搜索算法例题讲解(Good)

很小，暴力搜索可行！
算法分析


题目给出了苹果和盘子全相同，所以说我们 这里为了让题目变的简单，假设让ai<=ai+1， 正如上面的例子所看到的一样。 搜索时我们需要设置一个条件，就是当放置 苹果到第i个盘子的时候，必须要求第i-1个盘 子中的苹果小于第i个盘子，如果大于我们继 续加1，直到第i个盘子放置的苹果大于等于 第i-1个盘子中的苹果。如果剩下的苹果已经 小于前一个盘子中的苹果，我们停止这个分 支的搜索。
搜索算法例题讲解
史宁 西安电子科技大学ACM基地
例1：放苹果（POJ1664）
Description 把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不 放，问共有多少种不同的分法？（5，1，1和1，1，5是同一种 方法） Input 以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10 Output 对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。
例4：滑雪（POJ1088）


Description Michael喜欢滑雪百这并不奇怪， 因为滑雪的确很刺激。可 是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡 底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想 知道载一个区域中最长底滑坡。区域由一个二维数组给出。 数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子 12345 16 17 18 19 6 15 24 25 20 7 14 23 22 21 8 13 12 11 10 9 一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅 当高度减小。在上面的例子中，一条可滑行的滑坡为24-1716-1。当然25-24-23-...-3-2-1更长。事实上，这是最长的一 条。
搜索小结二


搜索题目无外乎上面所说的几类，接下来我们来一一分析下 它们的特点。 求最终状态的个数

这个问题我们有时可以转化为一个组合问题 这个问题是最麻烦，必须对状态空间进行全遍历 这个相对简单，有时候可以用随机化或者当搜索到其中一个解的时候 停止搜索 这个问题可以在问题2的基础上再对状态空间解进行一次扫描。也可 以转化成动态规划问题
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main() { int i,u; res=0; intputdata(); //数据输入 for (i=1;i<=n;i++) for (u=1;u<=m;u++) if (s[i][u]==‘W’) //当点为w进行种子填充 bfs(i,u); cout<<res<<endl; //输出结果 }
队首和队尾之间的元素为BFS扩展的状态
普通队列与优先队列


有些题目中，我们需要在整个状态空间中找 到一个最值怎么办？ 普通队列？

显然达不到要求，因为它的插入是无序的

二叉堆！

二叉堆支持在O(logn)下对堆进行维护并且在O(1) 下找出最值。
题目分析



回到例2题目中，我们通过分析，显然用BFS 比较容易实现，而且很直观。下面我们来针 对题目进行分析。 因为有三种操作，我们可以像刚刚所看到的 状态空间树一样去扩展。 直到扩展到目标节点为止。
BFS代码分析
while (1) { t++; while (f!=r1) { w=q[++f]; if (w+1==k||w-1==k||w*2==k){ printf("%d\n",t); return 0; } if (2*w<100000&&p[2*w]==0){ q[++r]=2*w; p[w*2]=1; } if (w-1<100000&&p[w-1]==0){ q[++r]=w-1; p[w-1]=1; } if (w+1<100000&&p[w+1]==0){ q[++r]=w+1; p[w+1]=1; } } r1=r; //当前的r赋值给下一层次执行结束时r1的标志 }
算法分析

初始化

我们将n加入队列中作为第一个元素q[1]=n，让 队首f=0,队尾r=1；再设一变量t记录拓展的层次 首先我们先让一个元素出队，对这个元素进行扩 展。 将扩展出来的节点加入队尾，直到上一层的队尾 r1。 按以上操作，直到找到目标状态

BFS操作



BFS剪枝讲解

判重

当我们扩展状态时，总会出现重复现象
算法的部分优化
void dfs(long k, long w) { long i,u; if (k==m) { if (n-w>=s[k-1]) { s[k]=n-w; z=z+1; } return; } for (i=0;i<=n;i++) if ((i>=s[k-1])&&((n-w)/(m-k)>=s[k-1])) { w=w+i; s[k]=i; k=k+1; dfs(k,w); w=w-i; k=k-1; } }
样例分析

题目要求用3中操作对其进行处理。下面我们 来看一下状态树的生成。 5 部分状态空间树 10 9 18 11 22 20 19
BFS vs DFS 4 3 2 15 16 17 8 14 7 6 12 13
算法描述

BFS算法

找到当前节点扩展出来的子节点
当前状态已经不能满足解的条件则剪枝 为了减少搜索节点的状态空间，我们从起始节点 和目标节点共同出发进行搜索
小结



我们通过以上的例子给大家讲解了基本的BFS 搜索，它的重点在于层次上的队列元素的出 队和入队。再者就是判重，防止状态空间树 无穷大而导致RE或者TLE。 注意理解DFS中堆栈和BFS中队列的应用，这 点很重要。 BFS中优先队列的使用，当题目要求在队中找 到最值时，我们应当使用。
例3：Lake Counting（POJ2386）
算法效率的分析


此算法的效率比较低，为指数级算法。效率 相当之低下，不过应对10以内的数据完全能 达到要求。 下面我们看一个剪枝。当剩下的苹果平均放 到剩余的盘子中的时候，每个盘子分的的苹 果数目小于前一个盘子放置的苹果数目，这 样就不满足我们给的要求ai-1<ai，所以我们对 它进行剪枝。下面是剪枝优化后的程序。
扩散现象！
如果我们利用这种思路能否想出本题的算法呢？
种子填充法！
种子填充法

种子填充算法又称为边界填充算法。其基本 思想是：从多边形区域的一个内点开始，由 内向外用给定的颜色画点直到边界为止。如 果边界是以一种颜色指定的，则种子填充算 法可逐个像素地处理直到遇到边界颜色为止
题目分析



回到题目，由题目我给大家讲解一下种子填 充算法。 首先题目中给定的矩阵很简单，只有两种元 素，一种是”w”表示连通块，一种是”.”表 示分隔个连通块 题目中说到时八个方向任意一个方向有w均可 连通，所以说这个是要区分四向连通的
算法分析二

临界条件的设置：

搜索不是无穷的搜索下去，它必须有个条件来约 束它，这个题目中，当m个盘子都放满苹果时我 们结束搜索。
当程序开始时，我们已经将0个苹果放置到1号盘 子，递归运算的时候，我们将循环值从0到n，这 样子就可以让每个盘子都能放置0到n个苹果，即 便它不符合要求。

初始赋值与递归运算：
代码分析二
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if (s[a][b+1]=='W') { s[a][b+1]='.'; r=r+1; d[r][1]=a; d[r][2]=b+1; }
小结



这里所讲到的种子填充法，我们既可以用BFS 实现，也可以用DFS实现，这个根据各自的喜 好决定。 种子填充法一般分为4向和8向，实际上也就 是它的扩展规则不同，方法都一样。 种子填充时应当注意处理被填充过的节点， 否则会出现状态无限增大的情况。
当k<=n时，直接n-k 如果结果超出了题目中给定的数据规模，我们剪 枝，这个也是为了防止越界

k<=n特殊操作


范围处理

初始化代码分析
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if (k<=n) { printf("%d\n",n-k); return 0; } f=0; r=1; q[1]=n; r1=1; t=0; memset(p,0,sizeof(p)); 注意第7行代码，它的作用是判重 1-5行是一个特殊处理，他的作用是当k<=n时， 只能通过n=n-1的操作来达到最优解，所以说我们 直接输出n-k
双向BFS算法


双向BFS算法是将起始状态和目标状态共同进 行BFS搜索，直到他们两个的状态（中间状态 ）相同时停止。 这样做的好处是可以减少状态空间的容量。 也可以减少时间的开销，可以时程序达到一 个较优的状态。
DFS与BFS状态操作分析
栈首和栈尾之间的元素为DFS扩展的状态
栈顶
队首
队尾
栈底


枚举矩阵中的每一个元素，当元素为w时对 它进行种子填充（BFS） 种子填充
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对八个方向分别扩展加入队列 再对w进行修改，把原有的“w”改为“.”，这样 我们就可以不必再考虑这个点了 用BFS搜索的办法把相邻的点均加入队列，直到 无节点可以扩展
代码分析
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代码分析
void dfs(long k, long w) //初始k=1,w=0; k表示现在已用几个盘子,w表示已经放了几个苹果 { long i,u; if (k==m) //当最后一个盘子被放置苹果的时候我们进行判断 { if (n-w>=s[k-1]) { s[k]=n-w; z=z+1; } return; } for (i=0;i<=n;i++) if (i>=s[k-1]) //如果当前放置的苹果个数大于前一个盘子继续放置 { w=w+i; s[k]=i; k=k+1; dfs(k,w); w=w-i; k=k-1; } }


题目描述：给定一个矩阵，求它的连通块个 数 样例数据：
样例分析


题目中要求的数据范围长宽不超过100 大家可以看到，题目中说的是八个方向只要 有任意一个方向有块，则它联通。 样例中给的数据显然只有3个块 分析完样例，大家思考一下该怎么做？
算法引入

如果有一滴墨水滴入水中会出现什么现象？

ห้องสมุดไป่ตู้
BFS+剪枝


双向BFS

BFS与DFS算法

我们将当前节点的扩展节点存放到队列之中 ，这里跟DFS不同的是，在DFS搜索中我们将 状态节点存放在堆栈中，这里需要大家注意 的是区分这两种搜索的不同点。DFS是当不能 在扩展节点时对当前节点进行回溯操作，直 到堆栈为空。而BFS节点则是当队列中的状态 为空时停止操作。下面我们来分析下栈操作 在DFS和队列操作在BFS中的应用。
//优化剪枝部分
优化前后的对比
搜索题目小结

暴力搜索只能在很小的数据范围内使用，一 般情况下，所谓的暴力也就是枚举了所有的 状态，在这些状态中找到最终的解。在很多 情况下，搜索题目有以下几类：1.求所有状 态的个数，例如放苹果。2.找出所有解的状 态，例如把放苹果的每种方式求出来。3.求 其中一个可行解。4.求出所有可行解的最优 解。
算法描述


初始化
本题初始化很简单，我们只需要将存放结果的 变量设为0，并且把矩阵中其中一个点加入BFS 队列之中 r=1; //设置队尾 f=0; //设置队首 res=res+1; //结果加1 d[r][1]=x; //其中一个w点加入队列 d[r][2]=y;
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算法描述二
Sample Input 73 Sample Output 8
数据分析
当n=7,m=3时，有以下几类分法： 007 016 025 034 115 124 133 223
题目分析



这里需要注意两个同样，盘子是相同的，而 且苹果也相同。所以说随意调换盘子和苹果 的位置是可以的。 题目抽象出的数学模型就是把一个数n拆成m 份，使得a1+a2……am=n，0<=ai<=n 接下来我们看下数据规模， 1<=m，n<=10，

求出所有最终状态


求出一种可行状态


求出最优可行状态


当然以上都是些常规的解题思想，并不能代表所有问题都是 按照以上的方式进行求解。
例2：Catch That Cow（POJ3278）




题目描述：给定一个n,k(0 <=n,k <= 100,000)；对n有三种操作，分别为 n=n+1,n=n-1,n=2*n。现在要求用最少的操 作次数使得n变为k。 样例输入： 5 17 样例输出： 4 Hint：5-10-9-18-17