专题九 等差数列
一．等差数列基本概念
1．等差数列定义
2.等差数列通项公式 n a =______________或n a =___________.
3.等差数列前n 项和 1)n S =________________2).n S =_________________
4.等差中项 ：如果 ,,a b c 成等差数列，么b 叫做,a c 的等差中项，则有_________________
5.等差数列的判定方法
1) 定义法：
2)中项公式法：
3)通项法：已知数列n a 的通项公式为n
a pn q =+，则n a 为等差数列，其中首项为1a =________，公差d=________。
4)前n 项和法：已知数列n a 的前n 项和2n S An Bn =+，则n a 为等差数列，其中首项为 1a =________，公差d=________，
6.等差数列性质
1) 1212n n a a a a a -+=+=
2)当*,,,m n p k N ∈，且m n p k +=+，则m n p k a a a a +=+；特别当
2m n p +=时 2m n p a a a +=
特别注意“m n p +=时，m n p a a a +=”是不正确的.
3) 数列n a 的前n 项和为n S ，则232...,,m m m m m S S S S S --成大差数列
4）当n 为奇数时，12
n
n S na +=
二．例题分析
【类型1】求等差数列通项
【例1】.等差数列n a 中，
51210,31a a ==，求1,,n d a a .
【变式1】四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数.
【例2】等差数列n a 中，3813
12a a a ++=，381324a a a ⋅⋅=，求通项公式n a .
【变式1】等差数列{}n a 中，51510,25,a a ==则25a 的值是 ．
【变式2】已知等差数列{
}中．61018a a += 31a =，则13a = ．
【变式3】（09年安徽文） 等差数列{}n a 中，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a = ．
n a
【变式4】(2008年天津文4）若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a = ．
【例3】已知数列中，=1，，则数列的通项公式为 ______
【变式1】已知数列{}中，=2,=3，其前 n 项和满足 (n ≥2，n ∈N )，则数列{}的通项公式为 ( )
A ．=n
B ．=
C ．= n-l
D ．=n+l
【例4】在数列{}n a 和数列{}n b 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足22n S n n =+，数列{}n b 的前n 项和n T 满足13n n T nb +=，且11
b =
（1）求数列{}n a 的通项公式
（2）求数列{}n b 的通项公式
【例5】数列n a 中，1155
1,n n n a a a a +=
+=，求数列{}n a 的通项公式；
{}n a 1a 1(1)2n n n a a n
++=
{}n a n a 1a 2a n S 1121n n n S S S +-+=+*n a n a n a 2n n a n a
【类型2】求等差数列前n 项和
【例1】（11年天津文11．）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，*n N ∈，若32016,20,a S ==则10S 的值为_______
【变式1】如果是一个等差数列的前n 项和，其中 a ，b ，c 为常数，则c
的值为 ．
【例2】（10年全国文6） 等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么n a 的前7项和7S = ．
【变式1】已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，
且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ）
A ．55
B ．70
C ．85
D ．100
2n S an bn c =++
【例3】{}n a 通项公式为21n a n n
=
+，则n S =_______ ．
【变式1】{}
n a 通项公式为n a =
n S = ．
【变式2】 {}
n a 通项公式为n a =
，若其前n 项和为10，则项数n 为 ．
【例4】等差数列{}n a 中，249n a n =-，前n 项和记为n S ，求n S 取最小值时n 的值.
【变式】差数列{}n a 中，213n a n =-，则n = 时n S 有最大值；
【类型3】等差数列性质的应用
【例1】（1）等差数列{}n a 中，230,100,m m S S ==求3m S 的值.
（2）等差数列{}n a 中，481,4S S ==，求17181920a a a a +++的值.
【例2】（2009年辽宁理科14） 等差数列{}n a 中， n a 的前n 项和为n S ，如果369,36S S ==，则789a a a ++= ．
