天华学校2015届高三数学综合练习卷（11）2015-5-13
参考公式
样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2
＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1
∑n x i ．
锥体的体积公式：V ＝1
3
Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1．已知复数z ＝2i 1－i
－1，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ▲ ．
2．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：
则该窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是 ▲ ．
3．若变量x ，y 满足约束条件⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，
x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是 ▲ ．
4．右图是一个算法流程图，则输出k 的值是 ▲ ．
5．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则 成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ▲ ．
甲 乙 8
9 7 8 9
7 8
6．记不等式x 2
＋x －6＜0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”
的充分条件，则实数a 的取值范围为 ▲ ．
7．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2
－y 2
3
＝1的右焦点F 作x 轴的垂线l ，则l 与双曲线C 的两
条渐近线所围成的三角形的面积是 ▲ ．
8．已知正六棱锥P －ABCDEF 的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为 ▲ ． 9．在△ABC 中，∠ABC ＝120︒，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则→BD ·→
BE 的值
为 ▲ ．
10．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S k －1＝8，S k ＝0，S k ＋1＝－10，则正整数k ＝ ▲ ．
11．若将函数f (x )＝∣sin(ωx －π6)∣(ω＞0)的图象向左平移π
9
个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，
则实数ω的最小值是 ▲ ．
12．已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y
x ＋y
的最大值为 ▲ ．
13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A ，
B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆
C 总有公共点，则实数k 的取值范围为
▲ ．
14．已知a ，t 为正实数，函数f (x )＝x 2
－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，t ]，都有f (x )∈[－a ，a ]．若对每
一个正实数a ，记t 的最大值为g (a )，则函数g (a )的值域为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．
作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a cos C ＋c cos A ＝2b cos A ． （1）求角A 的值；
（2）求sin B ＋sin C 的取值范围．
16．（本小题满分14分）
在四棱锥P －ABCD 中，BC ∥AD ，PA ⊥PD ，AD ＝2BC ，AB ＝PB ，E 为PA 的中点． （1）求证：BE ∥平面PCD ； （2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ．
17．（本小题满分14分）
如图，摩天轮的半径OA 为50m ，它的最低点A 距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m 的景观带MN ，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM ＝60m ．点P 从最低点A 处按逆时针方向转动到最高点B 处，记∠AOP ＝θ，θ∈(0，π)．
（1）当θ＝2π
3时，求点P 距地面的高度PQ ；
（2）试确定θ的值，使得∠MPN 取得最大值．
（第16题图）
P
A
B
C
D
E
（第17题图）
A
M
N
B
O P
Q
θ
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，设中心在坐标原点的椭圆C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，右准线
l ：x ＝m ＋1与x 轴的交点为B ，BF 2＝m ．
（1）已知点(6
2，1)在椭圆C 上，求实数m 的值；
（2）已知定点A (－2，0)．
①若椭圆C 上存在点T ，使得
TA
TF 1＝2，求椭圆C
②当m ＝1时，记M 为椭圆C 上的动点，直线AM ，BM 分别与椭圆C 交于另一点P ，Q ， 若AM →＝λAP →，BM →＝μBQ →
，求证：λ＋μ为定值．
.
19．(本小题满分16分)
已知函数f (x )＝x 2
－x ＋t ，t ≥0，g (x )＝ln x ． （1）令h (x )＝f (x )＋g (x )，求证：h (x )是增函数；
（2）直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切．对于确定的非负实数t ，讨论直线l 的条数，并说明理
由．
（第18题图）
