椭圆曲线快速点乘算法优化

优化椭圆运算的十种方法与技巧
1.用椭圆方程y^2=4ax或x^2=4ay来表示椭圆，这样可以减少计算量。

2.使用极坐标系来表示椭圆，这样可以使用极角来计算椭圆上的点。

3.使用参数方程来表示椭圆，即x=acos(t)，y=bsin(t)，这样可以使用参数t来计算椭圆上的点。

4.使用椭圆的对称性来减少计算量，比如对称轴、中心对称、旋转对称等。

5.利用椭圆的性质，比如对称轴的长度是相等的、离心率的平方等于1、椭圆的周长可以用椭圆积分公式计算等。

6.利用椭圆的性质，比如椭圆的纵横比、长短轴、极点等。

7.利用椭圆的对称性，比如将椭圆分成四个象限，然后只计算其中一个象限的点。

8.利用椭圆的性质，比如椭圆的长短轴、焦点、极角等。

9.利用椭圆的对称性，比如将椭圆分成四个象限，然后只计算其中两个象限的点。

10.使用计算机软件来进行椭圆运算，这样可以大大减少人工计算的错误率。

此外，还有一些常用的椭圆运算方法和技巧，如使用椭圆变换、使用椭圆矩阵运算、使用椭圆积分公式、使用椭圆曲线密码等。

这些方法和技巧可以帮助我们更快捷、更精确地进行椭圆运算。

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一种椭圆曲线标量乘法的快速算法
蒋辉芹
【期刊名称】《长沙大学学报》
【年(卷),期】2013(027)005
【摘要】在经典3P快速算法的基础上,为避免复杂的求逆操作,提出了优化途径和措施,利用牺牲代价较低的乘法操作以换取求逆操作.给出了一个由椭圆曲线点P直接计算3kP的算法,新算法显著减少了计算量,提高了算法效率,并保证了计算结果的准确性.
【总页数】3页(P61-63)
【作者】蒋辉芹
【作者单位】泰州学院数理信息学院,江苏泰州225300
【正文语种】中文
【中图分类】TP309
【相关文献】
1.基于Markov链的椭圆曲线标量乘法算法性能分析 [J], 唐文;唐礼勇;陈钟
2.一类安全椭圆曲线的选取及其标量乘法的快速计算 [J], 白国强;周涛;陈弘毅
3.两类超奇异椭圆曲线的快速标量乘法 [J], 张宁;陈志雄;肖国镇
4.利用半点计算椭圆曲线双标量乘法算法 [J], 冯娟娟;祝跃飞;张亚娟
5.椭圆曲线密码体制中标量乘法的快速算法 [J], 刘连浩;申勇
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基于FPGA的Fm2域椭圆曲线点乘的快速实现魏东梅;杨涛【期刊名称】《计算机应用》【年(卷),期】2011(31)2【摘要】The implementation speed of Elliptic Curve Cryptography (ECC) depends on the implementation speed of elliptic curve point multiplication.Point multiplication of elliptic curve using Montgomery algorithm was proposed in this paper.Parallel algorithm was used in modular multiplication algorithm and modular square algorithm, as well as Fermat's Little Theorem was used and optimized in modular inversion, thus the fast operation of elliptic curve point multiplication was implemented.Synthesis and implementation were realized in a Xilinx device of XC5VLX220T.Through timing simulation, the clock frequency can achieve 40MHz.It takes only 14.9μs to carry out one point multiplication operation.%椭圆曲线点乘的实现速度决定了椭圆曲线密码算法(ECC)的实现速度.采用蒙哥马利点乘算法,其中模乘运算、模平方运算采用全并行算法,模逆运算采用费马·小定理并在实现中进行了优化,完成了椭圆曲线点乘的快速运算.采用Xilinx公司的Viaex-5器件族的XCV220T作为目标器件,完成了综合与实现.通过时序后仿真,其时钟频率可以达到40 MHz,实现一次点乘运算仅需要14.9μs.【总页数】3页(P540-542)【作者】魏东梅;杨涛【作者单位】西南科技大学,信息工程学院,四川,绵阳,621010;西南科技大学,信息工程学院,四川,绵阳,621010【正文语种】中文【中图分类】TP309;TP302【相关文献】1.GF(2m)域椭圆曲线点乘算法安全FPGA设计与实现 [J], 雷咸超;高献伟;李飞;张刚2.Fm2域椭圆曲线密码系统软件实现的优化技术研究 [J], 刘文波;张帆;郭云飞;刘力雄3.基于智能卡的素数域椭圆曲线密码的快速实现 [J], 刘淳;张凤元;张其善4.一种基于Impulse C的素域椭圆曲线点乘快速算法 [J], 崔强强;金同标;朱勇;殷进勇5.基于FPGA的椭圆曲线点乘算法设计与实现 [J], 杨自恒;周平;刘佳;丁群因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

超奇异椭圆曲线标量乘算法改进
徐雪莲
【期刊名称】《现代计算机（专业版）》
【年(卷),期】2018(000)020
【摘要】由于量子计算的快速发展,许多已建立的公共密钥加密算法(RSA、Diffe-Hellman、ECC、DSA等)将无法提供足够的安全性.超奇异椭圆曲线密码体制与椭圆曲线密码体制相比,安全性高、密钥长度相似,并且已经在hash函数领域中取得成功.标量乘计算是密码体制中最为核心和重要的计算,在此基础上,研究特征为2的域上超奇异椭圆曲线快速标量乘改进方案.实验结果表明,在特征为2域上,快速标量乘改进算法的运行速度与安全性均大大提高.
【总页数】6页(P50-54,59)
【作者】徐雪莲
【作者单位】上海海事大学信息工程学院,上海 201306
【正文语种】中文
【相关文献】
1.一类超奇异超椭圆曲线的Tate对实现 [J], 施万海;游林
2.两类超奇异椭圆曲线的快速标量乘法 [J], 张宁;陈志雄;肖国镇
3.二元扩域超奇异 Koblitz曲线的标量乘计算 [J], 徐云秀;顾海华;马博
4.一类j=0超奇异椭圆曲线的性质及其标量乘算法 [J], 翁江;康晓春;豆允旗;马传贵
5.超奇异椭圆曲线标量乘算法改进 [J], 徐雪莲[1]
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椭圆曲线密码体制中点乘的快速算法
陶然;陈丽燕
【期刊名称】《北京理工大学学报》
【年(卷),期】2005(25)8
【摘要】对已有的计算椭圆曲线密码体制中点乘的常用算法进行性能分析,在此基础上,针对非相邻形式算法(NAF)存在的不足,提出一种改进的基于NAF的窗口算法,并与其它的几种算法进行了比较.结果表明,改进算法减少了点乘运算中点加和倍乘的运算次数,运算效率比一般的二进制算法提高了25%.
【总页数】4页(P701-704)
【关键词】椭圆曲线密码体制;点乘;快速算法;非相邻形式(NAF)
【作者】陶然;陈丽燕
【作者单位】北京理工大学信息科学技术学院电子工程系
【正文语种】中文
【中图分类】TP309.7
【相关文献】
1.椭圆曲线密码体制中快速标量乘算法实现 [J], 王永恒
2.基于整数拆分的椭圆曲线密码体制上的快速点乘算法 [J], 石润华;钟诚
3.GF(2n)域椭圆曲线密码体制中快速标量乘算法的研究 [J], 赖忠喜;陶东娅;张占军
4.椭圆曲线密码体制中的快速点乘算法 [J], 赖晖
5.椭圆曲线密码体制中的快速点乘算法 [J], 赖晖
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256比特椭圆曲线点乘运算256比特椭圆曲线点乘运算文档一、引言椭圆曲线密码学是一种广泛应用于现代密码学和安全领域的密码学算法。

它利用椭圆曲线上的运算性质，提供了高强度的安全性和较小的密钥长度。

其中，点乘运算是椭圆曲线密码学中的一种重要操作，本文将详细介绍256比特椭圆曲线点乘运算的原理和应用。

二、椭圆曲线密码学概述椭圆曲线密码学是基于椭圆曲线上点的运算特性而构建的密码学体系。

其主要思想是利用椭圆曲线上的加法运算和点乘运算来实现相关的密码算法，包括密钥交换、数字签名、公钥加密等。

椭圆曲线密码学相对于传统密码体系来说，具有较小的密钥长度、较高的安全性和高效的计算性能。

三、椭圆曲线点乘运算原理 1. 椭圆曲线上的点乘运算在椭圆曲线密码学中，点乘运算是指将同一个点在椭圆曲线上进行多次相同的加法运算。

例如，给定一个点P和一个整数k，点乘运算即为 P * k = P + P + ... + P (k 次)。

这种运算的性质使得椭圆曲线密码学中的各种算法实现变得简单。

2. 256比特椭圆曲线的选择选择适当的椭圆参数是椭圆曲线密码学中的一个重要问题。

在256比特椭圆曲线点乘运算中，我们需要选择一个合适的椭圆曲线方程和基点，使得计算过程具有安全性和高效性。

通常，该曲线方程可以采用Weierstrass形式的方程，并根据选择特定的参数来满足各种需求。

四、256比特椭圆曲线点乘运算实现 1. 点乘运算的算法实现椭圆曲线点乘运算的算法实现主要基于椭圆曲线上的加法运算。

具体步骤如下：（1）初始化结果为无穷远点O；（2）将待乘标量转化为二进制位表示；（3）遍历二进制表示的每一位，若为1，则将结果与当前椭圆点相加；（4）将结果输出。

2. 优化技术为了提高256比特椭圆曲线点乘运算的效率，可以通过以下优化技术来降低计算复杂度：（1）使用Montgomery曲线形式，加速椭圆曲线的点乘运算；（2）采用并行计算技术，将点乘运算任务划分为多个子任务进行并行计算；（3）使用硬件加速器或优化的算法实现，提高点乘运算的速度。

快速安全的椭圆曲线标量乘算法研究快速安全的椭圆曲线标量乘算法研究椭圆曲线密码学作为公钥密码学的重要研究方向之一，在现代密码学中发挥着重要的作用。

而椭圆曲线标量乘运算是椭圆曲线密码学中的核心运算之一，其在许多密码算法中都得到广泛应用，比如椭圆曲线数字签名算法（ECDSA）和椭圆曲线Diffie-Hellman（ECDH）密钥交换算法等。

在传统的椭圆曲线标量乘运算中，一般采用的是基于加法链的纯纺算法。

然而，由于纯纺算法需要对每一位的比特进行连续的加法和点的加法运算，其复杂度较高，运算速度较慢，不适用于需要大量运算的场景。

因此，研究人员开始尝试寻找更加快速、高效的椭圆曲线标量乘算法。

目前，已经提出了多种快速安全的椭圆曲线标量乘算法，其中较为知名的包括蒙哥马利算法（Montgomery Algorithm）、斯卡拉点乘算法（Scalar Multiplication Algorithm）和窃取者攻击（Twisted Edwards）算法等。

这些算法在不同的场景下都有其优势和适用性。

蒙哥马利算法是一种基于中心投影坐标系的标量乘算法，其具有计算速度快、内存开销小的优点。

斯卡拉点乘算法则是一种基于哈密顿轮换算法的标量乘算法，通过合理选择哈密顿函数和位运算，可有效降低额外的内存开销。

而窃取者攻击算法则是一种基于扭曲爱德华曲线的标量乘算法，通过引入扭曲变换，使加法和标量乘运算的复杂度降低。

此外，为了提高椭圆曲线标量乘运算的安全性，研究人员还引入了一些防抵抗攻击的技术，比如基于完全抵抗攻击的康纳尔蒙哥马利算法（CM-Montgomery Algorithm）、侧信道攻击抵抗的标量乘算法等。

这些技术在提高算法的速度和效率的同时，也能够有效地抵御各种针对椭圆曲线密码学的攻击手段。

总的来说，快速安全的椭圆曲线标量乘算法的研究是椭圆曲线密码学领域中的重要课题之一。

通过合理选择合适的算法和技术，可以在保证计算速度和安全性的同时，为实际的密码学应用提供强大的支持。

椭圆曲线密码运算效率提高的算法实现张家喜【摘要】本文针对椭圆曲线密码系统的算法高速实现,讨论了对椭圆曲线上的点的加法和倍点运算,以及对点的标量乘法运算进行优化的技术,可以大大提高整个椭圆曲线密码系统的算法实现性能.【期刊名称】《宿州学院学报》【年(卷),期】2006(021)003【总页数】3页(P121-123)【关键词】椭圆曲线密码系统;数乘运算;点的加法;倍点运算;标量乘法【作者】张家喜【作者单位】宿州学院计算机科学技术系,安徽,宿州,234000【正文语种】中文【中图分类】TP31 引言自从1976年Diffie和Hellman提出公钥密码思想以来，虽然出现了许多种公钥密码系统，但是，目前只有3类公钥密码体制被认为是安全有效的，按照其所依据的数学难题划分为：基于大整数分解问题(IFP)，如RSA体制和Rabin体制；基于有限域离散对数问题(DLP)，如Diffie-Hellman体制和ElGamal体制；基于椭圆曲线离散对数问题(ECDLP)，如椭圆密码体制。

椭圆曲线应用到密码学上最早是由Neal Koblitz和Victor Miller在1985年分别独立提出的。

它是目前已知的公钥体制中，对每一比特所提供加密强度最高的一种体制。

它具有安全性高、密钥量小、灵活性好的特点，受到了国际上的广泛关注。

而SET(Secure Electronic Transaction)协议已被作为下一代SET协议中缺省的公钥密码算法,深入研究基于椭圆曲线离散对数问题的公钥密码具有很大的现实意义[1]。

2 椭圆曲线及椭圆曲线公钥密码体制2．1 椭圆曲线若定义给定域G上的三元齐次Weierstrass方程：Y2Z+a1XYZ+a3YZ2=X3+a2X2Z+a4XZ2+a6Z3 (ai∈G) 满足条件时，Weierstrass方程在射影平面P2(G)中所有解组成的集合E：{(X,Y,Z)∈P2(G)|F(X,Y,Z)=0且X,Y,Z不会为0}∪{O}称为域G上的椭圆曲线E，P2(G)由仿射平面A2(G)添加一条虚直线(其上的点为虚点)而成[2]。

椭圆曲线点乘计算复杂度多项式椭圆曲线点乘是一种在密码学和数论中广泛应用的计算方法。

它涉及到椭圆曲线上的数学运算，通过迭代相加点的方式实现数的倍增运算。

在这篇文章中，我们将详细介绍椭圆曲线点乘的计算复杂度，并从多项式的角度解释其运算过程。

首先，让我们回顾一下椭圆曲线的基本概念。

椭圆曲线是由一组满足特定方程的点构成的集合。

这个方程通常被写为y^2 = x^3 + ax + b，其中a和b是给定的常数。

椭圆曲线不仅具有美丽的几何性质，还具有一些独特的数学特征，这使得它们成为密码学领域中关键的资源。

在椭圆曲线上进行点乘运算时，首先需要选择一个基点（也称为生成点）。

基点是一个已知的椭圆曲线上的点，它的坐标值被事先选定，并且是不变的。

接下来，通过迭代相加点的方式，可以将基点与自身相加多次，从而得到所需的倍增运算结果。

椭圆曲线点乘的计算复杂度可以通过多项式运算的角度来解释。

通常情况下，我们用n来表示点乘的倍数，例如2倍、3倍等。

假设点乘的输入为n个二进制位，那么基于传统的模幂算法，计算一个点乘运算的时间复杂度约为O(n^3)。

这是因为在每一位上都需要进行一次乘法和一次取模运算，总共需要进行n次这样的运算。

但是，通过一些优化技术，可以将椭圆曲线点乘的计算复杂度降低到O(n^2)甚至更低。

其中最常用的优化方法是使用加法链技术。

加法链可以将点乘过程划分为若干个小的步骤，通过预先计算不同的倍数来减少整个运算过程中需要进行的乘法和取模运算次数。

这样一来，点乘运算的复杂度就可以显著降低。

另一种常见的优化方法是使用Montgomery曲线。

Montgomery曲线是一种特殊形式的椭圆曲线，它具有一些特殊的数学属性，能够加速点乘运算。

通过将标准椭圆曲线转化为Montgomery曲线，可以利用其特殊的加法和倍乘运算规则，从而加快点乘运算的速度。

总结起来，椭圆曲线点乘是一种重要的计算方法，在密码学和数论中广泛应用。

它通过迭代相加点的方式实现数的倍增运算，可以通过多项式运算的角度来解释其计算复杂度。

椭圆曲线快速点乘算法优化周梦;周海波【期刊名称】《计算机应用研究》【年(卷),期】2012(029)008【摘要】Trading field multiplications for field squaring is an algebraic method to improve the performance of scalar multiplication in ECC. This paper gave the algorithms of 3P and 3kP over Fp in terms of Jacobian coordinates. And their computational complexity were 6[ M] + 10[ S] and (6k) [ M] + ( 104) [ S] respectively,which was improved to 11. 8% and 10. 5% respectively than the best algorithms at present. In addition, this paper improved the algorithms of 2 P and 3 P over Fp in terms of affine coordinates on the basis of literature [1,2]. And their computational complexity was improved to 6. 3% and 3. 3% respectively than literature [1,2].%转换乘法为平方运算,是一种快速计算椭圆曲线密码点乘的代数方法.利用此方法,提出了素域Fp上雅可比坐标系下的3P和3kp算法,其运算量分别为6[M]+10[S]和(6k)[M]+(10k)[S],与已有的最好算法相比,算法效率分别提升了11.8％和10.5％.另外,还在文献[1,2]基础上,对素域Fp上仿射坐标系下的2kP和3kP的算法进行了改进,其算法效率比文献[1,2]分别提高了6.3％和3.3％.【总页数】4页(P3056-3058,3061)【作者】周梦;周海波【作者单位】北京航空航天大学数学与系统科学学院,北京100191;北京航空航天大学数学与系统科学学院,北京100191【正文语种】中文【中图分类】TP309【相关文献】1.一种新的余数系统下快速计算素域椭圆曲线点乘的方法 [J], 吴焘;李树国;刘理天2.基于FPGA的Fm2域椭圆曲线点乘的快速实现 [J], 魏东梅;杨涛3.基于边带信道原子的安全快速椭圆曲线密码点乘算法 [J], 秦宝东;孔凡玉4.一种基于Impulse C的素域椭圆曲线点乘快速算法 [J], 崔强强;金同标;朱勇;殷进勇5.Weierstrass形椭圆曲线上的快速点乘公式 [J], 冯荣权;吴宏锋;王子龙因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。