勾股定理及其逆定理全章复习(含答案)

勾股定理及其逆定理全章的复习

一、本周的重点是：勾股定理及其逆定理的应用

本周的难点是：勾股定理及其逆定理的应用

1. 勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2=c 2）

2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三

角形是直角三角形。

3. 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

4. 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理

5. 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

6. 如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形

7. （1）首先确定最大边（如：C ，但不要认为最大边一定是C ）

8. （2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2=a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的

三角形。（若c 2>a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为钝角的三角形，若c 2

二、例题分析

例1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 解：设此直角三角形两直角边分别是3x ，4x ，根据题意得： （3x ）2+（4x ）2=202 &

化简得x 2=16；

∴直角三角形的面积=

2

1×3x ×4x =6x 2=96 注：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。 例2、等边三角形的边长为2，求它的面积。 解：如图，等边△ABC ，作AD ⊥BC 于D 则：BD=

2

1BC （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）

∵AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等） ∴BD=1

在直角三角形ABD 中AB 2=AD 2+BD 2，即：AD 2=AB 2－BD 2=4－1=3 ∴AD=3 ? S △ABC =

2

1BC·

AD=3

A

B

C

D

注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a ，则其面积为

4

3a 例3、直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积。

解：设此直角三角形两直角边分别是x ，y ，根据题意得：

⎩⎨⎧=+=++)

2(5

)1(125222y x y x

由（1）得：x +y =7，

（x +y ）2=49，x 2+2xy +y 2=49 (3) (3)－(2)，得：xy =12 ∴直角三角形的面积是

21xy =2

1×12=6（cm 2） 例4、在锐角△ABC 中，已知其两边a =1，b =3，求第三边的变化范围。

：

分析：显然第三边b －a

能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求△ABC 为直角三角形时第三边的值。

解：设第三边为c ，并设△ABC 是直角三角形 ① 当第三边是斜边时，c 2=b 2+a 2，∴c =10 ② 当第三边不是斜边时，则斜边一定是b ，b 2

=a 2

+c 2

，∴c =22（即8） ∵△ABC 为锐角三角形

所以点A 应当绕着点B 旋转，使∠ABC 成为

锐角（如图），但当移动到点A 2位置时∠ACB 成为直角。故点A 应当在A 1和A 2间移动，此时22

注：此题易忽视①或②中一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否直角边，所以有两种情况要考虑。

例5、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）

A 、8，15，17

B 、4，5，6

C 、5，8，10

D 、8，39，40

此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c 2=a 2+b 2的变形：b 2=c 2－a 2=（c －a ）（c +a ）来判断。例如：对于选择支D ，∵82≠（40+39）×（40－39），∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。

%

答案：A

例6、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

3

A

B

C

3

1

A'

解：连结AC

∵∠B=90°，AB=3，BC=4 ∴AC 2=AB 2+BC 2=25（勾股定理） ∴AC=5

∵AC 2+CD 2=169，AD 2=169 ∴AC 2+CD 2=AD 2

∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理） ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =

21AB·BC+2

1AC·CD=36 #

本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。

例7、若直角三角形的三边长分别是n +1，n +2，n +3，求n 。

分析：首先要确定斜边（最长的边）长n +3，然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜边长为n +3，由勾股定理可得：

（n +1）2+（n +2）2=（n +3）2 化简得：n 2=4

∴n =±2，但当n =－2时，n +1=－1<0，∴n =2

三、练习题

1、等腰三角形的两边长为4和2，则底边上的高是________，面积是_________。

2、一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为________。

、

3、一个直角三角形一条直角边为16cm ，它所对的角为60°，则斜边上的高为_______。

4、四个三角形的边长分别是①3，4，5 ②4，7，821③7,24,25④321,421,52

1其中是直角三角形的是（ ）

A 、①②

B 、①③

C 、①④

D 、①②③

5、如果线段a 、b 、c 能组成直角三角形，则它们的比可以是（ ）

A 、1：2：4

B 、！：3：5

C 、3：4：7

D 、5：12：13

6、已知：如图，四边形ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°， 求证：∠A+∠C=180°。

^

A

B

C

D

A

B

C

D