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抛物线的焦点与准线(高中知识有关)九上P54、活动2 (新书)一、高中知识：文科选修(1-1) P53-55；理科选修(1-1) P56-59抛物线的儿个定义：把平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线•点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线.八亠XII7 ；“亠—彳b Acic — b~+l、亠八、“4QC —b?— 1公式：抛物线y = ax^ +bx+c的焦点为（一——’-------- ）,淮线为y = -------------------2a 4a 4a二、试题：1、(2010黄冈市，25, 15分)已知抛物线y = ax2 +bx + c(a^0)顶点为C (1, 1)且过原点O.过抛物线上一点P (x, y)向直线y =-作4 垂线，垂足为M,连FM (如图). (1)求字母a, b, c的值；3(2)在直线x=l上有一点F(l,—),求以PM为底边的4等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时为正三角形；(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N (1, /),使PM=PN恒成立，若存在请求出(值，若不存在请说明理由.2、2012年山东潍坊市24.(本题满分11分)如图，己知抛物线与坐标轴分别交于4(一2, 0)、BQ, 0)、C(0, 一1)三点，过坐标原点0的直线尸&与抛物线交于M、N两点.分别过点C,D(0, —2)作平5 4行于x轴的直线/】、/2.(1)求抛物线对应二次函数的解析式；(2)求证以ON为直径的圆与直线厶相切；(3)求线段MN的长(用R表示)，并证明M、N两点到直线12的距离之和等于线段的长.3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷y = A x24、如图所示，过点F （0, 1）的直线y=kx+b与抛物线给交于M （xi，yi）和N（X2，V2）两点（其中Xl<0, X2>0）・（1）求b的值.(2)求X1・X2的值.（3）分别过M, N作直线1： y=- 1的垂线，垂足分别是Mi和Ni.判断△ MiFNi的形状，并证明你的结论.4、2010年南通市中考试题（五中月考）28.（本小题满分14分）（2010年南通市）己知抛物线y = aW + bx + c经过4 （ -4, 3）、B （2,0）两点，当尸3和尸一3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等.经过点C （0, -2）的直线/与x轴平行，O 为坐标原点.（1）求直线43和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，40为半径的圆记为04,判断直线/与的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为一1, P（加，/?）是抛物线y = ax2 + bx+c上的动点，当厶PDO的周长亲小时，求四边形CODP的面积.432111111 1 1 1 .-4-3 -2 -1O-11 2 3 4 x-2--3--4-（4）对于过点F的任意直线MN,是否存在一条定直线m,使m与以MN为直径的圆相切.如果有,（第28题）5、（2011-2012福州市九上期末考试题）22. （14分）己知抛物线y = d/+b兀+ c（d工0）经过点4 （-2, 0）、B（0, 1）两点，且对称轴是y轴，经过点C （0, 2）的直线/与x轴平行，O为坐标原点，P、0为抛物线），=ax2 +bx+c （QH O）上的两动点。
第十一课 抛物线的画法和性质一．抛物线的定义1．在平面内，与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。
2．抛物线的标准方程：从定点F 向定直线l 作垂线，垂足为K ，取KF 的中点O 作为原点，KF 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设|KF |＝p ，则F 点的坐标是 (2p, 0),准线l 的方程是x ＝－2p，设抛物线上任意一点的坐标是M (x , y )，自M 点向准线作垂线，垂足是D ，则|MF |＝|MD |∴ 22y )2p x (+-＝|x ＋2p| 图11－1整理得到抛物线的标准方程为 y 2＝2px . (p >0)二．抛物线的画法 画法1：图11－21．先画出定点F 和定直线l ，按要求画出直角坐标系；2．在图形外画一条射线BC ，在射线BC 上取一点M (M 点为动点)； 3．在BC 反方向上取一点A ，使|AB |＝|OF |，作线段AM ；A B4．以F为圆心，|AM|为半径作圆；5．先后选定A、M点，用“变换”菜单中的“标记向量”功能，标记向量AM，选中直线l，用“变换”菜单中的“平移”功能，将直线l平移；6．平移后的直线与圆相交，定义交点为P、Q；将它们定义为“追踪点”；先后选定P、M两点，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，得到抛物线的一部分，同样先后选定Q、M两点，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，得到抛物线的另一部分；在射线BC上拖动M点，则P、Q两点的轨迹画出抛物线。
理论根据：P点在以F为圆心，|AM|为半径的圆上，∴|PF|＝|AM|，又将准线l平移了AM的长度，∴P点到准线的距离等于|AM|。
画法2图11－31．先画出定点F和定直线l，按要求画出直角坐标系；2．在直线l上取一点M(M点为动点)；3．连接MF，作线段MF的中垂线；4．过M点作直线l的垂线与MF的中垂线相交于P点，将它定义为追踪点；5．先后选定P、M两点，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，得到抛物线；6．在直线l上拖动M点，则P点的轨迹是抛物线理论根据：PM⊥准线l，PM是P点到准线的距离，又|PF|是P点到焦点F的距离，P点在MF的中垂线上，所以|PM|＝|PF|。
抛物线的焦点坐标
抛物线焦点坐标
在抛物线y=2px中，焦点坐标是（p/2，0）。
在抛物线y=-2px中，焦点坐标是（-p/2，0）。
在抛物线x=2py中，焦点坐标是（0，p/2）。
在抛物线x=-2py中，焦点坐标是（0，-p/2）。
抛物线焦点坐标的方程
抛物线的标准方程为y=2px，它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为（p/2，0），准线方程为x=-p/2。
离心率e=1，范围：x≥0。
抛物线的方程为y=-2px，它表示抛物线的焦点在x的负半轴上，焦点坐标为（-p/2，0），准线方程为x=p/2。
离心率e=1，范围：x≤0。
抛物线的方程为x=2py，它表示抛物线的焦点在y的正半轴上，焦点坐标为（0，p/2），准线方程为y=-p/2。
离心率e=1，范围：y≥0。
抛物线的方程为x=-2py，它表示抛物线的焦点在y的负半轴上，焦点坐标为（0，-p/2），准线方程为y=p/2。
离心率e=1，范围：y≤0。
抛物线焦点坐标方程简介
抛物线方程就是指抛物线的轨迹方程，是一种用方程来表示抛物线的方法，在几何平面上可以根据抛物线的方程画出抛物线。
抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数
图像。
抛物线焦点坐标方程定义
平面内与一个定点抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线，定点F不在定直线上。
它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e=1时为抛物线，当0＜e＜1时为椭圆，当e＞1时为双曲线。
焦点准线公式
二次函数焦点，准线的一般公式：
抛物线y=a(x-h)^2+k,
变为(x-h)^2=(1/a)(y-k),
其顶点(h.k),
焦点(h,k+1/(4a)),
准线y-k=-1/(4a).
一次函数的函数表达式：y=kx+b(k≠0）
一次函数中k,b对函数图象的影响：
k＞0时，y随x增大而增大，k＜0，t随x的增大而减小。
|k|越大，角度越大（图象越陡峭），反之角度越小（图象越平缓）。
常数项b对图象的影响
b＞0时，图像交y轴于正半轴；b＜0时，图像交y轴于负半轴；b=0时，图像交于原点。
二次函数的函数表达式：
一般式：y=ax2+bx+c(a≠0）
顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0），顶点为:（h,k）
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0）,x1,x2为函数与x轴的两个交点
二次函数中a,b,c对函数图象的影响：
二次项系数a决定函数图象的开口方向与开口大小。
a＞0开口向上；a越大开口越小。
二次项系数a对函数图象的影响
a＜0，开口向下，a越大开口越大。
高二数学抛物线知识点总结归纳抛物线是数学中一个重要的曲线，它在物理学、工程学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
在高二数学学习中，我们学习了关于抛物线的基本知识和性质，下面对这些知识进行总结和归纳。
1. 抛物线的定义和特点抛物线是一个平面曲线，其定义可以通过以下公式表示：y =ax^2 + bx + c（其中a≠0）。
抛物线关于y轴对称，并且其开口方向由a的正负决定。
如果a>0，抛物线开口向上；如果a<0，抛物线开口向下。
抛物线上的所有点到其焦点的距离都相等，这个距离称为焦距。
2. 抛物线的顶点抛物线的顶点是其最高点或最低点，它的横坐标为 -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
顶点是抛物线的对称中心，即抛物线关于顶点对称。
3. 抛物线的焦点和准线抛物线的焦点是指平面内与抛物线上的任意一点的距离相等的动点P。
焦点的坐标可以通过计算得到，当抛物线开口向上时，焦点的坐标为（-b/2a，c - (b^2-1)/4a），当抛物线开口向下时，焦点的坐标为（-b/2a，c + (b^2-1)/4a）。
抛物线上的准线是与抛物线关于焦点对称的直线，它的方程为y = c - (b^2-1)/4a。
4. 抛物线的判别式对于一般形式的抛物线y = ax^2 + bx + c，判别式D = b^2-4ac 可以用来判断抛物线的性质。
如果D>0，抛物线与x轴有两个交点，开口方向向上或向下；如果D=0，抛物线与x轴只有一个交点，开口方向向上或向下；如果D<0，抛物线与x轴没有交点，开口方向向上或向下。
5. 抛物线的对称性抛物线具有以下对称性质：- 抛物线关于y轴对称，即对于抛物线上的任意一点P(x, y)，都有P'(-x, y)在抛物线上。
- 抛物线关于x轴对称，即对于抛物线上的任意一点P(x, y)，都有P'(x, -y)在抛物线上。
6. 抛物线的平移和缩放对于一般形式的抛物线y = ax^2 + bx + c，当把x替换为x-h（h 为任意实数）时，抛物线向右平移h个单位；当把y替换为y-k （k为任意实数）时，抛物线向上平移k个单位。
抛物线的标准方程准线抛物线是一种常见的二次曲线，它在数学和物理学中有着重要的应用。
在几何学中，抛物线通常被描述为一条对称轴为直线的曲线，其标准方程为 y = ax^2 + bx + c。
在本文中，我们将讨论抛物线的标准方程及其准线的相关知识。
首先，让我们来了解一下抛物线的标准方程 y = ax^2 + bx + c 中的各个参数代表的含义。
其中，a 代表抛物线的开口方向和形状，当a > 0 时，抛物线开口向上，当 a < 0 时，抛物线开口向下；b 代表抛物线在 x 轴方向上的平移，正值表示向左移动，负值表示向右移动；c 代表抛物线在 y 轴方向上的平移，正值表示向上移动，负值表示向下移动。
接下来，我们来讨论抛物线的准线。
准线是指抛物线的对称轴，也是抛物线的中线，它将抛物线分成两个对称的部分。
准线的方程为 x = -b/2a，其中 -b/2a 表示抛物线顶点的 x 坐标。
准线与抛物线的交点即为抛物线的顶点，它是抛物线的最高点（当 a < 0 时）或最低点（当 a > 0 时）。
在图形上，准线是抛物线的对称轴，它将抛物线分成两个对称的部分。
准线上的任意一点到抛物线上的任意一点的距离相等，这也是准线名称的由来。
准线的性质使得我们可以通过准线来确定抛物线的对称性和特征点的位置。
除了准线，抛物线还有许多重要的性质和特点。
例如，抛物线的焦点是一个重要的概念，它是指到抛物线上任意一点的距离与到抛物线的准线的距离相等的点。
焦点在抛物线的准线上，且离准线的距离等于抛物线的焦距。
抛物线还有直径、焦距、离心率等重要概念，它们在物理学、工程学和天文学等领域有着广泛的应用。
总之，抛物线是一种重要的曲线，在数学和物理学中有着广泛的应用。
通过了解抛物线的标准方程和准线的相关知识，我们可以更好地理解抛物线的性质和特点，为解决实际问题提供有力的数学工具。
希望本文能帮助读者加深对抛物线的理解，激发对数学和科学的兴趣。
二次函数焦点准线公式一、焦点的概念与计算焦点是指平面上的一个点，它和平面上的一条直线之间有着特定的几何关系。
对于二次函数来说，它的图像是一个抛物线，焦点就是抛物线的一个重要特征点。
具体地说，对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c（其中a≠0），它的焦点坐标可以通过以下公式计算得到：焦点坐标（x0，y0）的x坐标等于抛物线的顶点的x坐标：x0=-b/2a焦点坐标（x0，y0）的y坐标等于抛物线的顶点坐标的y坐标加上a 的倒数：y0=c-(b^2-1)/(4a)需要注意的是，计算焦点坐标时要求a≠0，因为当a=0时，抛物线变成了直线，不存在焦点的概念。
二、准线的概念与计算准线是指与抛物线平行且离开抛物线a的距离相等的一条直线。
准线是抛物线的对称轴，它将抛物线分为两个对称的部分。
对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c（其中a≠0），准线的方程可以通过以下公式计算得到：准线方程的x坐标等于抛物线的顶点的x坐标：x=-b/2a至于准线的y坐标，则可以通过直接代入准线的x坐标进入二次函数得到：y = ax^2 + bx + c可以看出，准线的y坐标就是抛物线的顶点的y坐标。
三、焦点与准线的几何关系焦点和准线是抛物线的重要特征点，有着特定的几何关系。
对于二次函数y=ax^2+bx+c（其中a≠0），焦点和准线满足以下关系：焦点到准线的距离等于焦距的两倍：PF=PD=，1/(4a)其中PF表示焦点到焦点直线的距离，PD表示焦点到准线的距离，焦距的倒数，1/(4a)，表示焦点到准线的距离。
这个关系是抛物线的一个重要性质，可以通过几何、代数和物理的方法进行证明。
四、焦点和准线的直观理解为了更好地理解焦点和准线的概念和计算方法，我们可以通过一个具体的例子来进行说明。
假设有一个二次函数y=x^2-4x+3，我们要计算它的焦点和准线。
首先，根据一般公式，可以计算出顶点的坐标为(2,-1)。
焦点的x坐标等于顶点的x坐标，所以x0=2焦点的y坐标等于顶点的y坐标加上a的倒数，即y0=-1+(1/(4*1))=-1+1/4=-3/4所以焦点的坐标为(2,-3/4)。
抛物线九年级知识点抛物线是数学中非常重要的一个概念，也是九年级数学课程中的一个重点知识点。
它不仅有广泛的应用，而且在数学的学习中也具有很高的研究价值。
在接下来的文章中，我将对抛物线的定义、性质以及应用进行一些介绍和探讨。
抛物线最常见的定义是通过一个定点（焦点 F），和一个定直线（准线 L）的所有点的轨迹。
所以一个抛物线可以被定义为离焦点和准线的距离相等的点的集合。
另一种常见的定义是将抛物线看作是一个平面上所有离定点和定直线的距离相等的点的集合。
这两种定义是等价的，可以互相转化。
抛物线具有许多有趣的性质。
其中最基本的性质是，抛物线在焦点 F 处与准线 L 垂直相交。
而且，抛物线的对称轴与焦点和准线垂直相交，并且对称轴将抛物线分成两个完全对称的部分。
抛物线还有一个关键的性质，就是它是向右或向左开口的，这取决于焦点和准线的位置关系。
如果焦点在准线的右侧，抛物线向右开口；如果焦点在准线的左侧，抛物线向左开口。
抛物线除了这些基本的性质外，还有一些重要的性质。
例如，抛物线的顶点是抛物线上离焦点和准线最近的点，也是抛物线上的最高点或最低点。
而且，抛物线的离心率是一个常数，用来度量抛物线的扁平程度。
当离心率等于1时，抛物线是一个特殊的抛物线，称为单位抛物线。
单位抛物线的焦点与准线相交于原点。
抛物线在现实生活中有许多应用。
例如，在物理学中，抛物线可以描述自由落体运动或者其他带有初速度的运动。
在工程学中，抛物线常用于设计桥梁、建筑物和其他物体的弧形部分。
在摄影学中，抛物线可以用来描述光线在透镜中的传播路径。
在天文学中，抛物线可以用来描述彗星的轨道。
这些实际应用给我们的生活带来了便利，也增加了人类对抛物线的研究兴趣。
最后，我想强调一下，学习抛物线的知识并不仅仅是为了应对考试或者满足课程要求，更重要的是要理解和掌握其实际应用和数学原理。
只有真正理解了抛物线的定义、性质和应用，才能在实践中巧妙运用。
数学是一门极富创造力和探索性的学科，通过学习抛物线，我们可以锻炼自己的思维能力和解决问题的实力。
抛物线焦点弦8个结论抛物线是一种常见的二次曲线，在数学和物理学中有广泛的应用。
抛物线的焦点是其特殊的性质之一，下面将介绍抛物线焦点的八个结论。
一、焦点到顶点的距离等于焦半径的长度。
抛物线的焦半径是从焦点到抛物线的准线的垂直距离，而抛物线的顶点是其最高点。
这个结论表明，焦点到顶点的距离等于焦半径的长度。
二、焦半径与准线垂直。
焦半径是从焦点到抛物线上的任意一点的线段，而准线是抛物线的对称轴。
这个结论说明，焦半径与准线垂直。
三、焦点到直线的距离等于焦半径的长度。
抛物线上的任意一点与其焦点之间的距离等于该点到抛物线的准线的垂直距离。
这个结论说明，焦点到直线的距离等于焦半径的长度。
四、焦点到抛物线的切线的距离等于焦半径的长度。
抛物线上的任意一点与其焦点之间的距离等于该点到抛物线的切线的垂直距离。
这个结论表明，焦点到抛物线的切线的距离等于焦半径的长度。
五、焦点是抛物线上的所有切线的焦点。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而焦点是抛物线上的所有切线的焦点。
这个结论说明，抛物线上的所有切线都会经过焦点。
六、抛物线上的所有切线与准线的交点都在焦点上。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而抛物线上的所有切线与准线的交点都在焦点上。
这个结论表明，抛物线上的所有切线都会与准线在焦点上相交。
七、焦点是抛物线上的所有法线的焦点。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而焦点是抛物线上的所有法线的焦点。
这个结论说明，抛物线上的所有法线都会经过焦点。
八、抛物线上的所有法线与准线的交点都在焦点上。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而抛物线上的所有法线与准线的交点都在焦点上。
这个结论表明，抛物线上的所有法线都会与准线在焦点上相交。
通过以上八个结论，我们可以更好地理解抛物线的性质和特点。
抛物线焦点的研究不仅对于数学学科有重要意义，也在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
对于工程设计、物理实验等方面的问题，我们可以利用抛物线焦点的性质来解决。
抛物线的焦点与准线（高中知识有关）九上P54、活动2（新书）一、 高中知识：文科选修（1-1）P53-55；理科选修（1-1）P56-59抛物线的几个定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线L 叫做抛物线的准线.公式：抛物线c bx ax y ++=2的焦点为)414,2(2a b ac a b +--，准线为ab ac y 4142--= 二、 试题：1、（2010黄冈市，25，15分）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O ．过抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）．（1）求字母a ，b ，c 的值； （2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t 值，若不存在请说明理由．2、2012年山东潍坊市24．(本题满分11分)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A (－2，0)、B (2，0)、C (0，－1)三点，过坐标原点0的直线y =kx 与抛物线交于M 、N 两点．分别过点C ,D (0，－2)作平行于x 轴的直线21l l 、．(1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以ON 为直径的圆与直线1l 相切；(3)求线段MN 的长(用k 表示)，并证明M 、N 两点到直线2l 的距离之和等于线段MN 的长．3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷24、如图所示，过点F （0，1）的直线y=kx+b 与抛物线交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＞0）．（1）求b 的值． （2）求x 1?x 2的值．（3）分别过M ，N 作直线l ：y=﹣1的垂线，垂足分别是 M 1和N 1．判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论． （4）对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线 m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．第22题图4、2010年南通市中考试题（五中月考）28．（本小题满分14分）(2010年南通市)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （－4，3）、B （2，0）两点，当x =3和x =－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C （0，－2）的直线l 与 x 轴平行，O 为坐标原点．（1）求直线AB 和这条抛物线的解析式；（2）以A 为圆心，AO 为半径的圆记为⊙A ，判断直线l与⊙A 的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB 上的点D 的横坐标为－1，P （m ，n ）是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的动点，当△PDO 的周长最小时，求四边形CODP 的面积． 5、（2011-2012福州市九上期末考试题）22．（14分）已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 经过点A（－2，0）、B （0，1）两点，且对称轴是y 轴，经过点C （0，2）的直线l 与x 轴平行，O 为坐标原点，P 、Q为抛物线c bx ax y ++=2（0≠a）上的两动点。
（1）求抛物线的解析式;（2）以点P 为圆心，PO 为半径的圆记为⊙P ，判断直线l 与⊙P 的位置关系，并证明你的结论; （3）设线段9=PQ ，G 是PQ 的中点，求点G 到直线l 距离的最小值。
6、（2012四川资阳9分）抛物线21y=x +x+m 4的顶点在直线y=x+3上，过点F （－2，2）的直线交该抛物线于点M 、N两点（点M 在点N 的左边），MA ⊥x 轴于点A ，NB ⊥x 轴于点B ．（1）(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m 的代数式表示），再求m 的值；（2）(3分)设点N 的横坐标为a ，试用含a 的代数式表示点N 的纵坐标，并说明NF ＝NB ；（3）(3分)若射线NM 交x 轴于点P ，且PA ×PB ＝1009，求点M 的坐标． 抛物线的焦点与准线（高中知识有关）答案1、（2010黄冈市，25，15分）【分析】．（1）抛物线的顶点为C （1，1），可设解析式为y ＝a （x －1）2+1，又因抛物线过原点，可得a ＝－1，所以y ＝－（x －1）2+1，化简得y＝－x 2＋2x ，即可求字母a ，b ，c 的值；（2）由FM ＝FP ，PM 与直线5y =垂直，可得5334y -=-，∴14y =，代入y ＝－x 2＋2x ，解得1x =±P坐标为（1+14）或（1，14），所以分两种情况，通过计算可得△PFM 为正三角形；（3）由PM ＝PN 可得54y -（第28题）整理得，23920216t yt y -+-=，解得134t =，2324t y =-（舍去），故存在点N （1，34），使PM ＝PN 恒成立．【答案】．（1）a ＝－1，b ＝2，c ＝0（2）∵FM ＝FP ，PM 与直线54y =垂直，∴533444y -=-，∴14y =，把14y =代入y ＝－x 2＋2x ，解得1x =±∴点P 坐标为（114）或（1，14），当点P 坐标为（1+14）时，MP ＝MF ＝PF ＝1，∴△PFM为正三角形，当点P 坐标为（1-14）时，MP ＝MF ＝PF ＝1，∴△PFM 为正三角形，∴当点P 坐标为（1，14）或（1，14）时，△PFM 为正三角形；（3）存在，∵PM ＝PN ，∴ 54y -，两边同时平方得，2255162y y -+＝()()221x y t -+-∵y ＝－x 2＋2x ，∴23920216t yt y -+-=，解得134t =，2324t y =-（舍去），故存在点N （1，34），使PM ＝PN 恒成立．【涉及知识点】二次函数，等腰三角形，等边三角形 【点评】本题是一道综合性较强的题目，第（1）问较简单，考查大多数学生的能力水平，第（2）问、（3）问较难，解决的关键是利用等腰三角形的性质列出方程，从而求出点的坐标，在第（3）问中要注意解关于t 的字母系数方程，本题有一定的区分度．【推荐指数】★★★★★2、2012年山东潍坊市24．(本题满分ll 分)解：(1)设抛物线对应二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，由⎩⎨⎧+-==-++=c b a cc b a 2401240 解得⎩⎨⎧=-==4110a c b 所以1412-=x y ．……3分 (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，因为点M 、N 在抛物线上，所以,141,141222211-=-=x y x y ，所以x 22=4(y 2+1)； 又ON 2=x 22+y 22=4(y 2+1)+y 22=(y 2+2)2，所以ON =22y +，又因为y 2≥－l ，所以0N =2+y 2．……5分设ON 的中点E ，分别过点N 、E 向直线1l 作垂线，垂足为P 、F ，则 2222y NP OC EF +=+=， 所以ON =2EF ， 即ON 的中点到直线1l ，的距离等于0N 长度的一半，所以以ON 为直径的圆与1l 相切．………………………………………7分(3)过点M 作MH ⊥NP 交NP 于点H ，则MN 2=MH 2+NH 2=(x 2－x 1)2+(y 2－y 1)， 又y 1=kx 1,y 2=kx 2，所以（y 2－y 1)2=k 2(x 2－x 1)2 所以MN 2=(1+k 2)(x 2一x l )2；又因为点M 、N 既在y =kx 的图象上又在抛物线上，所以1412-=x kx ，即x 2－4kx －4=0， 所以22122216164k k k k x +±=+±=，所以(x 2－x 1)2=16(1+k 2)，所以MN 2=16(1+k 2)2，∴MN =4(1+k 2)…9分延长NP 交2l 于点Q ，过点M 作MS ⊥2l 交2l 于点S ， 则MS +NQ =y 1+2+y 2+2=2)(41414114122212221++=+-+-x x x x 又x 12+x 22=2[4k 2+4(1+k 2)]=16k 2+8，所以MS +NQ =4k 2+2+2=4(1+k 2)=MN即M 、N 两点到2l 距离之和等于线段MN 的长．……………………ll 分说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考本标准给出相应分数. 3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷 考点：二次函数综合题。
专题：代数几何综合题。
分析：（1）把点F 的坐标代入直线可以确定b 的值． （2）联立直线与抛物线，代入（1）中求出的b 值，利用根与系数的关系可以求出x 1?x 2的值．（3）确定M 1，N 1的坐标，利用两点间的距离公式，分别求出M 1F 2，N 1F 2，M 1N 12，然后用勾股定理判断三角形的形状．（4）根据题意可知y=﹣1总与该圆相切．． 解答：解：（1）∵直线y=kx+b 过点F （0，1），b=1⑵显然11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是方程组2114y k xy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩的两组解，解方程组消元得21104x kx --=，依据“根与系数关系”得4x x 21-=. ⑶△M 1FN 1是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知M 1的横坐标为x 1，N 1的横坐标为x 2，设M 1N 1交y 轴于F 1，则F 1M 1?F 1N 1=－x 1?x 2=4，而FF1=2，所以F 1M 1?F 1N 1=F 1F 2，另有∠M 1F 1F=∠FF 1N 1=90°，易证Rt △M 1FF 1∽Rt △N 1FF 1，得∠M 1FF 1=∠FN 1F 1，故∠M 1FN 1=∠M 1FF 1＋∠F 1FN 1=∠FN 1F 1＋∠F 1FN 1=90°，所以△M 1FN 1是直角三角形. ⑷存在，该直线为y=－1.理由如下： 直线y=－1即为直线M 1N 1.如图，设N 点横坐标为m ，则N 点纵坐标为214m ,计算知NN 1=211m +， =2114m +，得NN 1=NF同理MM 1=MF.那么MN=MM 1＋NN 1，作梯形MM 1N 1N 的中位线PQ ，由中位线性质知PQ=12（MM 1＋NN 1）=12MN ，即圆心到直线y=－1的距离等于圆的半径，所以y=－1总与该圆相切.点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）由点F 的坐标求出b 的值．（2）结合直线与抛物线的解析式，利用根与系数的关系求出代数式的值． （3）用两点间的距离公式，判断三角形的形状. （4）根据点与圆的位置判断直线与圆的位置． 4、2010年南通市中考试题（五中月考）22．（本小题满分14分）（1）因为当x =3和x =－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，故b=0. 设直线AB 的解析式为y=kx+b ，把A （－4，3）、B （2，0）代入到y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧=+=+.04,316c a c a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.1,41c a ∴这条抛物线的解析式为y ＝41x 2-1. 设直线AB 的解析式为y=kx+b ，把A （－4，3）、B （2，0）代入到y=kx+b ，得⎩⎨⎧=+=+-.02,34b k b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1,21b k ∴这条直线的解析式为y ＝-21x+1. （2）依题意，OA =.54322=+即⊙A 的半径为5.?第22题解答用图而圆心到直线l 的距离为3+2=5. 即圆心到直线l 的距离=⊙A 的半径， ∴直线l 与⊙A 相切.（3）由题意，把x =-1代入y =-21x +1，得y =32，即D （-1，32）.由（2）中点A 到原点距离跟到直线y =-2的距离相等，且当点A 成为抛物线上一个动点时，仍然具有这样的性质，于是过点D 作DH ⊥直线l 于H ，交抛物线于点P ，此时易得DH 是D 点到l 最短距离，点P 坐标（-1，-34）此时四边形PDOC 为梯形，面积为178. 略解过程如下：（以下过程是：证明当点D 、P 、H 三点共线时，△PDO 的周长最小） 如图1，过点P 作P H ⊥l ，垂足为H ，延长HP 交x 轴于点G ， 设P （m,n ）则1412-=m y P ， ∴22222222)141()141(+=-+=+=m m m GP OG OP，∴1412+=m OP∵141)2(14122+=---=-=m m y y PH H P ∴OP=PH要使△PDO 的周长最小，因为OD 是定值，所以只要OP+PD 最小， ∵OP=PH ∴只要PH+PD 最小根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
