初中数学二次函数知识点总结

二次函数的图象与性质

二次函数开口方向对称轴顶点增减性最大（小）值

y = ax2 a>0时，开口向上；a<0抛时，开口向下。

x=0 （0，0）当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；

当a<0时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小。当a>0时，当x=0时，=0；

当a<0时，当x=0时，=0；

y = ax2+c x=0 （0，c）当a>0时，当x=0时，=c；

当a<0时，当x=0时，=c；

y = a（x-h）2 x=h （h，0）当a>0时，当x=h时，y最小=0；

当a<0时，当x=h时，y最大=0；

y = a（x-h）2 +k x=h （h，k）当a>0时，当x=h时，y最小=k；

当a<0时，当x=h时，y最大=k；

y = ax2+bx+c x= （，）当a>0时，当x=h时，y最小=k；

当a<0时，当x=h时，y最大=k；

其中h=，k=

★二次函数y = ax2 、y = ax2+c、y = a（x-h）2 以及y = a（x-h）2 +k的形状相同，只是位置不同，相互之间可以通过平移得到，一般式y = ax2+bx+c 可以通过配方化成y = a（x-h）2 +k的形式。

3.二次函数的解析式

二次函数解析式常见有三种形式：

①一般式：y = ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）

②顶点式：y = a（x-h）2 +k（a、h、k是常数，且a≠0）

③交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a、x1、x2是常数，且a≠0，x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）。

★抛物线y = ax2 的开口大小由∣a∣决定：∣a∣越大，开口越小；∣a∣越小，开口越大。

一般式

y=ax+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为（-b/2a,4ac-b²/4a) ；

顶点式

y=a(x-h)²;+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²;的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；

交点式

y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线,即b2-4ac≥0] ；由一般式变为交点式的步骤：∵

X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴y=ax²;+bx+c=a（x²;+b/ax+c/a）

=a[﹙x²;-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)

重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h 或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）a,b同号，对称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴a,b异号，对称轴在y轴右侧

顶点

2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a

开口

3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

决定对称轴位置的因素

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为同左异右，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab< 0 ），对称轴在y轴右。事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

决定二次函数图像与y轴交点的因素

5.常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于（0,C）注意：顶点坐标为（h,k) 与y轴交于（0,C)

二次函数图像与x轴交点个数

6.二次函数图像与x轴交点个数a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。k=0时，二次函数图像与x轴有1个交点。

a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点_______ 当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymix=k，在xh

范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k 当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x>h 范围内事增函数，在x

7.定义域：R 值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0

的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数。周期性：无解析式：①y=ax²+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a>0，则抛物线开口朝上；a<0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b²;)/4a）；⑷Δ=b2-4ac, Δ>0，图象与x轴交于两点：（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ=0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ<0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)2+k[顶点式] 此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b²)/4a；③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0