初中数学竞赛辅导讲义
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初中数学竞赛辅导讲义（初三）
第一讲
分式的运算
[知识点击]
1、分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。
2、综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。
3、分式运算：实质就是分式的通分与约分。
[例题选讲]
例1．化简
2312
x x
+
6512
x x
+
12
712
x x
解：原式=
)
2)(1(1x
x
+
)3)(2(1x
x
+
)
4)(3(1x x
=
1
1x -
2
1x
+
2
1x -
3
1x +
3
1x -
4
1x =
)4)(1(3x x 例2．已知z
z
y x
=
y
z
y x
= x
z
y x
，且xyz 0，求分式
xyz
x z
z y
y x
)
)()((的值。
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解：易知：
z
y
x =
y
z
x =
x
z
y =ｋ
则
)
3()2()1(kx z
y
ky z x kz y x
（1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0
若ｋ=2则原式= k
3
= 8 若ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3
=-1
例3．设
1
2
mx x
x =1，求
1
2
2
4
2x m x
x 的值。
解：显然X
0，由已知
x
mx x
1
2
=1 ，则 x +
x
1 = ｍ + 1 ∴
2
2
24
1
x
x m x
= ｘ
2
+
2
1x
- ｍ
2
= (x +
x
1)
2
-2 –ｍ
2
=( ｍ +1)
2
-2- ｍ
2
= 2ｍ -1 ∴原式=
1
21m 例4．已知多项式3x 3
+ax
2
+3x +1 能被x 2
+1整除，求ａ的值。
解：
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1
33132
3
2
x
ax
x
X
a x
1-ａ=0 ∴ａ=1
例5：设ｎ为正整数，求证
3
11 +
511 + …… +
)12)(12(1
n n ＜
2
1证：左边=2
1（1 -
3
1 + 3
1 - 5
1 + …… + 1
21n - 1
21n ）
a
a ax
ax x O x
1
1332
23
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=
2
1（1-
121n ）
∵n 为正整数，∴1
21n
＜ 1
∴1-
1
21n ＜ 1 故左边＜
2
1[小结归纳]
1、部分分式的通用公式：
)
(1k x
x =
k
1（
x
1 -
k
x
1）
2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用
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同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。
3、整体代换及倒数法是分式的的求值中常用的方法，应熟练掌握。
[巩固练习]
1、若分式
1222
m
m 的值是正整数，则整数m= 。
2、若
1
4
32a a a a =
2
4
31a a a a =
3
4
21a a a a =
4
3
21a a a a =ｋ
则k= 。
3、已知a 2-3b
2
= 2ab .(a ＞0，b ＞0),则
b
a
b a 2 = .