2.1认识无理数
第2课时
教学目标
【知识与能力】
掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性.
【过程与方法】
借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.
【情感态度价值观】
在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力.
教学重难点
【教学重点】
能用所学定义正确判断所给数的属性.
【教学难点】
无理数概念的建立.
教学准备
计算器、立方体、多媒体课件.
教学过程
第一环节：情境引入
导入:前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢?
1.有理数是如何分类的?
【问题解决】有理数{整数(如−1,0,2,3,…)分数(如13,−25,911,0.5,…)
2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如a 2=2,b 2=5中的a ,b 不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目.
[设计意图] 通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它们的真面目.
第二环节：新知构建
面积为2的正方形的边长a 究竟是多少呢?
(1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.
(2)边长a 的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.
(3)
【思考】 a ,哪个更接近正方形的实际边长?
【归纳总结】 a 是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a 一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?
事实上,a =1.41421356…,它是一个无限不循环小数.
【做一做】 (1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计.
(2)如果结果精确到0.01呢?
(提示:精确到0.1,b ≈2.2,精确到0.01,b ≈2.24)
同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c =1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.
[设计意图] 让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐缩小范围,借助计算器探索出a =1.41421356…,b =2.2360679…,c =1.25992105…是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想.
2.有理数的小数表示,明确无理数的概念
思路一:请同学们以学习小组的形式活动.
【议一议】 把下列各数表示成小数,你发现了什么?
3,45,59,-845,2
11. 【答案】 3=3.0,45=0.8,59=0.5·,-845=-0.17·,211=0.1·8·
.
分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?
思路二:回忆小学我们学过的计算圆的周长和面积的时候,用到的π取多少?(3.14)它是确切的值吗?(不是,是近似值)那π是有理数吗?(不是)并且,我们还知道,利用计算机,现在π已经算到几亿分位,但是还是没有算出来.当然,π也不能化为分数的形式,所以π不是有理数,那π是什么数呢?
【探究结论】 分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
【强调】 像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.
我们把无限不循环小数称为无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数)
【想一想】 你能找到其他的无理数吗?
[设计意图] 通过学生的活动与探究,得出无理数的概念,通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必要性,建立了无理数的概念.
3.例题讲解
下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?
3.14,-43, 0.5·7·,0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).
解:有理数有:3.14,-43,0.5·7·;
无理数有:0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).
【强调】 1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.
2.任何一个有理数都可以化成分数p q 的形式(q ≠0,p ,q 为整数且互质),而无理数不能.
[设计意图] 通过例题的讲解,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类.
[知识拓展] 确定x 2=a (a ≥0)中正数x 的近似值的方法:
1.确定正数x 的整数部分.
根据平方的定义,把x 夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.例如:求x 2=5中的正数x 的整数部分,因为22<5<32,即222.确定x 的小数部分十分位上的数字.
(1)将这两个整数平方和的平均数与a 比较,预测十分位上数字的取值范围,如两个整数2和3的平方和的平均数为22+322=6.5>5,所以x 的十分位上的数字一定比3小,不妨设x ≈2.2.
(2)设误差为k (k 必为一个纯小数,且k 可能为负数),则x =2.2+k ,所以(2.2+k )2=5,所以
4.84+4.4k +k 2=5,因为k 是小数,所以k 2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k =5,所以k ≈0.036,所以x =2.2+k ≈2.2+0.036=2.236.
实际估算中,整数部分的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<5<5.29,所以2.22第三环节：课堂小结
数{有理数:有限小数或无限循环小数{整数分数无理数:无限不循环小数
