

3. 加法性：对于两个不相交事件A和B，它们的联合概率就是它们各自的概率之和。

四、条件概率条件概率是指在一个事件已经发生的条件下，其他事件发生的概率。

在数学上，条件概率可以用P(A|B)来表示，其中A和B均为事件，而P(A|B)表示在B发生的条件下，A发生的概率。

五、独立性在概率中，独立性是指事件A和事件B的发生互相独立，即事件A的发生不会影响事件B的发生，反之亦然。

在数学上，如果事件A和事件B是独立的，则有P(A∩B) = P(A)P(B)。

六、概率的应用概率的应用非常广泛，主要包括以下几个方面：1. 投资决策：在投资决策中，需要根据不同投资方案的预期收益和风险概率来进行决策。

2. 保险与风险管理：保险公司需要根据不同客户的风险概率来确定保险金额和保险费用，减少损失。

3. 统计学：在统计学中，概率是一种重要的工具，被广泛应用于抽样、调查和数据分析等领域。

综上所述，概率是高考数学中的一个重要知识点。

掌握概率的基本概念、分类、基本性质、条件概率和独立性，能够帮助我们更好地理解各种概率题目，并在高考数学考试中取得更好的成绩。

高中数学各题型详细方法总结+100个核心考点全汇总！学好数学有三点需要强调：学习知识，把握题型，提取方法。

关于基础知识，就不过多一一列举，主要是通过具体实例，来让同学们感受一下学习数学的核心思想：不同题型对应不同方法；学习数学，就是一个归纳题型和解题方法的过程。

一般情况下，高考数学后几道大题分别是：三角函数，立体几何，数列，圆锥曲线，函数与导数。

每个题型都有对应的出题套路，每一种套路都有对应的解题方法。

三角函数这个题型有两种考法，大概10%~20%的概率考解三角形，80%~90%的概率考三角函数本身。

(一)解三角形不管题目是什么，作为被考察者，你要明白关于解三角形，你只学了三个公式——正弦定理，余弦定理和面积公式。

所以，解三角形的题目，求面积的话肯定用面积公式。

至于什么时候用正弦，什么时候用余弦，如果你不能迅速判断，都尝试一下也未尝不可。

(二)三角函数三角函数，套路一般是给出一个比较复杂的式子，问函数的定义域、值域、周期频率和单调性等问题。

解决方法就是首先利用“和差倍半”对式子进行化简，化简成掌握以上公式，关于题型见下图。

立体几何相比于前面的三角函数，立体几何题型要稍微复杂一些，可能会卡住一些人。

该题通常有2-3问，第一问求某条线的大小或证明某个线/面与另外一个线/面平行或垂直，最后一问求二面角。

这类题解题方法主要有两种，传统法和空间向量法，其中各有利弊。

(一)向量法：使用向量法的好处在于没有任何思维含量，肯定能解出最终答案。

缺点是计算量大，且容易出错。

应用空间向量法，首先应该建立空间直角坐标系。

建系结束后，根据已知条件可用向量确定每条直线。

其形式为AB=（a，b，c）然后进行后续证明与求解。

(二)传统法：学习立体几何章节，虽然学了很多性质定理和判定定理，但针对高考立体几何大题而言，解题方法基本是唯一的，除了上图6和8有两种解题方法以外，其他都是有唯一的方法。

所以，熟练掌握解题模型，拿到题目直接按照标准解法去求解便可。

高三数学知识点总结(15篇)高三数学知识点总结1考点一：集合与简易逻辑集合部分一般以选择题出现，属容易题。

重点考查集合间关系的理解和认识。

近年的试题加强了对集合计算化简能力的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力。

在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，并注重集合表示方法的转换与化简。

简易逻辑考查有两种形式：一是在选择题和填空题中直接考查命题及其关系、逻辑联结词、“充要关系”、命题真伪的判断、全称命题和特称命题的否定等，二是在解答题中深层次考查常用逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理。

考点二：函数与导数函数是高考的重点内容，以选择题和填空题的为载体针对性考查函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数（一次和二次函数、指数、对数、幂函数）的应用等，分值约为10分，解答题与导数交汇在一起考查函数的性质。

导数部分一方面考查导数的运算与导数的几何意义，另一方面考查导数的简单应用，如求函数的单调区间、极值与最值等，通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题，三是导数的综合应用，主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式出现，如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题。

考点三：三角函数与平面向量一般是2道小题，1道综合解答题。

小题一道考查平面向量有关概念及运算等，另一道对三角知识点的补充。

大题中如果没有涉及正弦定理、余弦定理的应用，可能就是一道和解答题相互补充的三角函数的图像、性质或三角恒等变换的题目，也可能是考查平面向量为主的试题，要注意数形结合思想在解题中的应用。

向量重点考查平面向量数量积的概念及应用，向量与直线、圆锥曲线、数列、不等式、三角函数等结合，解决角度、垂直、共线等问题是“新热点”题型、考点四：数列与不等式不等式主要考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式组和简单线性规划问题、基本不等式的应用等，通常会在小题中设置1到2道题。

对不等式的工具性穿插在数列、解析几何、函数导数等解答题中进行考查、在选择、填空题中考查等差或等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等的灵活应用，一道解答题大多凸显以数列知识为工具，综合运用函数、方程、不等式等解决问题的能力，它们都属于中、高档题目、考点五：立体几何与空间向量一是考查空间几何体的结构特征、直观图与三视图；二是考查空间点、线、面之间的位置关系；三是考查利用空间向量解决立体几何问题：利用空间向量证明线面平行与垂直、求空间角等（文科不要求）、在高考试卷中，一般有1~2个客观题和一个解答题，多为中档题。

高中数学高考知识点归纳数学高考知识点总结11.三类角的求法:①找出或作出有关的角.②证明其符合定义,并指出所求作的角.③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理).2.正棱柱——底面为正多边形的直棱柱正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心.正棱锥的计算集中在四个直角三角形中:3.怎样判断直线l与圆C的位置关系?圆心到直线的距离与圆的半径比较.直线与圆相交时,注意利用圆的〝垂径定理〞.4.对线性规划问题:作出可行域,作出以目标函数为截距的直线,在可行域内平移直线,求出目标函数的最值.不看后悔!清华名师揭秘学好高中数学的方法培养兴趣是关键.学生对数学产生了兴趣,自然有动力去钻研.如何培养兴趣呢?(1)欣赏数学的美感比如几何图形中的对称.变换前后的不变量.概念的严谨.逻辑的严密……通过对旋转变换及其不变量的讨论,我们可以证明反比例函数.〝对勾函数〞的图象都是双曲线——平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值(小于两个定点之间的距离)的点的集合.(2)注意到数学在实际生活中的应用.例如和日常生活息息相关的等额本金.等额本息两种不同的还款方式,用数列的知识就可以理解.学好数学,是现代公民的基本素养之一啊.(3)采用灵活的教学手段,与时俱进.利用多种技术手段,声.光.电多管齐下,老师可以借此把一些知识讲得更具体形象,学生也更容易接受,理解更深.(4)适当看一些科普类的书籍和文章.比如:学圆锥曲线的时候,可以看看一些建筑物的外形,它们被平面所截出的曲线往往就是各种圆锥曲线,很多文章对此都有介绍;还有圆锥曲线光学性质的应用,这方面的文章也不少.数学高考知识点总结2一.排列1定义(1)从n个不同元素中取出m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列.(2)从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记为Amn.2排列数的公式与性质(1)排列数的公式:Amn=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)特例:当m=n时,Amn=n!=n(n-1)(n-2)…_3_2_1规定:0!=1二.组合1定义(1)从n个不同元素中取出m个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合(2)从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号Cmn表示.2比较与鉴别由排列与组合的定义知,获得一个排列需要〝取出元素〞和〝对取出元素按一定顺序排成一列〞两个过程,而获得一个组合只需要〝取出元素〞,不管怎样的顺序并成一组这一个步骤.排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关,而排列不仅与选取的元素有关,而且还与取出元素的顺序有关.因此,所给问题是否与取出元素的顺序有关,是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据.三.排列组合与二项式定理知识点1.计数原理知识点①乘法原理:N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理:N=n1+n2+n3+…+nM(分类)2.排列(有序)与组合(无序)Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)-…(n-m+1)=n!/(n-m)!Ann=n!Cnm=n!/(n-m)!m!Cnm=Cnn-mCnm+Cnm+1=Cn+1m+1k?k!=(k+1)!-k!3.排列组合混合题的解题原则:先选后排,先分再排排列组合题的主要解题方法:优先法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素.以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置. 捆绑法(集团元素法,把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)插空法(解决相间问题)间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时,应注意:(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;(3)分析题目条件,避免〝选取〞时重复和遗漏;(4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是:①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.4.二项式定理知识点:①(a+b)n=Cn0a_+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+Cn3an-3b3+…+Cnran-rbr+-…+Cnn-1ab n-1+Cnnbn特别地:(1+_)n=1+Cn1_+Cn2_2+…+Cnr_r+…+Cnn_n②主要性质和主要结论:对称性Cnm=Cnn-m二项式系数在中间.(要注意n为奇数还是偶数,答案是中间一项还是中间两项)所有二项式系数的和:Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和Cn0+Cn2+Cn4+Cn6+Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+Cn7+Cn9+…=2n-1③通项为第r+1项:Tr+1=Cnran-rbr作用:处理与指定项.特定项.常数项.有理项等有关问题.5.二项式定理的应用:解决有关近似计算.整除问题,运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式.6.注意二项式系数与项的系数(字母项的系数,指定项的系数等,指运算结果的系数)的区别,在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用.数学高考知识点总结31.定义:用符号〉,=,〈号连接的式子叫不等式.2.性质:①不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号方向不变.②不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变.③不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相反.3.分类:①一元一次不等式:左右两边都是整式,只含有一个未知数,且未知数的次数是1的不等式叫一元一次不等式.②一元一次不等式组:a.关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一元一次不等式组.b.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集.4.考点:①解一元一次不等式(组)②根据具体问题中的数量关系列不等式(组)并解决简单实际问题③用数轴表示一元一次不等式(组)的解集数学高考知识点总结4考点一:集合与简易逻辑集合部分一般以选择题出现,属容易题.重点考查集合间关系的理解和认识.近年的试题加强了对集合计算化简能力的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力.在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,并注重集合表示方法的转换与化简.简易逻辑考查有两种形式:一是在选择题和填空题中直接考查命题及其关系.逻辑联结词.〝充要关系〞.命题真伪的判断.全称命题和特称命题的否定等,二是在解答题中深层次考查常用逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理.考点二:函数与导数函数是高考的重点内容,以选择题和填空题的为载体针对性考查函数的定义域与值域.函数的性质.函数与方程.基本初等函数(一次和二次函数.指数.对数.幂函数)的应用等,分值约为_分,解答题与导数交汇在一起考查函数的性质.导数部分一方面考查导数的运算与导数的几何意义,另一方面考查导数的简单应用,如求函数的单调区间.极值与最值等,通常以客观题的形式出现,属于容易题和中档题,三是导数的综合应用,主要是和函数.不等式.方程等联系在一起以解答题的形式出现,如一些不等式恒成立问题.参数的取值范围问题.方程根的个数问题.不等式的证明等问题.考点三:三角函数与平面向量一般是2道小题,1道综合解答题.小题一道考查平面向量有关概念及运算等,另一道对三角知识点的补充.大题中如果没有涉及正弦定理.余弦定理的应用,可能就是一道和解答题相互补充的三角函数的图像.性质或三角恒等变换的题目,也可能是考查平面向量为主的试题,要注意数形结合思想在解题中的应用.向量重点考查平面向量数量积的概念及应用,向量与直线.圆锥曲线.数列.不等式.三角函数等结合,解决角度.垂直.共线等问题是〝新热点〞题型.考点四:数列与不等式不等式主要考查一元二次不等式的解法.一元二次不等式组和简单线性规划问题.基本不等式的应用等,通常会在小题中设置1到2道题.对不等式的工具性穿插在数列.解析几何.函数导数等解答题中进行考查.在选择.填空题中考查等差或等比数列的概念.性质.通项公式.求和公式等的灵活应用,一道解答题大多凸显以数列知识为工具,综合运用函数.方程.不等式等解决问题的能力,它们都属于中.高档题目.考点五:立体几何与空间向量一是考查空间几何体的结构特征.直观图与三视图;二是考查空间点.线.面之间的位置关系;三是考查利用空间向量解决立体几何问题:利用空间向量证明线面平行与垂直.求空间角等(文科不要求).在高考试卷中,一般有1_2个客观题和一个解答题,多为中档题.考点六:解析几何一般有1_2个客观题和1个解答题,其中客观题主要考查直线斜率.直线方程.圆的方程.直线与圆的位置关系.圆锥曲线的定义应用.标准方程的求解.离心率的计算等,解答题则主要考查直线与椭圆.抛物线等的位置关系问题,经常与平面向量.函数与不等式交汇,考查一些存在性问题.证明问题.定点与定值.最值与范围问题等.考点七:算法复数推理与证明高考对算法的考查以选择题或填空题的形式出现,或给解答题披层〝外衣〞.考查的热点是流程图的识别与算法语言的阅读理解.算法与数列知识的网络交汇命题是考查的主流.复数考查的重点是复数的有关概念.复数的代数形式.运算及运算的几何意义,一般是选择题.填空题,难度不大.推理证明部分命题的方向主要会在函数.三角.数列.立体几何.解析几何等方面,单独出题的可能性较小.对于理科,数学归纳法可能作为解答题的一小问.数学高考知识点总结5不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用.因此不等式应用问题体现了一定的综合性.灵活多样性,对数学各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作用.在解决问题时,要依据题设与结论的结构特点.内在联系.选择适当的解决方案,最终归结为不等式的求解或证明.不等式的应用范围十分广泛,它始终贯串在整个中学数学之中.诸如集合问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,三角.数列.复数.立体几何.解析几何中的值.最小值问题,无一不与不等式有着密切的联系,许多问题,最终都可归结为不等式的求解或证明.知识整合1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形,不等式的性质则是不等式变形的理论依据,方程的根.函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关,要善于把它们有机地联系起来,互相转化.在解不等式中,换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数.数形结合,则可将不等式的解化归为直观.形象的图形关系,对含有参数的不等式,运用图解法可以使得分类标准明晰.2.整式不等式(主要是一次.二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及函数的单调性,将分式不等式.绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分类.换元.数形结合是解不等式的常用方法.方程的根.函数的性质和图象都与不等式的解密切相关,要善于把它们有机地联系起来,相互转化和相互变用.3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观.形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰.4.证明不等式的方法灵活多样,但比较法.综合法.分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设.题断的结构特点.内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值).高中数学高考知识点归纳。

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展26立体几何中的轨迹问题（精讲+精练）一、立体几何中的轨迹问题立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力,以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.二、常用的解决策略(1)定义法:借助圆雉曲线的定义判断.(2)坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等.(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路.三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析令平面与轴线的夹角为θ0<θ<90°,圆雉的母线与轴的夹角为()090<<αα,如图②.(1)当<αθ时,截口曲线为椭圆;(2)当=αθ时,截口曲线为抛物线;(3)当>αθ时,截口曲线为双曲线.图②我们再从几何角度来证明.(1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点12,F F .在截口曲线上任取一点P ,过点P 作圆雉的母线,分别与两球切于点12,Q Q .由球的性质可知2112,PQ PF PQ PF ==,于是121212PF PF PQ PQ Q Q +=+=为定值,这样截口曲线上的任一点P 到两个定点12,Q Q 的距离之和为常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.一、知识点梳理(2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点12,F F .在截口曲线上任取一点P ,过点P 作圆雉的母线,分别与两球切于点12,Q Q .由球的性质可知1122,PQ PF PQ PF ==,于是121212PF PF PQ PQ Q Q -=-=为定值,这样截口曲线上的任一点P 到两个定点12,Q Q 的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线.(3)如图⑤,用平行于母线OM 且垂直于轴截面OMN 的平面β去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面β相切,球与截面切于点F .设α为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记l ⋂=αβ.在截口曲线上任取一点P ,作直线与球相切于点T ,连结PT ,有PF PT =.在母线OM 上取点,A B (B 为OM 与球的切点),使得AB PT =.过点P 作//PQ AB ,有点Q 在l 上,且FQ AB PF ==.另一方面,因为平面OMN 与α垂直,那么l ⊥平面OMN ,有l AB ⊥,所以l PQ ⊥.于是截口曲线是以点F 为焦点,l 为准线的抛物线.1.平行、垂直有关的的轨迹问题①平行有关的轨迹问题的解题策略二、题型精讲精练1.线面平行转化为面面平行得轨迹;2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.②垂直有关的轨迹问题的解题策略1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;2.利用空间坐标运算求轨迹;3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.【典例1】如图，在边长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、N 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、CD 、BC的中点，M 在四边形EFGH 边上及其内部运动，若MN ∥面A 1BD ，则点M 轨迹的长度是（）A Ba C ．2D ．2【典例2】在正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是正方形11B BCC 内的动点，11A Q BC ⊥，则Q 点的轨迹是（）A ．点1B B ．线段1B CC ．线段11B C D ．平面11B BCC 【答案】B【分析】如图，连接1AC ,证明1BC ⊥1B Q ,又1BC ⊥1B C ，即得解.【详解】如图，连接1AC ,因为111111111111,,,,BC AQ BC A B AQ A B A AQ A B ⊥⊥=⊂ 平面11A B Q ,所以1BC ⊥平面11A B Q ,又1B Q ⊂平面11A B Q ,所以1BC ⊥1B Q ,又1BC ⊥1B C .所以点Q 在线段1B C 上.故选：B2.距离、角度有关的的轨迹问题①距离有关的轨迹问题的解题策略1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；2.利用空间坐标计算求轨迹.②角度有关的轨迹问题的解题策略1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面;2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;3.利用空间坐标系计算求轨迹.【典例3】已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为底面ABCD 内一点，若P 到棱CD ，A 1D 1距离相等的点，则点P 的轨迹是（）如图示，过P 作PE ⊥以D 为坐标原点建立空间直角坐标系2211x y -=+，平方得：【典例4】正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，11A B 的中点，P 是边11C D 上的一个点（包括端点），Q 是平面1PMB 上一动点，满足直线MN 与直线AN 夹角与直线MN 与直线NQ 的夹角相等，则点Q 所在轨迹为（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．抛物线或双曲线【答案】D【分析】根据题设分析可知：Q 点轨迹为以AN 为母线，MN 为轴，AB 为底面直径的圆锥体，及其关于11A B 反向对称的锥体与平面1PMB 的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断Q 所在轨迹的形状.【详解】由题设，Q 点轨迹为以AN 为母线，MN 为轴，AB 为底面直径的圆锥体，及其关于11A B 反向对称的锥体与平面1PMB 的交线，如下图示：当P 是边11C D 上移动过程中，只与下方锥体有相交，Q 点轨迹为抛物线；当P 是边11C D 上移动过程中，与上方锥体也有相交，Q 点轨迹为双曲线；故选：D3.翻折有关的的轨迹问题①翻折有关的轨迹问题的解题策略1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹3.可以利用空间坐标运算求轨迹【典例5】1822年，比利时数学家Dandelin 利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占1A 正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得1AA 与小球相切．若15A A =，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（）A ．23B ．45C ．13D ．25【答案】A【分析】设21A F x =，从而可得15AA =，122A A x =+，23AA x =+，利用勾股定理可得10x =，再由离心率的定义即可求解.【详解】在21Rt AA A 中，设21A F x =，2DA x∴=15AA =，122A A x =+，23AA x =+，2225(2)(3)x x ∴++=+，10x ∴=，∴长轴长12212A A a ==，6a =，624c =-=则离心率23c e a ==.故选：A 【题型训练2-刷模拟】1.平行、垂直有关的的轨迹问题一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为（）A ．62+B ．62-C ．4D ．51+2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，14AA =，E 为1DD 中点，P 为正四棱柱表面上一点，且11C P B E ⊥，则点P 的轨迹的长为（）A ．52+B ．222+C ．252+D ．132+3．（2023·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足14AA AP =，E ，F 分别为棱BC ，CD 的中点，点Q 在正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，满足1//AQ 面EFP ，则点Q 的轨迹所构成的周长为（）A ．5373B ．237C ．7373D ．83734．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为1AA ，AB 的中点，点P 是正方体表面上的动点，若1//C P 平面1CD EF ，则P 点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为（）A ．25+B ．225+C ．225+D ．2225+BBA．点P可以是棱1C．点P的轨迹是正方形6．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为MP平面ABD表面上，且//二、填空题8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正方体则点P的轨迹长度为9．（2023春·四川绵阳内切球O的球面上的动点，2.距离、角度有关的的轨迹问题一、单选题二、填空题3.翻折有关的的轨迹问题一、单选题A ．523πB ．453π2．如图，正方形ABCD 的边长为2,E 为BC 的中点，将①四棱锥P AECD -的体积最大值为255AB=，上一动点，现将AED ．．．．【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展26立体几何中的轨迹问题（精讲+精练）一、立体几何中的轨迹问题立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力,以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.二、常用的解决策略(1)定义法:借助圆雉曲线的定义判断.(2)坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等.(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路.三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析令平面与轴线的夹角为θ0<θ<90°,圆雉的母线与轴的夹角为()090<<αα,如图②.(2)当<αθ时,截口曲线为椭圆;(2)当=αθ时,截口曲线为抛物线;(3)当>αθ时,截口曲线为双曲线.图②我们再从几何角度来证明.(1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点12,F F .在截口曲线上任取一点P ,过点P 作圆雉的母线,分别与两球切于点12,Q Q .由球的性质可知2112,PQ PF PQ PF ==,于是121212PF PF PQ PQ Q Q +=+=为定值,这样截口曲线上的任一点P 到两个定点12,Q Q 的距离之和为常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.一、知识点梳理(2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点12,F F .在截口曲线上任取一点P ,过点P 作圆雉的母线,分别与两球切于点12,Q Q .由球的性质可知1122,PQ PF PQ PF ==,于是121212PF PF PQ PQ Q Q -=-=为定值,这样截口曲线上的任一点P 到两个定点12,Q Q 的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线.(3)如图⑤,用平行于母线OM 且垂直于轴截面OMN 的平面β去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面β相切,球与截面切于点F .设α为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记l ⋂=αβ.在截口曲线上任取一点P ,作直线与球相切于点T ,连结PT ,有PF PT =.在母线OM 上取点,A B (B 为OM 与球的切点),使得AB PT =.过点P 作//PQ AB ,有点Q 在l 上,且FQ AB PF ==.另一方面,因为平面OMN 与α垂直,那么l ⊥平面OMN ,有l AB ⊥,所以l PQ ⊥.于是截口曲线是以点F 为焦点,l 为准线的抛物线.1.平行、垂直有关的的轨迹问题①平行有关的轨迹问题的解题策略二、题型精讲精练1.线面平行转化为面面平行得轨迹;2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.②垂直有关的轨迹问题的解题策略1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;2.利用空间坐标运算求轨迹;3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.【典例1】如图，在边长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、N 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、CD 、BC的中点，M 在四边形EFGH 边上及其内部运动，若MN ∥面A 1BD ，则点M 轨迹的长度是（）A Ba C ．2D ．2【典例2】在正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是正方形11B BCC 内的动点，11A Q BC ⊥，则Q 点的轨迹是（）A ．点1B B ．线段1B CC ．线段11B C D ．平面11B BCC 【答案】B【分析】如图，连接1AC ,证明1BC ⊥1B Q ,又1BC ⊥1B C ，即得解.【详解】如图，连接1AC ,因为111111111111,,,,BC AQ BC A B AQ A B A AQ A B ⊥⊥=⊂ 平面11A B Q ,所以1BC ⊥平面11A B Q ,又1B Q ⊂平面11A B Q ,所以1BC ⊥1B Q ,又1BC ⊥1B C .所以点Q 在线段1B C 上.故选：B2.距离、角度有关的的轨迹问题①距离有关的轨迹问题的解题策略1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；2.利用空间坐标计算求轨迹.②角度有关的轨迹问题的解题策略1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面;2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;3.利用空间坐标系计算求轨迹.【典例3】已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为底面ABCD 内一点，若P 到棱CD ，A 1D 1距离相等的点，则点P 的轨迹是（）如图示，过P 作PE ⊥以D 为坐标原点建立空间直角坐标系2211x y -=+，平方得：【典例4】正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，11A B 的中点，P 是边11C D 上的一个点（包括端点），Q 是平面1PMB 上一动点，满足直线MN 与直线AN 夹角与直线MN 与直线NQ 的夹角相等，则点Q 所在轨迹为（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．抛物线或双曲线【答案】D【分析】根据题设分析可知：Q 点轨迹为以AN 为母线，MN 为轴，AB 为底面直径的圆锥体，及其关于11A B 反向对称的锥体与平面1PMB 的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断Q 所在轨迹的形状.【详解】由题设，Q 点轨迹为以AN 为母线，MN 为轴，AB 为底面直径的圆锥体，及其关于11A B 反向对称的锥体与平面1PMB 的交线，如下图示：当P 是边11C D 上移动过程中，只与下方锥体有相交，Q 点轨迹为抛物线；当P 是边11C D 上移动过程中，与上方锥体也有相交，Q 点轨迹为双曲线；故选：D3.翻折有关的的轨迹问题①翻折有关的轨迹问题的解题策略1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹3.可以利用空间坐标运算求轨迹【典例5】1822年，比利时数学家Dandelin 利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占1A 正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得1AA 与小球相切．若15A A =，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（）A ．23B ．45C ．13D ．25【答案】A【分析】设21A F x =，从而可得15AA =，122A A x =+，23AA x =+，利用勾股定理可得10x =，再由离心率的定义即可求解.【详解】在21Rt AA A 中，设21A F x =，2DA x∴=15AA =，122A A x =+，23AA x =+，2225(2)(3)x x ∴++=+，10x ∴=，∴长轴长12212A A a ==，6a =，624c =-=则离心率23c e a ==.故选：A 【题型训练2-刷模拟】1.平行、垂直有关的的轨迹问题一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为（）A ．62+B ．62-C ．4D ．51+【答案】A【分析】由题意，动点P 的轨迹为过E 且垂直AC 的平面与正四棱锥S ABCD -的交线，再根据线面垂直的性质求解即可.【详解】如图，设,AC BD 交于O ，连接SO ，由正四棱锥的性质可得，SO ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，故SO AC ⊥.又BD AC ⊥，SO BD O ⋂=，SO BD ⊂，平面SBD ，故AC ⊥平面SBD .由题意，PE AC ⊥则动点P 的轨迹为过E 且垂直AC 的平面与正四棱锥S ABCD -的交线，即如图EFG ，则AC ⊥平面EFG .由线面垂直的性质可得平面//SBD 平面EFG ，又由面面平行的性质可得//EG SB ，//GF SD ，//EF BD ，又E 是边BC 的中点，故,,EG GF EF 分别为,,SBC SDC BCD 的中位线.由题意222,226BD SB SD ===+=，故()16622622EG EF GF ++=++=+.即动点P 的轨迹的周长为62+.故选：A2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱点，P 为正四棱柱表面上一点，且A ．52+B ．2因为11AC ⊂平面1B A 1111ED B D D ⋂=，则取1CC 中点F ，连接而11D C ⊥平面1BCC 又1,B F FE ⊂平面1B故选：D4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正方体P 是正方体表面上的动点，若1C P A ．25+B ．2【答案】B【分析】要满足1//C P 平面CD 中点G ，11A B 的中点H ，连结迹为三角形1C HG ，求出周长即可【详解】取1BB 的中点G ，A 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为因为,F H 为分别为11,AB A B 的中点，BB的中点A．点P可以是棱1C．点P的轨迹是正方形【答案】B【分析】如图，取棱BC的中点必过D点，进而取A D中点F【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于取棱的性质求解点P 轨迹即可求解6．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为表面上，且//MP 平面1ABD ，则动点A ．22B ．【详解】E 、F 、G 、M 分别是1AA 、11A D 、1B C 1AD ，//EM AB ，所以//EF 平面1ABD 1ABD //平面EFGM ，故点P 的轨迹为矩形12G =，所以22MG =，所以1EFGM S =⨯【点睛】本题考查面面平行的判定和面面平行的性质，以及正方体的截面问题，属综合中档题二、填空题【答案】10【分析】先推出BC ⊥,,EF CF AC ，推出BC 【详解】因为AB 是圆柱下底面圆又BC AD ⊥，AC AD 设过A 的母线与上底面的交点为因为⊥AE 平面ABC ，因为AE AC A = ，所以点D 在平面ACE 依题意得5AE =，OA 所以矩形AEFC 的面积为1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1DD AC ⊥11,,DD BD D DD BD =⊂∩平面1BDD ，于是AC ⊥平面则1AC BD ⊥，同理11⊥AB BD ，而1,,AC AB A AC AB = 令1BD 交平面1AB C 于点E ，由11B AB C B ABC V V --=，得13S 311【答案】3305π【分析】由题意画出图形，得BN ⊥平面DCP ，所以【详解】如图所示，在1BB 上取点P ，使得12BP PB =，连接112NC NB =Q ，CP BN∴⊥又DC ⊥平面11BCC B ，DC BN∴⊥又DC CP C Ç=Q ，DC ⊂平面DCP ，CP ⊂平面BN ∴⊥平面DCP又点M 是棱长为32的正方体1111ABCD A B C D -DCP 与球O 的截面圆周.2.距离、角度有关的的轨迹问题一、单选题故选：C2．（2023·河北·统考模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P －ABCD 的底面正方形边长为则动点Q 形成轨迹的周长为（A ．2π11根据等体积法得(143ABCD PAB S S +△∴11344423263PE ⎛⎫+⨯⨯⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭【详解】，取AD 的中点H ，连接EH ，则1//EH AA .1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，所以EH ⊥底面ABCD.EFH 为EF 与底面ABCD 所成的角，则60EFH ∠=︒．设正方体的棱长为a ，因为该正方体外接球的表面积为12π，22233π12π2a a ⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭，解得2a =，12AA a ===，从而23HF =，的轨迹为以H 为圆心，23为半径的圆在正方形ABCD 区域内的部分，如图中，23HG HM ==，3AH AHG πAHG ∠=，【点睛】本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题7．（2022秋·河南·高三期末）棱长为1的正方体11ABCD A B C -则下面结论正确的有（）①若点E 满足1AE B C ⊥，则动点E 的轨迹是线段；②若点E 满足130EA C ∠=，则动点E 的轨迹是椭圆的一部分；若130EA C ∠= ，则E 在以1AC 为轴，母线所在直线为平面1BC 与圆锥的轴1AC 因为11//,A B CD 所以1A E 与CD 所成的角等于当E 为1BC 中点时，1B E tan EA B ∠二、填空题8．（2023春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）则正方体表面到P 点距离为5的点的轨迹总长度为【答案】35π2⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】根据以P 为球心，5为半径的球与正方体表面的交线长度来求得轨迹总长度【详解】以P 为球心，5为半径的球与正方体表面的交线长度即为所求，在平面11ABB A 和平面11ADD A 上轨迹是以圆心角为π2的两段弧，弧长为在平面1111D C B A 上的轨迹是以A 在平面ABCD 上的轨迹是以A 为圆心，因此，轨迹的总长度为352⎛+ ⎝故答案为：35π2⎛⎫+ ⎪⎝⎭9．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥到底面ABC 的距离为4，且三棱锥【答案】43π【分析】设ABC 直角边的边长为得出球心O 到底面ABC 的距离连接,,OD OG OH ,则有OG OH =2GH a =，5GD a =且GH GD ⊥设O 到平面DCHG 的距离为：d 则在三棱锥O DGH -中，有O GDH V -所以11113232GH GD d OG ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯3.翻折有关的的轨迹问题一、单选题A ．523πB ．453π【答案】D设三棱锥S ABC -外接球的球心为,,O SAC BAC 的中心分别为易知1OO ⊥平面2,SAC OO ⊥平面BAC ，且12,,,O O O①四棱锥P AECD -的体积最大值为255③,EP CD 与平面PAD 所成角的正弦值之比为④三棱锥P AED -的外接球半径有最小值A ．①③B ．②③【答案】C取PA中点为G，则，GF EC平行且相等，四边形所以，点F的轨迹与点G的轨迹完全相同，过,H G的轨迹是H以为圆心，55HG=中点F的轨迹长度为55π.②错误；由四边形ECFG是平行四边形知//ECAB=，上一动点，现将AED．．．．。

2025年高考数学重点考点汇总高考数学一直是考生们重点关注的科目，随着教育改革的不断推进，数学考试的重点和趋势也在发生变化。

对于即将参加 2025 年高考的同学们来说，了解重点考点是备考的关键。

下面为大家汇总了 2025 年高考数学的重点考点。

一、函数函数是高中数学的核心内容，也是高考的重点考查对象。

包括函数的概念、性质（单调性、奇偶性、周期性）、图象等。

1、函数的定义域和值域求函数定义域时，要注意分式的分母不为零、偶次根式的被开方数非负、对数函数的真数大于零等限制条件。

值域的求解方法多样，如配方法、换元法、判别式法等。

2、函数的单调性和奇偶性利用定义判断函数的单调性和奇偶性是常见的题型。

同时，要能根据函数的单调性和奇偶性来解决不等式、比较大小等问题。

3、二次函数二次函数的图象和性质是重点，包括顶点、对称轴、最值等。

此外，二次函数与一元二次方程、不等式的结合也是常考的知识点。

4、指数函数和对数函数要掌握指数函数和对数函数的图象、性质，以及它们的运算性质。

指数函数和对数函数的综合应用，如解指数、对数方程和不等式等也是考点之一。

二、三角函数三角函数在高考中占有较大的比重，涉及的知识点较多。

1、三角函数的定义和诱导公式理解三角函数的定义，熟练掌握诱导公式，能够进行三角函数的化简和求值。

2、三角函数的图象和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图象特点、周期、振幅、相位等性质要牢记。

3、三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式等的运用，以及三角函数的化简、求值和证明。

4、解三角形利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的边长、角度、面积等问题。

三、数列数列是高考数学的必考内容之一。

1、数列的概念和通项公式掌握等差数列和等比数列的定义、通项公式，能根据给出的条件求出数列的通项公式。

2、数列的前 n 项和等差数列和等比数列的前 n 项和公式要熟练运用。

同时，要掌握错位相减法、裂项相消法等求数列前 n 项和的方法。