二维离散傅里叶、余弦、小波变换
专业班级：10 信息安全
学生姓名：***
学生学号：_ ************** _
指导教师：***
完成时间：2022年4月28日
数字图像处理
实验三：二维离散傅里叶、余弦、小波变换
一、实验目的
1. 了解图像正变换和逆变换的原理。
2. 了解图像变换系数的特点。
3. 掌握常用图像变换的实现过程。
4. 掌握图像的频谱分析方法。
5. 了解图像变换在图像数据压缩等方面的应用。
二、实验主要仪器设备
1. 微型计算机：Intel Pentium 及更高。
2. MATLAB 软件。
三、实验原理
二维离散傅里叶变换、余弦变换、小波变换的正逆变换公式，MATLAB 中的上述变换的实现函数以及讨论正交变换的应用。
1. 二维离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform ，DFT ）
对于二维傅立叶变换，其离散形式如式（1）所示；逆变换公式如式（2）所示：
∑∑-=-=+-=101
)//(2),(1),(M x N y N vy M ux j e y x f MN v u F π （1） ∑∑-=-=+=101
0)//(2),(),(M u N v N vy M ux j e v u F y x f π （2）
频谱公式如式（3）所示：
)
,(),(|),(|),(),(|),(|),(22),(v u I v u R v u F v u jI v u R e v u F v u F v u j +=+==ϕ （3） 由可傅立叶变换的分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两步进行， 其中每一步都是一个一维傅立叶变换。先对f(x, y)按列进行傅立叶变换得到F(x, v)，再对F(x, v)按行进行傅立叶变换，便可得到f(x, y)的傅立叶变换结果。显然对f(x, y)先按行进行离散傅立叶变换， 再按列进行离散傅立叶变换也是可行的，这里不再一一赘述。
此外，在实际工程应用中分析幅度谱较多，习惯上也常把幅度谱称为频谱。使用DFT 变换进行图像处理时，有如下特点：
（1）频谱的直流成分为∑∑-=-==101
2),(1)0,0(M x N y y x f N F ，说明在频谱原点的傅里
叶变换F （0,0）等于图像的平均灰度级。
（2）幅度谱|),(|v u F 关于原点对称，即),(),(v u F v u F --=。
（3）图像),(y x f 平移后，幅度谱不发生变化，仅有相位发生变化。
DFT 是一种基本和重要的正交变换。为了提高计算效率，应用时往往采用二维FFT 实现。而一般的正交变换图像经过对数变换后便于观察。MATLAB 采用fft2和ifft2分别进行二维DFT 变换和二维DFT 逆变换，采用fftshift 将直流分量移到频谱图的中心以便观察。
2. 二维离散余弦变换（Discrete Cosine Transform ，DCT ）
对于二维余弦变换，其离散形式如式（4）所示，逆变换如式（5）所示：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑∑-=-=)21(cos )21(cos ),(2)()(),(1010y v MN x u MN y x f MN v C u C v u F M x N y ππ （4） 式中，⎪⎩
⎪⎨⎧-≤≤==⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤==11,10,21)(11,10,21)(N v v v C M u u u C ∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=1010)21(cos )21(cos ),()()(2),(M u N v y v N x u M
v u F v C u C MN y x f ππ （5） 在MATLAB 中，采用dct2和idct2分别进行二维DCT 变换和二维DCT 逆变换。
二维DCT 常用于信号和图像处理，典型应用是对静止图像和运动图像进行性能优良的有损数据压缩。在静止图像编码标准JPEG 、运动图像编码标准MJPEG 和MPEG 等标准中都使用了8*8块的离散余弦变换，并将结果进行量化之后进行熵编码。DCT 具有很强的能量集中在频谱的低频部分的特性，而且当信号具有接近马尔科夫过程（Markov processes ）的统计特性时，DCT 的去相关性接近于具有最优去相关性的K-L 变换（Karhunen-Loeve 变换）的性能。
另外，改进的离散余弦变换（Modified Discrete Cosine Transform ，MDCT ）对交叠的数据进行DCT ，有助于避免由于区块边界所产生的多余数据，被用在高级音频编码（Advanced Audio Coding ，AAC ）、Ogg V orbis 、AC —3和MP3音频压缩中。
3. 二维离散小波变换（D Discrete Space Wavelet Transform ，DDSWT ）
对于二维小波变换，其离散形式如式（6）所示；逆变换如式（7）所示：
dxdy a
b y a b x y x f a y x f b b a W R b b a y x f y x ),(),(1),(,),,(*,2-->==<⎰ψψ （6） 式中，x b 和y b 分别函数),(y x f 在轴上的x ，y 平移量。
da db db a
b y a b x b b a W a y x f y x y x b a y x f R R ),(),,(1
),(,22--=⎰⎰+ψ （7） 类似地，可以定义二维离散小波变换逼近，并采用Mallat 二维快速算法求解。与DFT 类似，可分离二维小波变换最终可转换为两次一维小波变换。
对图像进行小波变换的MATLAB 常用函数有：
① 对图像进行一层二维小波分解，常见形式为：
[CA,CH,CV ,CD]=dwt2（X,’wname ’）
式中，X 为图像矩阵；’wname ’是使用的小波基函数名称，如可选择双正交样条小波基函数，形式为biorNr.Nd 。
② 查询使用的小波基函数的信息，使用形式为：
Waveinfo(‘wname ’)
式中，小波基名称’wname ’可选用’haar ’（哈尔小波）、’db ’（Daubechies 小波）、’bior ’（双正交样条小波）等。例如，在命令行状态下键入wavainfo(‘bior ’)进行查询双正交样条小波，可知r 表示reconstruction （重建），d 表示decomposition （分解），N 表示相应FIR 滤波器的阶数；CA 、CH 、CV 、CD 分别是输入矩阵X 小波分解的近似系数矩阵、水平细节系数、垂直细节系数和对角线细节系数。
③ 对二维小波分解的图像进行各种分量的重构，常见函数形式为：
Y=upcoef2(O,X,’wname ’,N)
式中，X 是分解后的细节信号，Y 是重构的细节信号分量；N 表示对矩阵X 的系数进行重建的步骤数，即重构的层数，默认值为1。O 是细节信号的类型。如果O=’a ’，则表示对信号的近似系数进行重建；否则，如果O=’h ’、’v ’或’d ’，则分别对水平、垂直或对角线细节进行重建。
④ 对应上述的一层二维小波变换DWT2函数，进行一层二维小波变换逆变换，常见形式为：
X=idwt2(CA,CH,CV ,CD,’wname ’)
idwt2函数采用’wname ’所指示的小波、已重建的基于近似矩阵CA ，以及水平细节CH 、垂直细节CV 和对角线细节CD 计算原图像矩阵X 。
⑤ 对重构的图像进行量化编码，常见函数形式为：
Y=wcodemat(X,NBCODES,OPT,ABSOL)
式中，X 为待进行量化编码的矩阵，Y 为编码矩阵。在编码中，把矩阵X 中元素绝对值最大的作为NBCODES （整数），绝对值最小的作为1，其他元素依其绝对值的大小在1与NBCODES 中排列。当OPT 为’row ’时，做行编码；当
