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第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答
一、选择题
1.极限lim x y x y x y →→+00
242
= （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于
12； (D)存在且不等于0或12
2223 0x y →→45、设u x =arctan ，则∂x
= （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22
6、设f x y y x (,)arcsin
=，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-14； （B ）14； （C ）-12； （D ）12
7、若)ln(y x z -=，则=∂∂+∂∂y
z y x z x
（ C ） （A ）y x +； （B ）y x -； （C ）21； （D ）2
1-． 8、设y
x z arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ） （A ）22v u v u --； （B ）22v u u v --； （C ）22v u v u +-； （D ）22v u u v +-． 9、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ）
(A)
10、设z 11（A （C 12(f x （A （C 1、极限2、极限3、函数z x y =+ln()的定义域为 ??????? 。答：x y +≥1
4、函数z x y
=arcsin 的定义域为 ??????? 。答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭
22，则f kx ky (,)= ??????? 。答：k f x y 2⋅(,)
6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ??????? 。答：22
2x y x
- （22
()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x
+--+-==++-） 7、设z x y y =-+sin()3，则∂∂z
x x y ===2
1_________ 。答：3cos5
8、函数z z x y =(,)由方程x y z e
x y z ++=-++()所确定，则22z
∂= 0 9、、设u x xy =ln ，91}0y >，1}，图形为图3.4
图3.1 图3.2
图3.3 图3.4
2、求极限lim x y x
xye xy →→-+00
416 。 解：lim x y x
xye xy →→-+00416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 00
416 = -8
3、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，求
∂∂z y 。答：2112xyz xy -- 4、设z y xy x =ln()，求
∂∂∂∂z x z y ,。 解：z y y xy x y x x x =⋅+ln ln 1 z xy xy y
y y x x =+-11ln() 四、应用题。
1、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位
解：(x L 令⎩⎨⎧ 801、设z 证明： 2? 设2sin(x ?2y ?3z )?x ?2y ?3z ? 证明1=∂∂+∂∂y
z x z 证明：设F (x ? y ? z )?2sin(x ?2y ?3z )?x ?2y ?3z ? 则
F x ?2cos(x ?2y ?3z )?1?
F y ?2cos(x ?2y ?3z )?2?2?2F x ?
F z ?2cos(x ?2y ?3z )?(?3)?3??3F x ?
313=--=-=∂∂x x z x F F F F x z ? 3232=--=-=∂∂x x z y F F F F y z ?
于是 13
231=+=--=∂∂+∂∂z z z x F F F F y z x z ? 3、设x ?x (y ? z )? y ?y (x ? z )? z ?z (x ? y )都是由方程F (x ? y ? z )?0所确定的具有连续偏导数的函数? 证明1-=∂∂⋅∂∂∂∂x
z z y y x ? 解：因为
x y F F y x -=∂∂? y z F F z y -=∂∂? z
x F F x z -=∂∂? 所以
