线性代数公式大全
第一章 行列式
1．逆序数 1.1 定义
n 个互不相等的正整数任意一种排列为：12n i i i ⋅⋅⋅，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不
同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用()12n i i i τ⋅⋅⋅表示，()12n i i i τ⋅⋅⋅等于它所有数字中后面小于前面
数字的个数之和。 1.2 性质
一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 ()211ττ=-。
证明如下：
设排列为111l m n a a ab b bc c ，作m 次相邻对换后，变成111l m n a a abb b c c ，再作1m +次相邻对换
后，变成1
11l m n a a bb b ac c ，共经过21m +次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ，
要么减少1 ，相当于()211ττ=-，也就是排列必改变改变奇偶性，21m +次相邻对换后()()21
21111m τττ+=-=-，
故原命题成立。
2．n 阶行列式的5大性质
性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。 性质2：互换任意两行（列）其值变号。
性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。 性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。 性质5：把行列式某行（列）λ倍后再加到另一行（列），其值不变。
行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。
对性质4的重要拓展： 设n 阶同型矩阵，
()()(); ij ij ij ij A a B b A B a b ==⇒+=+，而行列式只是就某一列分解，所以，A B +应当
是2n
个行列式之和，即A B A B
+≠+。
韦达定理的一般形式为：
()1
2
120
120111
0; ; 1n n
n
n n n n n n n n n i i j i i i j i n n n a a a
a x a x
a x
a x x x x a a a ------=≠==+++
+=⇒=-==-∑∑∏
一、行列式定义 1．定义
11
121212221
2
n n n n nn
a a a a a a a a a n n nj j j j j j a a a 221211)
()
1(τ∑-=
其中逆序数 ()121n j j j j τ=后面的1j 小的数的个数 2j +后面比2j 小的数的个数+
1n j -+后面比1n j -小的数的
个数.
2．三角形行列式
1112122200
n n nn
a a a a a
a 1121221
2
000n n nn
a a a a a a =
1122nn a a a
=
121
1
00
0n n n nn nn
a a a a a -11121
21221
00
n n a a a a a a =
()
()121121
11n n n n n a a a τ-⋅⎡⎤⎣⎦
-=-()
()12
12111n n n n n a a a --=-
二、行列式性质和展开定理
1．会熟练运用行列式性质，进行行列式计算. 2．展开定理
1122i k i k in kn ik a A a A a A A δ+++=
A A a A a A a jk nk nj k j k j δ=+++2211
三、重要公式 设A 是n 阶方阵，则 1．T A A =
2．
1
1A A
--=
3．1
*n A A
-=
4．n kA k A =
5．
AB A B =，其中B 也是n 阶方阵
6．设B 为m 阶方阵，则
00A C A A B B C
B =
=
()
10
mn
A
C A A B
B C
B
=
=-
7．德蒙行列式
()12222
12
11
11
12
111n i
j
n
j i n
n n n n
x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏
四．有关结论 1．对于
,n n n n A B ⨯⨯
(1)
00A A ⇒==⇐ (2) A B A B
⇒==⇐
2.
A 为n 阶可逆矩阵
A E A E ⇔→⇔→行变
列变
（A 与E 等价）
0AX ⇔=只有惟一零解
AX b ⇔=有惟一解（克莱姆法则） A ⇔的行（列）向量组线性无关 A ⇔的n 个特征值0,1,2,
,i i n λ≠=
⇔A 可写成若干个初等矩阵的乘积 ⇔)()(B r AB r = ⇔A A T 是正定矩阵
