20XX 年“TRULY ®信利杯”全国初中数学竞赛试题
参考答案和评分标准
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）
1. 已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，2)1(3)1(3+-=+b b .则
b
a a a
b b
+的值为（ ）. （A ）23 （B ）23- （C ）2- （D ）13- 答：选（B ）
∵ a 、b 是关于x 的方程
()03)1(312=-+++x x
的两个根，整理此方程，得
0152=++x x ，
∵ 0425>-=∆， ∴ 5-=+b a ，1=ab . 故a 、b 均为负数. 因此
()2322
22-=-+-=+-=--=+ab
ab b a ab ab
b a ab b a ab a b b a a a b b .
2. 若直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有 （ ）.
（A ）2h ab = （B ）h b a 111=+ （C ）2221
11h
b a =+ （D ）
2222h b a =+ 答：选（C ）
∵ 0>>h a ，0>>h b ，
∴ 2h ab >，222222h h h b a =+>+；
因此，结论（A ）、（D ）显然不正确.
设斜边为c ，则有c b a >+，ab ch h b a 2
1
21)(21=>+，即有
h b a 111>+， 因此，结论（B ）也不正确.
由
ab h b a 212122=+化简整理后，得222111h b a =+， 因此结论（C ）是正确的. 3．一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点为（4，11-），且与x 轴的两个交点的横坐
标为一正一负，则a 、b 、c 中为正数的（ ）. （A ）只有a （B ）只有b （C ）只有c （D ）只有a 和b 答：选（A ）
由顶点为（4，11-），抛物线交x 轴于两点，知a >0. 设抛物线与x 轴的两个交点的横坐标为1x ，2x ，即为方程
02=++c bx ax
的两个根.
由题设021c
，所以0-a b
，知b <0.
故知结论（A ）是正确的.
4．如图所示，在△ABC 中，DE ∥AB ∥FG ，且FG 到DE 、AB 的距离之比为1:2. 若△ABC 的面积为32，△CDE 的面积为
2，则△CFG
的面积
S
等于
（ ）.
（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 答：选（B ）
由DE ∥AB ∥FG 知，△CDE ∽△CAB ，△CDE ∽△CFG ，所以
4
1
322===∆∆CAB CDE S S CA
CD
， 又由题设知
2
1
=FA FD ，所以 31
=AD FD ， AC AC AD FD 4
1
433131=⨯==，
故DC FD =，于是
4
1
212
=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆CFG CDE S S ，8=∆CFG S . 因此，结论（B ）是正确的.
（第4题图）
5．如果x 和y 是非零实数，使得
3=+y x 和03=+x y x ，
那么x +y 等于（ ）.
（A ）3 （B ）13 （C ）2
13
1- （D ）134- 答：选（D ）
将x y -=3代入03=+x y x ，得0323=+-x x x .
（1）当x >0时，0323=+-x x x ，方程032=+-x x 无实根； （2）当x <0时，0323=--x x x ，得方程032=--x x 解得2131±=
x ，正根舍去，从而2
13
1-=x . 于是2
13
7213133-=-+=-=x y . 故134-=+y x .
因此，结论（D ）是在正确的.
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6． 如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，AD =AE ，
︒=∠60BAD ，则=∠EDC （度）. 答：30°
解：设α2=∠CAD ，由AB =AC 知
αα-︒=-︒-︒=∠60)260180(2
1
B ，
α+︒=︒-∠-︒=∠6060180B ADB ， 由AD =AE 知，α-︒=∠90ADE ， 所以︒=∠-∠-︒=∠30180ADB ADE EDC .
7．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T 与这两个城市的人口
数m 、n （单位：万人）以及两城市间的距离d （单位：km ）有2d kmn
T =的关系
(k 为常数) . 现测得A 、B 、C 三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A 、B 两个城市间每天的电话通话次数为t ，那么B 、C 两个城市间每天的电话通话次数为 次（用t 表示）.
答：2
t
（第6题图）
