x
任意角的三角函数
知识点：
1. 单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆.
2. 任意角的三角函数的定义
如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,则OP 的长r=1，那么:
(1) 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即 ； （2）
叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即 ；
（3）y
x
叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)y x x α=≠.
说明: (1)当()2
k k Z π
απ=
+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y
x
α=
无意义,除此情况外，对于确定的值α，上述三个值都是唯一确定的实数.
(2)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.
(3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三
角函数.
1. 确定下列三角函数值的符号
(1)cos250︒
; (2)sin()4
π
-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π.
2. 求下列三角函数值:
(1)'sin148010︒
; (2)9cos 4π; (3)11tan()6
π-.
3. 已知角α的终边上一点()P m ，且sin α=
αcos 的值. r y r
x y
r y ==α
sin x r x
==α
cos
（1）已知角α的终边经过点p(—1,3),则ααcos sin +的值是（ ）
A.
213+ B.213- C.2
3
1- D.213+-
(2)下列命题中，正确命题的个数是（ ） （1）终边相同的角的同名三角函数的值相同（2）终边不同的角的
同名三角函数的值不等 （3）若0sin >α则α是第一、二象限的角 （4）若α是第二象限的角,且p(x,y)是其终边上一点，则2
2cos y x x +-=α A.1 B.2 C.3 D.4
(3)若0cos sin >θθ，则θ在（ ） A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限 (4).若),2,0(π∈x 函数x x y tan sin -+=
的定义域是（ ）A.[0,π] B.[0,
2
π
] C.[ππ2,23] D.(],2ππ
(5)设角α属于第二象限，且,2
cos
2
cos
α
α
-=，则角
2
α
属于（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (6)已知p(y ,3-)为角β的终边上的一点，且1313sin =
β,则y 等于（ ）A.21± B.21 C.2
1
- D.2± （7）已知α角的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在（ ）
A.第一象限角的平分线上
B.第四象限角的平分线上
C.第二、四象限角的平分线上
D.第一、三象限角的平分线上 （8）.在[0，2π]上满足21sin ≥x 的x 的取值范围是（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ65,6 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ32
,6 D.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ππ,65
二、填空题
（9.）=-+)6
11tan(49cos ππ
（10）若角α的终边在直线x y 3
3=上，则___________cos _________sin ==αα
（11）函数x x x y tan cos lg sin +=
的定义域为 （12）已知⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈ππα,2，则
=--+-1cos cos 1cos cos sin sin ααααα 三、解答题
（13）已知角α的终边经过点()(),3,4o a a a p ≠-求ααcos sin 2+的值。
（14）已知()
()()(){
,1cos 111<>--=x x x x f x f π求⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛3431f f 的值
(15)已知α是第二象限角，求)cos(sin )sin(cos αα⨯的正负符号
（16）角α的终边上的点P 与A(a,b)关于x 轴对称(ab o ≠),角β的终边上的点Q 与A 关于直线y=x 对称。
求βαβαβαcsc sec cot tan sec sin ++的值。
（1）sin4·tan7的值( )
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.不大于0 （2）∆ABC 中，“∠A 为锐角”是“sinA>0”的（ ）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件 （3）若θ是第三象限角，且,3cos 3cos 2θθ-=，则3
θ角所在象限是（ ）
A.一
B.二
C.三
D.四 （4）已知βα,都是第二象限角，且,cos cos βα>则（ ）
A.βα<
B.βαsin sin >
C.βαtan tan >
D.βαcot cot < （5）设角α的终边过点()(),08,6≠--a a a p 则ααcos sin -的值是 ( )
A.5
1 B.5
1- C.5
1-或5
7- D.5
1-或5
1
（6）sin1,cos1,tan1的大小关系是（ ）
A.tan1>sin1>cos1
B.tan1>cos1>sin1
C.cos1>sin1>tan1
D.sin1>cos1>tan1 （7）已知角α的正切线是单位长度的有向线段，那么角α的终边（ ）
A.在x 轴上
B.在y 轴上
C.在直线y=x 上
D.在直线y=x 或y=-x 上 （8）若θ为第一象限角，则能确定为正值的是（ ） A.2
sin θ B.cos 2
θ C.tan 2
θ D.coa2θ （9）若角α满足条件:sin αcos α<0,cos α-sin α<0,则α在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
（10）点P 从（1，0）出发，沿单位圆2
2
y x +=1逆时针方向运动
π3
2
弧长到达Q 点，则Q 的坐标为 （ ） A.（-21，23） B.（-23，-21） C.（-2
1，-23） D.（-23，21
）
(11）若0cos >θ，且02sin <θ，则角θ的终边所在象限是（ ）.
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
（12）在（0，2π）内，使sinx>cosx 成立的x 的取值范围是 （ ）
A ．（
4π,2π）⋃（π,45π） B ．（4π,π） C ．（4π,45π） D ．（4
π
,π）⋃（45π,23π）
二、填空题
(13)sin 0
15cot ,75cos ,75的大小关系是
(14)“10·1”假期一游客在东湖的游船上仰看空中以飞艇的仰角为015，又俯看飞艇在湖中的仰映影俯角为0
45，已知该游客在船上举湖面的高度为5米，则飞艇距湖面的高度为 米（不考虑水的折射，tan 32150
-=）
（15）已知点P （tan α,cos α）在第三象限，则角α的终边在第 象限。 (16)函数|
tan |tan cos |cos ||sin |sin x x
x x x x y +
+=
的值域是 。 三、解答题
(17)已知f(x)是定义在（0，3）上的函数,f(x)的图象如图所示，求不等式f(x)·cosx<0的解集。
(18)已知点()αααtan ,cos sin -p 在第一象限，若),2,0[πα∈求α的取值范围。
