图形的相似经典测试题及答案

8．已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先延长BC，做FN⊥BC，构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出Rt△FNE∽Rt△ECD，再利用相似比得出 ，运用正方形性质,得出△CNF是等腰直角三角形，从而求出CE．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OE、OF、OC，利用切线长定理和切线的性质求出∠OCF＝∠FOE，证明△EOF∽△ECO，利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】
解：连接OE、OF、OC．
∵AD、CF、CB都与⊙O相切，
∴CE＝CB；OE⊥CF；FO平分∠AFC，CO平分∠BCF．
∴BP2=1+（2-BP）2，
∴BP=
如图，若点B1在BC右侧，
∵B1E=DE+B1D= + ，
∴B1E=4
在Rt△EB1P中，B1P2=B1E2+EP2，
∴BP2=16+（BP-2）2，
∴BP=5
故选：D．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
A．S1 S2B．S1 S2C．S1＝2S2D．S1＝4S2
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据点P及其对应点判断出变换的类型，再依据其性质可得答案．
【详解】
由点P（a，b）经过变换后得到的对应点为P′（ a+1， b﹣1）知，
此变换是以点（2，﹣2）为中心、2：1的位似变换，
则△ABC的面积与△A′B′C′的面积比为4：1，
【详解】
解：如图，若点B1在BC左侧，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=
∵点D是AB的中点，
∴BD= BA=
∵B1D⊥BC，∠C=90°
∴B1D∥AC
∴
∴BE=EC= BC=2，DE= AC=
∵折叠
∴B1D=BD= ，B1P=BP
∴B1E=B1D-DE=1
∴在Rt△B1PE中，B1P2=B1E2+PE2，
故选：D
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握这些知识是解本题的关键．
4．如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则 （）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知条件易证△ADE≌△BAF，从而进一步得△AOD∽△EAD．运用相似三角形的性质即可求解．
【详解】
解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ADC＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝ AD，
在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，
∴AD＝CD＝BD，
由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，
∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，
图形的相似经典测试题及答案
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则下列结论不正确的是（ ）
A．AC2＝AD•ABB．CD2＝AD•BDC．BC2＝BD•ABD．CD•AD＝AC•BC
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据射影定理来分析、判断，结合三角形的面积公式问题即可解决．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P与点B之间的距离为（ ）
A．1B． C．1或3D． 或5
【答案】D
【解析】
【分析】
分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB=5，由平行线分线段成比例可得 ，可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长．
【详解】
解：在平行四边形ABCD中，
AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，BC＝DA，
∵E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AGE∽△CGB，△CHF∽△AHD，
∴AG∶CG＝EG∶BG＝AE∶CB，CH∶AH＝CF∶AD，
∵E，F分别是边AD，BC的中点，
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据SAS，即可证明①△ABE≌△CDF；在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，根据有一组对边平行且相等四边形是平行四边形，即可证明四边形BFDE是平行四边形，由AD∥BC，即可证明△AGE∽△CGB，△CHF∽△AHD，然后根据相似三角形的对应边成比例，证得AG∶CG＝EG∶BG＝1∶2，CH∶AH＝1∶2，即可证得②AG＝GH＝HC，③2EG＝BG；由S△ABG＝2S△AEG，S四边形GHDE＝3S△AEG，可得结论④S△ABG：S四边形GHDE＝2：3．
2．如图，正方形OABC的边长为6，D为AB中点，OB交CD于点Q，Q是y＝ 上一点，k的值是（）
A．4B．8C．16D．24
【答案】C
【解析】
【分析】
延长根据相似三角形得到 ，再过点 作垂线，利用相似三角形的性质求出 、 ，进而确定点 的坐标，确定 的值．
【详解】
解：过点 作 ，垂足为 ，
是正方形，
∴S1＝4S2，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查几何变换类型，解题的关键是根据对应点的坐标判断出其几何变换类型．
12．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知甲三角形框架三边的长分别为50 cm、60 cm、80 cm，乙三角形框架的一边长为20 cm，则符合条件的乙三角形框架共有（）.
A．1种B．2种C．3种D．4种
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，
∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，
∴AC′＝AQ＝AC，
由△AEC∽△BDQ得： ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ．
故选：A．
【点睛】
考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键．
【答案】C
【解析】
试题分析：根据相似图形的定义，可由三角形相似，那么它们边长的比相同，均为5：6：8，乙那个20cm的边可以当最短边，最长边和中间大小的边．
故选：C．
点睛：本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．
13．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD边于点F，则 ＝（）
【详解】
解：过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，
∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，
∴∠DEC=∠EFN，
∴Rt△FNE∽Rt△ECD，
∵DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，
∴两三角形相似比为1：2，
∴可以得到CE=2NF，
∵AC平分正方形直角，
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理，可得 正确．
【详解】
解： ， ，
， ，
，
故 选项正确，选项 、 、 错误，
故选： ．
【点睛】
本题主要考查平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键．
10．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（ ）
∴∠NFC=45°，
∴△CNF是等腰直角三角形，
∴CN=NF，
∴
故选C．
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法.
9．如图，在 中，点 分别在边 上， ，则下列结论一定正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
∴△ACB∽△DCE，
∴ ，即 ，
∴DE＝9．
即旗杆的高度为9m．
故选A．
【Fra Baidu bibliotek睛】
本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
11．平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）经过某种变换后得到的对应点为P′（ a+1， b﹣1）．已知A，B，C是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A′，B′，C′．若△ABC的面积为S1，△A′B′C′的面积为S2，则用等式表示S1与S2的关系为（ ）
【详解】
解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，
∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，
∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA，
∴△FEH∽△EBA，
∴
为 的中点，
∴
设AE=x，∵AB
∴HF
∴当 时，△CEF面积的最小值
故选：B．
【点睛】
本题通过构造K形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键．
6．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出∠C、∠B的度数，求出其他角的度数，可得AQ＝AC，将 转化为 ，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案．
∴AE＝ AD，CF＝ BC，
∴AE∶CB＝1∶2，CF∶AD＝1∶2，
∴EG∶BG＝AG∶CG＝1∶2，CH∶AH＝1∶2
∴AG＝CH＝ AC，2EG＝BG，故③正确；
∴AG＝GH＝HC，故②正确；
∵S△ABG＝2S△AEG，S四边形GHDE＝3S△AEG，
∴S△ABG：S四边形GHDE＝2：3，故④正确，
【详解】
解：如图，
∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，
∴由射影定理得：AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，
CD2＝AD•BD；
∴ ；
∴CD•AC＝AD•BC，
∴A，B，C正确，D不正确．
故选：D．
【点睛】
该题主要考查了射影定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用射影定理来分析、判断、推理或解答．
7．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（）
A．16B．15C．12D．11
【答案】B
【解析】
【分析】
过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则△FEH∽△EBA，设AE=x，可得出△CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．
A．9B．12C．14D．18
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，利用题意得∠ACB＝∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．
【详解】
解：如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，
由题意得∠ACB＝∠DCE，
∵∠ABC＝∠DEC，
∵AF∥BC，
∴∠AFC+∠BCF＝180°，
∴∠OFC+∠OCF＝90°，
∵∠OFC+∠FOE＝90°，
∴∠OCF＝∠FOE，
∴△EOF∽△ECO，
∴ ，即OE2＝EF•EC．
设正方形边长为a，则OE＝ a，CE＝a．
∴EF＝ a．
∴ ＝ ．
故选：C．
【点睛】
本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质，其中通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．.
【详解】
∵四边形ABCD是正方形
∴AE=BF，AD=AB，∠EAD=∠B=
∴△ADE≌△BAF
∴∠ADE=∠BAF，∠AED=∠BFA
∵∠DAO+∠FAB= ，∠FAB+∠BFA= ，
∴∠DAO=∠BFA，
∴∠DAO=∠AED
∴△AOD∽△EAD
∴
故选：D
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．
， ，
是 的中点，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
， ，
，
点 在反比例函数的图象上，
，
故选： ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点 的坐标是解决问题的关键．
3．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF于G，H，试判断下列结论：①△ABE≌△CDF；②AG＝GH＝HC；③2EG＝BG；④S△ABG：S四边形GHDE＝2：3，其中正确的结论是（ ）