中考数学锐角三角函数与圆综合训练题
1、如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD2=CA•CB；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长．
2、如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE 于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．
（1）求证：点F是AD的中点；
（2）求cos∠AED的值；
（3）如果BD=10，求半径CD的长．
3、如图11，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E ，F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF ． （1）求证：直线PA 为⊙O 的切线；
（2）试探究线段EF ，OD ，OP 之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC ＝6，tan ∠F ＝
1
2
，求cos ∠ACB 的值和线段PE 的长．
4、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ．切点为G ，连接AG 交CD 于K ． （1）求证：KE=GE ；
（2）若2
KG =KD ·GE ，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，若sinE=3
5
，AK=23，求FG 的长．
5、如图11，AB 是⊙O 的弦，D 是半径OA 的中点，过D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于F ，且CE=CB 。 （1）求证：BC ⊙O 是的切线； （2）连接AF 、BF ，求∠ABF 的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA=13
5
，求⊙O 的半径。
图11 A
C
B
D E
F O
P
6、如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC ． （1）求证：CA 是圆的切线；
（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =32，tan ∠AEC =3
5
，求圆的直径．
7、 如图右，已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点，AE 是⊙0的直径．点C 为⊙0上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D 。
(1)求证：CD 为⊙0的切线；
(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB 的长度.
8、（已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，以AB 为直径在正方形内作半圆，P 是半圆上的动点（不与点A 、B 重合），连接PA 、PB 、PC 、PD ．
(1)如图①，当PA 的长度等于 ▲ 时，∠PAB ＝60°； 当PA 的长度等于 ▲ 时，△PAD 是等腰三角形；
(2)如图②，以AB 边所在直线为x 轴、AD 边所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系（点A 即为原点
O ），把△PAD 、△PAB 、△PBC 的面积分别记为S 1、S 2、S 3．P 坐标为（a ，b ），试求2 S 1 S 3－S 22的最大值，并求出此时a ，b 的值．
9、
10、（芜湖市）（本小题满分12分）
如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧AB
⌒上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD 与OA交于N点．
（1）求证：PM＝PN；
（2）（2）若BD＝4，PA＝3
2AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．
11、（黄冈市）（6分）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满
足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.
12、如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是AE的中点，OM交AC于点D，
60 BOE
∠=°，
1
cos
2
C=，23
BC=
（1）求A
∠的度数；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）求MD的长度．
13、如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BC= AB；
（3）点M是弧AB 的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.
14、如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F，
(1)判断△DCE的形状；
(2)设⊙O的半径为1，且OF=
21
3-
，求证△DCE≌△OCB．
O
B A
C
E
M
D
第6题图
A
D
O
F
C
15、如图3，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，⊙O 交直线OB 于E D ，，连接
EC CD ，．
（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；
（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明； （3）若1
tan 2
CED ∠=，⊙O 的半径为3，求OA 的长．
16、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，10AB =, DC 切⊙O 于点C AD DC ⊥，，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ． （1）求证：BC EC =; （2）若4
cos 5
BEC ∠=, 求DC 的长．
17、如图，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是的中点，OM 交AC 于点D ，∠BOE=60°，
cosC=，BC=2
．
（1）求∠A 的度数；
（2）求证：BC 是⊙O 的切线； （3）求MD 的长度．
D
C
B
O
A
E
