类型一 新定义型
例1、对任意一个三位数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F (n )．例如n ＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F (123)＝6． （1）计算：F (243)，F (617);
（2）若s ，t 都是“相异数”，其中s ＝100x ＋32，t ＝150＋y (1≤x ≤9，1≤y ≤9，x ，y 都是正整数），规定：k ＝
F (s )
F (t )
,当F (s )＋F (t )＝18时，求k 的最大值． 【解答】解：(1)F (243)＝(423＋342＋234)÷111＝9；
F (617)＝(167＋716＋671)÷111＝14．
（2）∵s ，t 都是“相异数”，s ＝100x ＋32，t ＝150＋y ，
∴F (s )＝(302＋10x ＋230＋x ＋100x ＋23)÷111＝x ＋5，F (t )＝(510＋y ＋100y ＋51＋105＋10y )÷111＝y ＋6． ∵F (t )＋F (s )＝18，
∴x ＋5＋y ＋6＝x ＋y ＋11＝18， ∴x ＋y ＝7．
∵1≤x ≤9，1≤y ≤9，且x ，y 都是正整数， ∴⎩⎨
⎧x ＝1
y ＝6或⎩⎨⎧x ＝2y ＝5或⎩⎨⎧x ＝3y ＝4或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2或⎩⎨⎧x ＝6y ＝1
． ∵s 是“相异数”， ∴x ≠2，x ≠3． ∵t 是“相异数”， ∴y ≠1，y ≠5． ∴⎩⎨⎧x ＝1
y ＝6或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2， ∴⎩⎨
⎧F (s )＝6
F (t )＝12或⎩⎨⎧F (s )＝9F (t )＝9或⎩⎨⎧F (s )＝10F (t )＝8
，
∴k ＝
F (s )F (t )＝12或k ＝F (s )F (t )＝1或k ＝F (s )F (t )＝5
4
, ∴k 的最大值为54
．
例2、如图1，在正方形ABCD 的内部，作∠DAE ＝∠ABF ＝∠BCG ＝∠CDH ，根据三角形全等的条件，易得△DAE ≌△ABF ≌△BCG ≌△CDH ，从而得到四边形EFGH 是正方形． 类比探究
如图2，在正△ABC 的内部，作∠BAD ＝∠CBE ＝∠ACF ，AD ，BE ，CF 两两相交于D ，E ，F 三点(D ，E ，F 三点不重合）
（1）△ABD ，△BCE ，△CAF 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明． （2）△DEF 是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD 的三边存在一定的等量关系，设BD ＝a ，AD ＝b ，AB ＝c ，请探
索a ，b ，c 满足的等量关系．
【解答】解：(1)△ABD ≌△BCE ≌△CAF ;理由如下： ∵△ABC 是正三角形，
∴∠CAB ＝∠ABC ＝∠BCA ＝60°，AB ＝BC ，
∵∠ABD ＝∠ABC －∠2，∠BCE ＝∠ACB －∠3，∠2＝∠3， ∴∠ABD ＝∠BCE ，
在△ABD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2
AB ＝BC ∠ABD ＝∠BCE
，
∴△ABD ≌△BCE (ASA );
(2)△DEF 是正三角形；理由如下： ∵△ABD ≌△BCE ≌△CAF ， ∴∠ADB ＝∠BEC ＝∠CFA ， ∴∠FDE ＝∠DEF ＝∠EFD ， ∴△DEF 是正三角形；
（3）作AG ⊥BD 于G ，如图所示： ∵△DEF 是正三角形，
∴∠ADG ＝60°，
在Rt△ADG 中，DG ＝12b ,AG ＝3
2b ,
在Rt△ABG 中,c 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32b 2,
∴c 2＝a 2＋ab ＋b 2
．
例3、有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y ＝1
k
x 与
y ＝k
x
(k ≠0）的图象性质． 小明根据学习函数的经验，对函数y ＝1k x 与y ＝k
x
,当k ＞0时的图象性质进行了探究．
下面是小明的探究过程：
（1）如图所示，设函数y ＝1k x 与y ＝k
x
图象的交点为A ，B ，已知A 点的坐标为(－k ，－1)，
则B 点的坐标为________；
（2）若点P 为第一象限内双曲线上不同于点B 的任意一点． ①设直线PA 交x 轴于点M ，直线PB 交x 轴于点N ．求证：PM ＝PN ．
证明过程如下：设P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
m , k m ,直线PA 的解析式为y ＝ax ＋b (a ≠0）
． 则 ⎩
⎪⎨
⎪⎧－ka ＋b ＝－1
ma ＋b ＝ k m ， 解得 ⎩⎨
⎧a ＝b ＝
________
∴直线PA 的解析式为________
请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．
②当P 点坐标为(1，k )(k ≠1）时，判断△PAB 的形状，并用k 表示出△PAB 的面积．
【解答】解：（1）由正、反比例函数图象的对称性可知，点A 、B 关于原点O 对称，
