无限循环小数的研究

无限循环小数的研究

上海市侨光中学 何兴国

一、 摘要。

大家知道分数与小数之间可以相互转化，我们严格地证明过吗？无限循环小数的循环节 长度由什么决定的呢？循环节数字序列很神奇，它有什么性质？

为什么要运用同余理论来研究循环小数？我们知道无限循环小数的循环体虽然是相除的商数，但循环的原因却在于相除的余数，所以运用同余理论可以解释无限循环小数中的“谜”。不过在研究的过程中仍然有部分问题未能解决，有待今后进一步学习和思考。 关键词：无限循环小数、余数、循环节长度、互素、同余。

二、 课题的由来。 形如b

a ，

b a 和都是整数且b ≠0的数称为有理数，而有理数都可以化为有限小数或无 限循环小数。

然而很多初学者对于循环小数仍然感到困惑，当遇到9

0 ⋅=1这样的问题时所表现出的惊讶，生动地反映出无限循环小数里隐藏着一些“谜”。但实际上这些“谜”用一些简单的

数学方法可以解释清楚。比如我们把0.9

扩大10倍得0.9 ×10=9.9 ，两边都减去0.9 得0.9

×(10－1) =9，所以0.9 =1。 作为一名中学数学教师一方面肩负授道解惑之责，另一方面也是提高自身专业素养之需要。由此展开了研究无限循环小数之行动。

三、 研究目的。

在《初等代数研究》中有一小节写“有理数和循环小数”，但篇幅较短且论述较抽象。 在学习过程中，我感觉可以再深入细致些，因此查阅了一些资料，经过思考和研究，使之更系统全面。因此展开以下几方面的研究。

1、 研究分别在什么条件下，分数可化为有限小数、无限循环小数？(具体一些再分为纯循环小数和混循环小数。)

2、 研究纯循环小数的循环节的长度和性质，并导出欧拉定理。

3、 研究分母为合数时，循环节的长度。

4、 研究无限循环小数化为分数的方法。

四、 研究过程。

1、分数可化为有限小数、纯循环小数、混循环小数。为简便起见这里只讨论既约真分 数。

（1）28.0257=，046875.064

3=。当分母由因数2或5的幂组成或两者兼而有之， 既约真分数定可化为有限小数。一般地，设既约真分数βα52a ，设βα≥。则βα5

2a =αβα105-a ，分子βα-5a 是个整数，由于分母α10的作用，结果变成α位有限小数。若αβ≥，同理可得结果是β位有限小数。

（2）当分母与10互素时，分母不能化为10的幂，因此展开后，小数位将是无限的。 我们考察用除法将7

1展开的过程，第一步，由于1太小，需要拖一位0变为10除以7商1余3；第二步再拖一位0，30除以7商4余2，由于每一步的余数都小于7，所以每次需要拖一位0再除以7，那么第二步相当于拖了两位0，因此可用7mod 2102≡来对应；

第三步20除以7商2余6，对应7mod 6103

≡；第四步60除以7商8余4，对应7mod 4104≡；第五步40除以7商5余5，对应7mod 5105≡；第六步50除以7商7余1，对应7mod 1106

≡。至此，余数和最初的被除数相同，如果继续运算下去，将重复刚才的过程，产生相同的商数序列和余数序列。由于每一步的余数都将被作为下一步的被除数，因此我们把分子1作为第一个余数，列出余数序列得：1、3、2、6、4、5。需要注意的是确定循环节并不是观察商数，而是由每步的余数来确定。 推广到一般情况设既约真分数b

a (

b 与10互素)，分母的余数共有1、2、…1-b ，所以在除法过程中出现的不同余数最多也只能有1-b 个，最多b 步之后，第一个余数将再次出现，随后而来的余数将按第一次的次序循环重复。至此我们得到两条结论，一、循环节的长度不大于1-b 。二、循环节的长度和分子无关。例如742851071 ⋅=，48571207

2 ⋅=。 在第一个余数第二次出现之前的各个余数是互不相同的，对应的结果是纯循环小数。用反证法，假设在第一个余数第二次出现之前的步骤中有第m+1步和第n+1步的余数相同，他们的前一步的余数各自用m a 和n a 来表示，则有b a a n m mod 1010≡(因为每一步都需要拖一位0所以这里出现10)，由b 与10互素得b a a n m mod ≡，考虑到m a 和n a 都是b 的余数，他们都小于b ，只能得到n m a a =。同理m a 和n a 的前一步的余数1-m a 和1-n a 也相同，以此类推可得第一个余数和m n a -相同，而这和假设“在第一个余数第二次出现之前的步骤中”相矛盾。证毕。结论：既约真分数

b a (b 与10互素)必将化为纯循环小数。 （3）485712901413 ⋅=，189055

54 ⋅=。注意到分母中既含有与10互素的因数又含有2或5或两者兼而有之。 一般地我们设既约真分数b

a βα52(

b 与10互素)，且βα≥。则b a b a αβαβα10552-=，分子是个整数且与b 互素，根据带余除法有)0(5≠+=-r r kb a βα。所以

b r k b r b kb b a b a αααααβαβα10110101010552+=+==-。这里α

10k 是α位有限小数，b r 是纯循

环小数，b

r α101是将循环节往后推迟α位并在小数点和循环节之间插入α个0，两者相加就是混循环小数。如

4857120090485712010907

210110970270975725131413 ⋅+⋅=⋅⨯⋅+⋅=⨯+=+⨯=⨯⨯⨯= 若αβ≥，同理结果是循环节推迟β位小数后才开始。结论：既约真分数b

a βα52(

b 与10互素)的结果是混循环小数。

9

270280 ⋅=⋅，从这个角度我们可以说所有有理数都是无限循环小数。 2、循环节的长度有什么性质。

（1）

742851071 ⋅=，48571207

2 ⋅=，12857407

3 ⋅=，87142507

4 ⋅=， 51428707

5 ⋅=，25714807

6 ⋅=。何以7

1的倍数展开后是同一串数字序列的不同轮转呢？ 以72为例。由于7mod 2102≡，所以72和7

100的小数部分是相同的，而 485712141007428510100717100 ⋅=⨯⋅=⨯=，所以48571207

2 ⋅=。 在用除法将71展开的过程中我们得到一串余数序列：3、2、6、4、5、1，实际上分别对应下列同余式：7m od 310≡，7mod 2102≡，7mod 6103≡，7mod 4104

≡，7mod 5105≡，7mod 1106≡。在除法过程中每步都要拖一位0，相当于将10的幂指数逐一提高，因为被除数作为第一位余数是1，所以当7mod 1106

≡成立时，就标志着循环开始了。所以循环节的长度是使7mod 110≡x 成立的最小正整数x 的值。 9476100211 ⋅=，07619402110 ⋅=，46190702116 ⋅=，719046021

13 ⋅=， 6904710214 ⋅=，104769021

19 ⋅=。这一串轮转的数字序列有6名成员组成一个小组，但是与21互素的余数共有12个，所以形如21a 的既约真分数共有12个，其中并没有212和21

20等另外6个。

我们将10的幂指数逐一提高，看看余数是什么？21m od 1010≡，21mod 16102

≡， 21mod 13103≡，21mod 4104≡，21mod 19105≡，21mod 1106≡。这里也只有6个余数。

另外6个其实也组成了一组轮转的序列。0523******* ⋅=，923805021

11 ⋅= ，