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第四章初等代数、几何方法x = x(r, θ) = r cos θ,y = y(r, θ) = r sin θ,z = z(r, θ) = r,(r ∈[0, +∞), θ ∈[0, 2π]) 这是二元三维向量值函数，它是三维空间的一张半圆锥面，这是一元函数的另一种推广：多个因变量(x和y) 接1引言：有时候现象或事件中变量之间呈现向量值函数的关系，空间解析几何中熟知的映射f : [0, +∞) × [0, 2π] I→R3,(r, θ) I→(x, y, z)的具体分量形式是某种规律，随自变量t 或(r, θ) 的变化而相应变化．一般地设D是R n上的点集，DIR m的映射f : D →R m，x = (x1, x2, ···, x n)，z = (z1, z2, ···, z m)，称为n元m维向量值函数，(或多元函数组)，记为z = f(x)．D称为f(x)的定义域，R= {z ∈R m|z = f(x), x ∈D}称为f的值域．多元函数是m = 1的特殊情形．显然，每个z i(i = 1, 2, ···, m)都是x的函数zi = fi(x)，它称为(f )的第i个坐标(或分量)函数.于是，(f )可以表达为分量形式z1 = f1(x), z2 = f2(x),······z m = fm(x),因此f又可表示为f = (f1, f2, ···, fm).它们有的是线性代数方程，比如在投入产出问题中；另一种就是非线性代数方程，往往来自于几何中的曲线、曲面的方程以及其他领域．2 线性代数方法源头问题：线性代数中有几个最基本的概念：线性方程组、行列式、矩阵、二次型．大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组大约4000年前，巴比伦人能求解两个未知数的线性方程组．公元前200年，中国出版的“九章算术” 表明已经能求解3 × 3 的方程组了．简单方程Ax + B = 0 是一个古老的问题，莱布尼兹、拉格朗日、凯利(Cayley)和欧拉都有贡献．十九世纪，高斯提出了消去法，1848，J.J. Sylvester 提出的“矩阵”概念，1855年亚瑟凯莱J进了矩阵乘法和矩阵代数．但在很长一段时间里，许多线性代数的兴趣被放缓，直I第二次世界大战结束带来了计算机的发展，才使得线性代数向前更迅速、更有效的发展．最著名的例子是哈佛大学的列昂惕夫教授．1949年，他用计算机算出了由美国统计局的25万条经济数据所组成的42个未知数的42个方程组，这些模型是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫“投入- 产出”模型．列昂惕夫因此获得了1973 年的诺贝尔经济学奖．例题1：某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路．开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费；生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费；创收一元钱的运输费，铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费．在某一周内，煤矿接I外地金额为50000元的定货，发电厂接I外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求．问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？例题2：交通流量问题图中给出了某城市部分单行街道的交通流量(每小时过车数)假设：(1)全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；(2)全部流人一个节点的流量等于全部流出此节点的流量。
第三章初等模型大量的实际问题可以用初等模型的方法去解决，全国大学生数学建模竞赛（乙组）的不少赛题也可用初等模型求解，例如,1999年的“煤矸石堆放”、“钻井布局”，2000年的“空洞探测”，2001年的“基金使用计划”，2007年的“手机套餐”，2008年的“NBA赛程编排”，2009年的“卫星地面监测”等等。
例3.1 有两个乡镇要在河边合建一个自来水厂请设计水厂的位置及铺设水管的方法，使水管总长度最短（单位：千米）。
（本例题可以看成2010年“油管铺设”模型的雏形）。
一. 模型准备（建模的问题来自科学的各个领域，从各行各业中抽象出来。
建模竞赛题摆在我们面前，绝大多数题目的背景我们并不清楚。
三名队员要通过查阅资料，认真学习，进一步讨论分析，才能逐步把问题搞清楚。
磨刀不误砍柴功。
熟悉背景是建模的最重要的环节之一，准备越充分，建模越准确快捷。
）在纸上画出乡镇及河流示意图，发觉水管的铺设布局有”V”型与”Y”两种。
第一种可以用常用的轴反射来解决；第二种则是在一个三角形中如何去找费尔马点的问题。
二．模型假设（现实问题是复杂鲜活的，如何去粗取精、去伪成真，抓住事物的最本质的特征，去解决问题，把问题分析清楚后，合理的假设非常重要。
因此，要对问题作适当的简化。
既要贴近实际问题又要贴近数学方法。
模型假设是极具挑战性的。
）2.1、乡镇A到河边的距离小于等于乡镇B到河边的距离.2.2、水厂C建在河上.2.3、共用的单位长度的管道铺设费用n大于或等于非共用的单位长度的管道铺设费用m.2.4、乡镇B、水厂C、管道节点P均在第一象限，乡镇A点在y轴正半轴上,河道在x轴上.2.5、河道在A、B两厂附近为直线.2.6、乡镇A、B，水厂C，管道节点P，它们之间的所有管道均是直线。
2.7、乡镇A、B，水厂C，管道节点P，以及点'B共面。
此图中，坐标，A y =4,C(2,0),B(5,6).（单位:千米）若用“V ”型法,作B 点关于轴的对称点B ’(5,-6),则直线AB ’的方程10x+5y-20=0,水厂设在C(2,0)点上。
实验报告实验一初等模型建模实验目的：熟悉初等数学建模方法，掌握建立经验公式，即数据拟合的方法。
实验原理：最小二乘原理实验内容：人口增长预测下面是六十年代世界人口的增长数据（单位：亿）：>> t=[1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968]t =Columns 1 through 61960 1961 1962 1963 1964 1965 Columns 7 through 91966 1967 1968>> x=[29.73 30.61 31.5132.34 32.85 33.56 34.20 34.83] 32.13x=Columns 1 through 829.7300 30.6100 31.5100 32.1300 32.3400 32.8500 33.5600 34.2000 Column 934.8300散点图如下：根据已有数据，进行数据拟合:考虑分段函数，对1960-1963进行数据拟合：t=[0 1 2 3]x1=[29.72 30.61 31.51 32.13]p=polyfit(t,x1,1)t=[5 6 7 8]x2=[32.85 33.56 34.20 34.83]z=x1.*(t<=3)+x2.*(t>=4)p=polyfit(t,x2,1)t=[0 1 2 3 4 5 6 7 8]x=[29.73 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83]plot(t,x1,'g+',t,x2,'g.',t,z,'b-');hold onplot(t,x,'r*')图如下：（2）用你建立的经验模型试计算：以1960年为基准，人口增长一倍需要多少年？世界人口何时将达到100亿？对t=0:120通过给出的模型进行运算估值，得到：Columns 37 through 5453.2710 53.9290 54.587055.2450 55.9030 56.5610可知以1960年为基准，人口增长一倍需要39年。
.. .. . 第2章 初等数学建模方法示例
2.1公平的席位分配问题 席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即： 某单位席位分配数 = 某单位总人数比例总席位 如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗？下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题： 某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代表席位为 系名 甲 乙 丙 总数 学生数 100 60 40 200 学生人数比例 100/200 60/200 40/200 席位分配 10 6 4 20
后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为： 系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 10.3 6.3 3.4 20 .. .. . 按惯例席位分配 10 6 4 20
由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有 系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配 11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。 模型构成 先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设 单位 人数 席位数 每席代表人数 单位A 1p 1n 1n 单位B 2p 2n 2n 要公平，应该有1n2n， 但这一般不成立。注意到等式不成立时有 若21nn，则说明单位A 吃亏(即对单位A不公平 ) 若21nn，则说明单位B 吃亏 (即对单位B不公平 ) 因此可以考虑用算式2211npnpp 来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有不足之处（绝对数的特点），如： .. .. . 某两个单位的人数和席位为 1021nn，1201p，1002p， 算得 2p
另两个单位的人数和席位为 1021nn，10201p，10002p, 算得 2p 虽然在两种情况下都有2p，但显然第二种情况比第一种公平。 下面采用相对标准，对公式给予改进，定义席位分配的相对不公平标准公式：
若2211npnp，则称11221222211npnpnpnpnp为对A的相对不公平值， 记为：),(21nnrA，
若2211npnp，则称 12112111122npnpnpnpnp为对B的相对不公平值，记为),(21nnrB； 由定义有对某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。 确定分配方案： 使用不公平值的大小来确定分配方案，不妨设21nn，即对单位A不公平，再分配一个席位时，关于1n，2n的关系可能有 1. 211nn ,说明此一席给A后,对A还不公平;所以这一席显然分给A方； 2. 211nn,说明此一席给A后,对B还不公平, 相对不公平值为:
1)1(),1(122121pnpnnnrB
;
3. 121nn,说明此一席给B后,对A不公平, 相对不公平值为: 1)1()1,(211221pnpnnnrA
;
上面的分配方法在第1种情况可以确定新席位的分配，但在第2种和第3情况时不好确定新席位的分配。用不公平值的公式来决定席位的分配，对于新.. .. . 的席位分配，若有：
)1,(),1(2121nnrnnrAB
则增加的一席应给A ，反之应给B。对不等式)1,(),1(2121nnrnnrAB进行
简单处理，可以得出对应不等式
)1()1(11212222nnpnnp
引入公式：)1(2kkkknnpQ 于是知道增加的席位分配可以由kQ的最大值决定，且它可以推广到多个组的一般情况。用kQ的最大值决定席位分配的方法称为Q值法。 对多个组（m个组）的席位分配Q值法可以描述为： 1．先计算每个组的Q值： kQ , k=1,2,…,m 2．求出其中最大的Q值iQ（若有多个最大值任选其中一个即可） 3．将席位分配给最大Q值iQ对应的第i组。 这种分配方法很容易编程处理。（请大家就一般情况根据上面的算法编写相应的程序） 模型求解 先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q值分配。 本问题的整数名额共分配了１９席，具体为： 甲 10.815 101n 乙 6.615 62n 丙 3.570 33n 对第２０席的分配，计算Q值 .. .. . 45.96111010321Q ; 5.94766322Q; 33.96433423Q
因为1Q最大，因此第２０席应该给甲系; 对第２１席的分配，计算Q值 37.80121110321Q; 5.94766322Q; 33.96433423Q 因为Q3最大，因此第２1席应该给丙系 最后的席位分配为： 甲 １１席 乙 ６席 丙 ４席 注：若一开始就用Q值分配，以1321nnn逐次增加一席，也可以得到同样的结果。 简评：本题给出的启示是对涉及较多对象的问题，可以先通过研究两个对象来找出所考虑问题的一般的规律，这也是科学研究的常用方法。请对一般情况编程。 2.2 商人们怎样安全过河
三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们的手中。商人们怎样才能安全渡河呢？ 对于这类智力游戏经过一番逻辑思索是可以找出解决办法的。这里用数学模型求解，一是为了给出建模的示例，二是因为这类模型可以解决相当广泛的一类问题，比逻辑思索的结果容易推广。 由于这个虚拟的问题已经理想化了，所以不必再作假设。安全渡河问题可以视为一个多步决策过程。每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员（商人、随从各几人）作出决策，在保证安全的前提下（两岸的随从数都不比商人多），在有限步使全部人员过河。用状态（变量）表示某一.. .. . 岸的人员状况，决策（变量）表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化
的规律。问题转化为在状态的允许变化围（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到渡河的目标。 模型构成 记第k次渡河前此岸的商人数为kx，随从数为ky，kxk,,2,1L，3,2,1,0ky. 将二维向量kkkyxs,定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为
允许状态集合，记作S. 2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0,yxyxyxyxS (1)
不难验证，S对此岸和彼岸都是安全的。 记第k次渡船上的商人数为ku，随从数为kv. 将二维向量kkkvud,定义为决策。允许决策集合记作D，由小船的容量可知 2,1,0,,21,vuvuvuD (2)
因为k为奇数时船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船由彼岸驶回此岸，所以状态ks随决策kd变化的规律是 kkkkdss11 (3)
(3)式称状态转移律。这样，制定安全渡河方案归结为如下的多步决策模型： 求决策Ddknk,,2,1，使状态Ssk按照转移率(3)，由初始状态3,31s
经有限步n到达状态0,01ns. 模型求解 根据(1)~ (3)式编一段程序用计算机求解上述多步决策问题是可行的。不过对于商人和随从人数不大的简单状况，用图解法这个模型更为方便。 ..
.. . 图2 安全渡河问题的图解法 在Oxy平面坐标系上画出图2那样的方格，方格点表示状态yxs,. 允许状态集合S是用圆点标出的10个格子点。允许决策kd是沿方格线移动1或2格，k为奇数时向左、下方移动，k为偶数是向右、上方移动。要确定一系列的kd使
由3,31s经过那些圆点最终移至原点0,0. 图2给出了一种移动方案，经过决策1121,,,ddd，最终有0,012s. 这个结果很容易翻译成渡河的方案。 评注 这里介绍的是一个规格化的方法，所建立的多步决策模型可以用计算机求解，从而具有推广的意义。譬如当商人和随从人数增加或小船的容量加大时，靠逻辑思考就困难了，而用这种模型则仍可方便地求解。读者不妨考虑四名商人各带一个随从的情况（小船同前）。 适当地设置状态和决策，确定状态转移律，建立多步决策模型，是有效地解决很广泛的一类问题的方法，在以后的章节中还要用到。 2.3 货物存储模型
O 1 2 y x 1 2 3 3
1s 1d
3d 2d
4d 5d 9d 6d 7d 11d
8d 10d
