《数学渐近法》PPT课件

BB
AA
CC
BB
AA SS AAB B
3 3 i i Δ/ l = / 3l = i 3 i CC
E I =E ∞I = ∞
ll
ll
θ θ= =1 1
θ θ l l
33 i
BB
解: 当A 转角θ=1时，因为AC 刚性转动，C 点向下的位
移Δ=l×θ=l ，所以
Δ SAB3i l 3i
3i CAB 3i 1
MB CSBC
MB S(B)
SS B(B C)MB
可以写成
MBA MBC
BA MB BC MB
——称为分配 弯矩。
一个结点上的各杆端分配系数总和恒等于1。
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8
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§9-2 力矩分配法的基本原理
结构力学
3．传递系数 A
远端弯矩（传递弯矩）
MAB1 2MBACAB MBA
9 kN/m
80 kN
A
B
C
6m
3m 3m
解 （1）计算结点B处各杆端的分配系数
由SBA=4i ， SBC=3i 有分配系数为
BA
SBA 4i 4 S(B) 4i3i 7
BC
SBC S(B)
3i 3 4i3i 7
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24
09:36
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 结构力学
M A C M C A C C A M A F C M B C M C B C C B M B F C
MiC传递弯 固 矩端弯矩
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20
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§9-2 力矩分配法的基本原理
结构力学
力矩分配法思路： 1、先固定结点，由固端弯矩获得结点不 平衡力矩； 2、然后用分配系数求杆端分配弯矩； 3、接着用传递系数求传递弯矩； 4、最后计算杆端最终杆端弯矩。
9 kN/m
80 kN
A
6m
B
C
3m 3m
（2）计算固端弯矩（查表8-1）
M A FB q 12l2 91 62 22k 7N m
MB FA q 122 l91 62 22k 7N m
M B F C 3 1 F 6 l 3 1 8 6 0 6 9k0N m
MBFC 0
（3）进行弯矩分配与传递
结点B的不平衡力矩为 M B uM B F AM B FC 6k3N m
如果外荷载不是结点力偶，情况又如何呢？
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19
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§9-2 力矩分配法的基本原理
结构力学
M R 1 p (M C F A M C F)B M C u
叠加得最终杆端弯矩为
近端 远端 中南大学
M C AM C A M C FA M C BM C B M C FB
MCi分配弯 固 矩端弯矩
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13
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§9-2 力矩分配法的基本原理
结构力学
例9-4 图示梁AB为刚性，B支座为弹性支承，其弹性刚
度 k=EI/l3 ,求SAB ,CAB。
A
B
k=EI/l 3 l
A
θ = 1
SAB
BΔ = θ l A
EI/l
F yB= k
B
FyB
解:当A 端转动θ=1时，因AB杆是刚性转动，所以B 产生
这种直接求杆端弯矩，区段叠加作 M图的方法即为力矩分配法。
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21
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§9-2 力矩分配法的基本原理
结构力学
例. 计算图示刚架, 作弯矩图
q
解: 确定分配系数 S1B 3i B
S1A 4i S1C i
2ql
1A4i43iii 1/2
l
1B4i33iii 3/8
q
1C
i 4i3ii
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§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 结构力学
9 kN/m
80 kN
A
分配系数
固端弯矩
-27
分配与传递 18
最后弯矩
-9
B
4／7 3／7
27 -90
36 27 63 -63
C
0 0 0
将以上结果叠加，即得最后的杆端弯矩。
注意：结点B应满足平衡条件。 M B6 3 6 30
(SBASBC)B
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6
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§9-2 力矩分配法的基本原理
结构力学
转角为:
B
MB SBASBC
MB S(B)
∑ S(B) 为汇交于结点B的各杆件在B端的转动刚度之和。
近端弯矩MBA、MBC为
MB ASBA
M B S(B)
SS B(B A)M B
MB CSBC
M B S(B)
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18
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§9-2 力矩分配法的基本原理
结构力学
M
R1P
C
MF 0
R1PM
Z 1 M /4 ( i1 3 i2 )
M C A M 4 i 1 /4 i ( 1 3 i 2 )
M C B M 3 i 2 /4 i ( 1 3 i 2 )
M A C M C A 2 i1 /4 i1 由此可得到什么 M B C M C B 0 /3 i2 结论呢？
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4
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§9-2 力矩分配法的基本原理
1
M A B =3i
A EI
转动刚度 SAB 3i
l
1
MAB = i
A EI
转动刚度 SAB i l
1
MAB =0
转动刚度 SAB 0
A EI
l
思考： SAB ?
A
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结构力学
B
M B A= 0
B
M B A = -i
B
B
5
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B
2i
B 6 il/l= 6 i
B
8i
SAB θ =M 1 ACB 2i8
B
CAB
8 28
24 i 7
10 i
28i
SAB 2 8 i
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12
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§9-2 力矩分配法的基本原理
结构力学
例9-3 图示梁的AC 杆为刚性杆段，CB 杆段EI=常数。
求SAB ,CAB。
a)
AA
CC
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27
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§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 结构力学
二、具有多个结点转角的多跨连续梁
只需依次对各结点使用上述方法便可求解。
步骤: 1.先将所有刚结点固定，计算各杆固端弯矩；
2.轮流放松各刚结点，每次只放松一个结点， 其他结点仍暂时固定，这样把各刚结点的不平衡 力矩轮流进行分配与传递，直到传递弯矩小到可 略去时为止。
从数学上说，是一种异步迭代法。
单独使用时只能用于无侧移（线位移 ）的结构。
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2
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§9-1 引言
结构力学
力矩分配法的理论基础是位移法，力矩分
配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的 正负号规定，与位移法相同（顺时针旋转为 正号）。
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3
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§9-2 力矩分配法的基本原理
M F 0 -1/4 1/4 1/8 0 0
分配 传递
0 3
32
3 16
9 3 64 64
3 64
M
0 11 32
1 16
1 3
3
64
64 64
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23
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§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 结构力学
一、力矩分配法计算单刚结点的连续梁
例：用力矩分配法计算图示的连续梁的内力。
MB C
B B
M CB 0CCM BBA
C AB
M BA M AB
—— 称为由A 端向B 端的传递系数。
上述计算过程可归纳为：
结点B作用的力偶，按各杆的分配系数分配给各杆 的近端；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。
思考：汇交于同一结点的各杆杆端的分配系数之和 ∑μ(B) 应等于多少？
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用与固定端一样，因此
4EI
1
SBC l ,CBC2
D支座不能阻止D点垂直BD轴的转动，所以
SBD 0,C BD 0
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11
09:36
§9-2 力矩分配法的基本原理
结构力学
例9-2 图示梁的AC为刚性杆段，CB杆段EI=常数，求
SAB及CAB
E I= ∞ C
A
B
l
l
解: 当A端转角θ=1时，截面C
第九章 渐近法
结构力学
§9-1 引言
§9-2 力矩分配法的基本原理
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
§9-4 力矩分配法与位移法联合应用 §9-5* 无剪力分配法
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1
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§9-1 引言
结构力学
力矩分配法是基于位移法的逐步逼 近精确解的近似方法。
力矩分配法可以避免解联立方程组，其 计算精度可按要求来控制。在工程中曾 经广泛应用。
结构力学
一、力矩分配法中几个概念
1. 转动刚度（劲度系数）
转动刚度表示杆端抵抗转动的能力。它在数值上
等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。其值与 杆件的线刚度i=EI/l及远端的支承情况有关。
1
M AB= 4i
A EI
B
M B A = 2i
转动刚度 SAB4i
l
A端一般称为近端，B端一般称为远端。
q12kN/m
M
u B
时针为正。
A
B
C
M Bu---不平衡力矩，
ql2 / 12
顺时针为正
M A F B q2/l1 2 1k 0.m N 0
MB FA10k0N .m MB FCMC FB0
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15
09:36
§9-2 力矩分配法的基本原理
结构力学
M
F BA
M
u B
B
M
F BC
MB uMB FAMB FC 10k0N .m
有竖向位移 Δ=l·θ=l及转角θ=1 。
CB段的杆端a ) 弯矩为
MCB10i E I =M ∞ BCC8i
梁AB弯矩图A 是直线变 化的B，按
直线比例可得c )
θ
l
l 2i
当E I = θ∞ l
A
C ΔC
l
θ
6i
C θ =1
4i
当 θ l C
SAB
6i
6 il/l= 6 i 当
B
l
向下的竖向位移Δ=l×θ=l ，弹簧反力FyB=kΔ=EI/l2 。则
EI SABFyBl l i
CAB
0 i
0
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14
09:36
§9-2 力矩分配法的基本原理
结构力学
4．不平衡力矩
q12kN/m B
C
固定状态:
A EI
B EI
固端弯矩---荷载引起
10m
10m
的单跨梁两端的杆 端弯矩，绕杆端顺
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26
09:36
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 结构力学
根据各杆杆端的最后弯矩即可利用叠加法作出连续梁
的弯矩图。
9 kN/m
80 kN
MAB9kN m MBA63 kN m
A
6m
B
C
3m 3m
MBC6k 3N m
40.5 9
63
120
M图 (kN m) 88.5
思考：用力矩分配法计算的只有一个刚结点结构 的结果是精确解吗？
§9-2 力矩分配法的基本原理
结构力学
2．分配系数
MB
A
C
B B
MB
M BA
B
M BC
图示连续梁，力偶MB使结点B产生转角θ B 。
杆端弯矩为
M B A SBAB4iB (a)
M B CSBCB3i B
取结点B为隔离体
利用结点B的力矩平衡条件∑MB=0，得 M BM B aM BC 0
MB (MBAMBC)
3. 最后累加固端、分配和传递得结果。
1/8
2ql
ql 2 / 4
确定固端弯矩
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1
C
l
EIC
A
l
ql 2 / 8 ql 2 / 4
q
22
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§9-2 力矩分配法的基本原理
结构力学
1
q 64
B
1
3
C 64
1
16
l
2ql
EIC
11
A
32
l
l
M图（ql2）
结点 B A
1
C
杆端 B1 A1 1A 1B 1C C1
1/2 3/8 1/8
9
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§9-2 力矩分配法的基本原理
结构力学
远端固定时:
1
2i
4i A i B C=1/2
1
远端铰支时: 3i A i B
C=0
远端定向时:
中南大学
1
iA i
C=-1
B
与远端支承 情况有关
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10
09:36
§9-2 力矩分配法的基本原理
结构力学
例9-1 结构的A端、B端，C端的支撑及各杆刚度如图
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17
09:36
§9-2 力矩分配法的基本原理 二、力矩分配法基本思想
结构力学
M
以图示具体例子加以说明
A EI 1
C EI 2 B 按位移法求解时
l1
l2
M
r11Z1R1p 0 r11 4i13i2
i1E1I/l1 i2E2I/l2 B
A
C
l1
l2
r11
4 i1
3 i2
C
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h
SS B(B C )M B
可见：各杆B 端的弯矩与各杆B 端的转动刚度成正比。
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7
09:36
§9-2 力矩分配法的基本原理
结构力学
令
BA
SB A S(B)
,
BC
SBC S(B)
μBA、μBC 分别称为各杆近端弯矩的分配系数。
近端弯矩
MB ASBA
MB S(B)
SS B(B A)MB
放松状态: 需借助分配系数,
传递系数等概念求解
B
M
u B
C
A
B
中南大学
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16
09:36
§9-2 力矩分配法的基本原理
结构力学
20kN/m
A EI
6m
40kN.m
C B EI
4m
例.求不平衡 力矩
20kN/m
40kN.m
60 A
60 B
C
40kN.m
M
u B
60
M B u6 0 4 0 1k 0.N 0 m
所示，求SBA、SBC、SBD及CBA、CBC、CBD。
(a)
(a)
B
(b)
CB
C
(b) B
EI
B
EI
A E I A E EI I
Байду номын сангаас
EI
A
EI
A θB
EI C
θB C
l
EI l
EI
EI
EI
D
D
D
D
l
ll
l
解:当结点B转动时，A支座只阻止A端发生线位移，相
当于固定铰，故
SBA3El I,CBA0
C支座既阻止C 端的线位移，也可以阻止C 端转动，其作